第九章 课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

课时5离散型随机变量及其概率分布、期望与方差一、课标要求1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列.2．理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义；3．会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题．二、知识梳理1．随机变量的有关概念(1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以______________的随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质①eqp\s\do1(i)(i＝1，2，…，n)的取值范围是_______；②eqp\s\do1(1)＋eqp\s\do1(2)＋…＋eqp\s\do1(n)＝_______．3．两点分布已知随机变量X的分布列如下：X01P1－pp其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．4．离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列如下：Xeqx\s\do1(1)eqx\s\do1(2)…eqx\s\do1(n)Peqp\s\do1(1)eqp\s\do1(2)…eqp\s\do1(n)(1)均值(期望)称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．均值的意义是反映了离散型随机变量取值的______________．(2)方差称D(X)＝_____________________为随机变量X的方差．称eq\r(D(X))为随机变量X的______________，记为σ(X)．方差和的标准差意义是度量随机变量X取值与其均值E(X)的______________．【拓展知识】1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝______________(a，b为常数)．(2)D(aX＋b)＝______________(a，b为常数)．2．均值与方差的关系D(X)＝xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(1))eqp\s\do1(1)＋xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(2))eqp\s\do1(2)＋…＋xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))eqp\s\do1(n)－（E(X)）eq\s\up1(2)＝E(Xeq\s\up1(2))－（E(X)）eq\s\up1(2)．三、基础回顾1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义． ()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1． ()(3)随机变量的方差刻画了随机变量取值偏离均值的程度，方差越小，偏离程度越小． ()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事． ()2．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列如下：X678910P0.050.150.25ab如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是 ()A．0.35 B．0.20 C．0.55 D．0.83．(多选题)离散型随机变量X的分布列如下：X1234P0.2a0.40.1则下列结论正确的有()A．a＝0.3B．E(X)＝2.4 C．D(X)＝1.84 D．E(2X－1)＝3.84．在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，那么选对的概率为0.25．若选对得分X＝_______，选错得分Y＝_______，则随机选择时得分的均值为0．四、考点扫描考点一分布列的性质例1（1）（2024·江苏镇江市扬中市模拟）随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，则D(2X－1)＝ ()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5) C．eq\f(3,5) D．eq\f(8,5)（2）（多选题）（2024·河南洛阳市联考）设离散型随机变量X的分布列如下：X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2规律方法：对点训练(1)设随机变量X的概率分布如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时，下列结论正确的是()X012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．D(X)增大 B．D(X)减小C．D(X)先减后增 D．D(X)先增后减(2)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(0<X<3.5)＝eq\f(2,3)B．E(3X＋2)＝7C．D(X)＝2D．D(3X＋1)＝6考点二概率分布列例2（2024·北京卷）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元.赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）①毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，试估计X的数学期望；②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．试估计保单下一保险期毛利润的数学期望．对点训练小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A，B，C是否猜中互不影响．(1)求A恰好获得4元的概率；(2)设A获得的金额为X元，求X的分布列．考点三期望、方差在决策问题中的应用例3（2024·全国新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设，①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率较大，应该由谁参加第一阶段比赛？②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望较大，应该由谁参加第一阶段比赛？规律方法：对点训练某知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个