2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心坐标与半径分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆，可得圆，所以圆心坐标为，半径为．故选：D．2.已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】设点是直线上的一点，将点右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上，则直线的斜率．故选：B．3.双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由该双曲线的一个焦点坐标为，则，由可得，即有，解得.故选：B.4.若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（）A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】由圆与圆有且只有三条公切线，故两圆外切，故，即，解得.故选：C.5.以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，，所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，，则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，所以双曲线的方程为.故选：C.6.抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】对于抛物线，则，根据焦点坐标公式，可得焦点坐标为.则焦点到圆心的距离.因为圆的半径，焦点到圆上点的距离的最小值为焦点到圆心的距离减去圆的半径，即.故选：B.7.已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的左焦点为，因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，所以，在中，，根据椭圆定义可知：，所以，所以，，所以，所以离心率为故选：B．8.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，由消去x得：，则有，由得：，解得，于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的最大值为.故选：A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线与，则下列说法正确的是（）A.直线恒过第二象限 B.坐标原点到直线的最大距离为C.若，则 D.若，则与之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A选项，将直线变形.令，解得，即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确.对于B选项，因为直线恒过定点，坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离.根据两点间距离公式，则，B选项正确.对于C选项，若，对于直线和.根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误.对于D选项，若，则.由，可得，解得或.当时，，，满足.当两直线重合，两平行直线，，根据两平行直线间的距离公式，则，D选项正确.故选：ABD.10.抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（）A.与圆相切 B.当时，C.的最小值为 D.满足的点有且仅有2个【答案】AD【解析】A选项，抛物线的准线为，圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和圆相切，A选项正确；B选项，当时，，此时，故或，当时，，则；当时，，；故或，B选项错误；C选项，，当且仅当三点共线时，等号成立，故的最小值为，C选项错误；D选项，设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：AD.11.造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为4 B.点的横坐标的取值范围是C.面积的最大值为2 D.若点的坐标为，则【答案】ACD【解析】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：，当时，曲线的方程为，对于A：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B：整理可得：，则，可得，解得，故B错误；对于C：，令，则，所以，所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确；对于D：若，则，其与矛盾，故不成立，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为______.【答案】【解析】因A、两点x轴和轴上，设，因是线段的中点，则，故直线的截距式方程为：.故答案为：.13.直线与圆相交于两点，若，则____________．【答案】【解析】圆的圆心，，圆心到直线的距离，由圆的几何性质可得，即，整理得，即.故答案为:14.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数的值为_________．【答案】0或3【解析】因为M，N关于直线对称，直线的斜率为，两条垂直直线的斜率乘积为，所以直线MN的斜率.设直线MN的方程为，将其代入双曲线可得.展开得到，即.设，，根据韦达定理，所以，则中点横坐标.因为中点在直线上，所以.因为MN的中点在抛物线上，所以，解得或.当时，中点为，因为中点在直线上，所以；当时，中点为，在直线上，所以，解得.故实数的值为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线平行；②过点；③点到的距离为5．问题：已知直线过点，且_________．（1）求直线的一般式方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程．解：（1）若选①，法一：因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，直线的方程为，即．法二：因为直线与直线平行，故的方程可设为．又直线过点，则，即：．所以的方程．若选②，法一：因为直线过点及，所以直线的方程为，即；法二：因为直线过点及，所以直线的斜率．直线的方程为，即．若选③，法一：若直线斜率不存在，点到的距离为3，不合题意，斜率存在．设斜率为，其方程为，即，由得：．直线方程为．即：．法二：由于与之间距离恰为5，两点连线的斜率为，故直线的斜率，直线方程为，即：；（2）圆心为，半径为2；只要求圆心关于直线的对称圆心，则，解得，即，所以圆的方程为：.16.已知的三个顶点分别为．（1）求的外接圆的方程；（2）设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）法一：设圆的方程为，则，解得：，所以圆的方程为，即，法二：因为，所以，所以，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；（2）假设存在，对任意的都有，即：，化简得：，又满足，即，即：，所以，解得：，即存在满足条件．17.已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程．解：（1）设的坐标为，则的坐标为又点在抛物线上，故，即（2）设直线的方程为，联立方程组得：，有，则，解得：所以直线的方程为，即：18.已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点．（i）求证：直线l与曲线有且只有一个公共点；（ii）求的最小值（为坐标原点）．（1）解：为PA的垂直平分线上一点，则，则，点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且，故点的轨迹方程为；（2）（i）证明：设，直线是双曲线的渐近线，如图所示：则：①．②，①+②得，，①-②得，，则，得，由题可知，则，得，即，直线ST的方程为，即，又点在曲线上，则，得，将方程联立，得，得，由可知方程有且仅有一个解，故直线与曲线有且仅有一个交点；（ii）由（i）联立，可得，同理可得，，则，同理，所以，故，当且仅当，即时取等号，故的最小值为．19.