第六章正文 课时3 答案

课时3等比数列的通项与求和公式二、知识梳理1．(1)2同一个公比q(2)等比中项2．(1)a1qn-1(2)

3．(1)am·an(2)递增递减常摆动三、基础回顾1．（1）×（2）×（3）×（4）×2．C【解析】令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.故选C.3．ABC【解析】设等比数列{an}的公比为q.当q＝1时，Sn＝，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误；当q≠1时，Sn＝所以c＝，即a＋c＝0，，所以A，B，C正确.故选ABC.4．eq\f(1,8)【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq\f(1,8).四、考点扫描例1（1）C【解析】方法一：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1或q2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15.方法二：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.（2）31【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，由题意知解得所以S5＝＝31．方法二：由a2a5＝2a3，得a4＝2，又2a4＋4a7＝5，所以a7＝eq\f(1,4)，所以q＝eq\f(1,2)，所以a1＝16，所以S5＝＝31．对点训练（1）D【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3.故选D.（2）C【解析】由条件,知所以，因为所以，因为所以，所以．故选C.例2(1)【证明】因为an＋1＝Sn＋1－Sn，－λSn＋1，所以＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1，则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.因为an>0，知Sn＋1>0，所以Sn＋1－2Sn－λ＝0，故Sn＋1＝2Sn＋λ.【解】由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，所以a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.因此an＝若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.所以λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.对点训练【证明】(1)依题意，有两式相加，得an＋1＋bn＋1＝eq\f(3,4)(an＋bn)．又因为a1＋b1＝eq\f(3,2)≠0，所以{an＋bn}是首项为eq\f(3,2)，公比为eq\f(3,4)的等比数列，两式相减，得an＋1－bn＋1＝eq\f(1,4)(an－bn)．又因为a1－b1＝eq\f(1,2)≠0，所以{an－bn}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,4)的等比数列．(2)由(1)得，an＋bn＝eq\f(3,2)①，an－bn＝eq\f(1,2)②.①＋②得，an＝＋，故Sn＝＋＝eq\f(10,3)－＜eq\f(10,3).例3(1)C【答案】C【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝－1，则S4＝0≠－5，与题意不符，所以q≠－1；若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2≠0，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5，eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝21×eq\f(a1（1－q2）,1－q)①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C.方法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝eq\f(5,4)，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝eq\f(5,4)时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C.（2）AB【解析】因为数列是递增等比数列，时，由，则；当时，由，则.故选AB.2【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.对点训练(1)B【解析】记等比数列的公比为，由数列为等差数列可知，又数列是各项均为正数的等比数列，所以，又(当且仅当时，等号成立)，，即.故选B.（2）【答案】10【解析】eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a6)＋eq\f(1,a8)＝＝eq\f(a2＋a8,a2a8)＋eq\f(a4＋a6,a4a6)＝eq\f(a2＋a8＋a4＋a6,a2a8)＝eq\f(20,2)＝10.（3）【答案】－5【解析】依题意，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，且S10＝20，不妨令其公比为q(q>0)，则S20－S10＝20q，S30－S20＝20q2，所以S30－2S20＋S10＝(S30－S20)－(S20－S10)＝20q2－20q＝20－5，故当q＝eq\f(1,2)时，S30－2S20＋S10的最小值为－5.拓展与延伸13数列的函数属性考点扫描例1D【解析】由递推关系式，得，则．所以是以4为周期的一个周期数列．由计算，得，，，，，…，所以．故选D．对点训练B【解析】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选B.例2（1）B【解析】，当时，，当时，，因为为等比数列，所以，所以.故选B．（2）B【解析】设，所以故选B.（3）【解析】因为，所以数列是等差数列，则必有，故a=.对点训练（1）【解析】当时，，则，，（是常数），即不是等比数列,所以.所以，，，则有，即，即，所以，解得或(舍).（2）【解】①因为，所以，解得，所以，又，所以，即，解得或（舍去），所以.②因为为等差数列，所以，即，所以，即，解得或，因为，所以，又，由等差数列性质知，，即，所以，即，解得或（舍去）.当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.例3A【解析】因为，所以数列为递减数列，当时，，故可知当时，单调递减，故为递减数列，只需满足，即．故选A.对点训练（1）【证明】由题意，得，，故.又，所以，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）【解】方法一：因为是递增数列，所以对任意恒成立，因为，所以，则对任意恒成立，即对任意恒成立，由（1）知，，所以对任意恒成立，因为当时取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围是.方法二：，得即.又，故数列为首项，公差的等差数列，所以.又由（1）知，，所以.因为是递增数列，所以对任意恒成立.所以，所以，因为当时，取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围是.例4B【解析】由,得.令,所以,则,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即,即,由,将以上(n-1)个等式两边相加得,所以,经检验满足上式，故.当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,因为,所以的前项和的最大值为.故选B.对点训练48【解析】方法一：由a4＋a3－2a2－2a1＝6，得a1(q＋1)(q2－2)＝6，所以a1(q＋1)＝.因为an＞0，所以q2－2＞0，a5＋a6＝a1(1＋q)q4＝＝6×＝6×＝6×≥6×＝6×8＝48（当且仅当－2＝，即q＝2，a1＝1时，等号成立），所以a5＋a6最小值为48.方法二：由a4＋a3－2a2－2a1＝6，得(a2＋a1)(q2－2)＝6，所以a2＋a1＝.因为an＞0，所以q2－2＞0，即q2＞2，a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝＝.令t＝∈，则－＝t－2t2＝－2＋eq\f(1,8)，当t＝eq\f(1,4)∈时，式子－取得最大值eq\f(1,8)，从而a5＋a6＝取得最小值6×8＝48.例5；【解析】当时，，得．当时，，，两式相减得，，得，所以．又因为，所以是以6为首项，4为公差的等差数列，所以，即．因为，所以，即．记，所以为递增数列，．所以，解得，则正数k的最小值为．对点训练B【解析】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，所以，则，不等式整理得.当时，左边，右边，显然不满足不等式；当时，左边，右边，显然满足不等式；且当时，左边，右边，则不等式恒成立；故当不等式成立时，的最小值为9.故选B.巩固提升1．B【解析】由递推关系式可得，，所以，同理可得，所以.故选B．2.B【解析】由，得.又因为，所以.所以数列为等差数列，且首项为，公差也为3，则，所以.要使为数列的唯一最小项，则，所以.故选B.3.ACD【解析】由题意知，，.当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，A正确；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，B错误；当时，，可得，所以，数列为递减数列，C正确