定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．（1）求证：相似椭圆的离心率相等；（2）已知椭圆的相似椭圆为且．（i）直线与椭圆均有且只有一个公共点，且的斜率之积为，求证：的交点在椭圆的相似椭圆上；（ii）若为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，求的值．（1）证明：椭圆的离心率为可化为其离心率为所以，即：相似椭圆的离心率相等．（2）（i）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为：与椭圆联立得：，，即：亦即：①，用代换①的得：②，①式乘4+②式得：，两边同除得：，即点在椭圆上，亦即：在椭圆的相似椭圆上，（ii）解：椭圆的标准方程为：，所以，，设Px0,y0，易知直线，所以，因为Px0,y0在椭圆上，所以，即，所以设直线的斜率为，则直线PN的斜率为，所以直线的方程为．由，得，设Ax1,所以，由替换可得，所以．江苏省徐州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心坐标与半径分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆，可得圆，所以圆心坐标为，半径为．故选：D．2.已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】设点是直线上的一点，将点右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上，则直线的斜率．故选：B．3.双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由该双曲线的一个焦点坐标为，则，由可得，即有，解得.故选：B.4.若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（）A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】由圆与圆有且只有三条公切线，故两圆外切，故，即，解得.故选：C.5.以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，，所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，，则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，所以双曲线的方程为.故选：C.6.抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】对于抛物线，则，根据焦点坐标公式，可得焦点坐标为.则焦点到圆心的距离.因为圆的半径，焦点到圆上点的距离的最小值为焦点到圆心的距离减去圆的半径，即.故选：B.7.已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的左焦点为，因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，所以，在中，，根据椭圆定义可知：，所以，所以，，所以，所以离心率为故选：B．8.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，由消去x得：，则有，由得：，解得，于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的最大值为.故选：A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线与，则下列说法正确的是（）A.直线恒过第二象限 B.坐标原点到直线的最大距离为C.若，则 D.若，则与之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A选项，将直线变形.令，解得，即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确.对于B选项，因为直线恒过定点，坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离.根据两点间距离公式，则，B选项正确.对于C选项，若，对于直线和.根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误.对于D选项，若，则.由，可得，解得或.当时，，，满足.当两直线重合，两平行直线，，根据两平行直线间的距离公式，则，D选项正确.故选：ABD.10.抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（）A.与圆相切 B.当时，C.的最小值为 D.满足的点有且仅有2个【答案】AD【解析】A选项，抛物线的准线为，圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和圆相切，A选项正确；B选项，当时，，此时，故或，当时，，则；当时，，；故或，B选项错误；C选项，，当且仅当三点共线时，等号成立，故的最小值为，C选项错误；D选项，设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：AD.11.造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为4 B.点的横坐标的取值范围是C.面积的最大值为2 D.若点的坐标为，则【答案】ACD【解析】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：，当时，曲线的方程为，对于A：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B：整理可得：，则，可得，解得，故B错误；对于C：，令，则，所以，所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确；对于D：若，则，其与矛盾，故不成立，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为______.【答案】【解析】因A、两点x轴和轴上，设，因是线段的中点，则，故直线的截距式方程为：.故答案为：.13.直线与圆相交于两点，若，则____________．【答案】【解析】圆的圆心，，圆心到直线的距离，由圆的几何性质可得，即，整理得，即.故答案为:14.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数的值为_________．【答案】0或3【解析】因为M，N关于直线对称，直线的斜率为，两条垂直直线的斜率乘积为，所以直线MN的斜率.设直线MN的方程为，将其代入双曲线可得.展开得到，即.设，，根据韦达定理，所以，则中点横坐标.因为中点在直线上，所以.因为MN的中点在抛物线上，所以，解得或.当时，中点为，因为中点在直线上，所以；当时，中点为，在直线上，所以，解得.故实数的值为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线平行；②过点；③点到的距离为5．问题：已知直线过点，且_________．（1）求直线的一般式方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程．解：（1）若选①，法一：因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，直线的方程为，即．法二：因为直线与直线平行，故的方程可设为．又直线过点，则，即：．所以的方程．若选②，法一：因为直线过点及，所以直线的方程为，即；法二：因为直线过点及，所以直线的斜率．直线的方程为，即．若选③，法一：若直线斜率不存在，点到的距离为3，不合题意，斜率存在．设斜率为，其方程为，即，由得：．直线方程为．即：．法二：由于与之间距离恰为5，两点连线的斜率为，故直线的斜率，直线方程为，即：；（2）圆心为，半径为2；只要求圆心关于直线的对称圆心，则，解得，即，所以圆的方程为：.16.已知的三个顶点分别为．（1）求的外接圆的方程；（2）设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）法一：设圆的方程为，则，解得：，所以圆的方程为，即，法二：因为，所以，所以，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；（2）假设存在，对任意的都有，即：，化简得：，又满足，即，即：，所以，解得：，即存在满足条件．17.已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程．解：