（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练3.3 抛物线（原卷版）

18/183.3抛物线（精讲）考点一抛物线的定义及应用【例1-1】抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（）A．3 B．4 C．7 D．13【例1-3】．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．【一隅三反】1．已知点是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，则点M到F的距离等于()A．6 B．5 C．4 D．22．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（）A．4 B．3 C． D．3．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3考点二抛物线的标准方程【例2-1】已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（）A． B． C． D．【例2-2】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的标准方程是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．2．已知双曲线：的离心率为；若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．3．已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，且抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线的方程为（）A． B． C． D．考点三抛物线的性质【例3-1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【例3-2】(多选）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则（）A．的准线方程是B．过的焦点的最短弦长为8C．直线过定点D．当点到直线的距离最大时，直线的方程为【例3-3】抛物线的焦点为，直线与抛物线分别交于两点（点在第一象限），则的值等于.【一隅三反】1．（多选）已知抛物线过点，焦点为F，则（）A．点M到焦点的距离为3B．直线MF与x轴垂直C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D．过点M与C相切的直线方程为2．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（）A．1 B． C．2 D．43．设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（）A． B． C． D．考点四抛物线的综合运用【例4-1】已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.（1）求椭圆C2的方程；（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.【例4-2】垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．（1）求抛物线的方程及A点坐标；（2）问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．【一隅三反】1．已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.（1）求抛物线的方程；（2）如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.2．已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．（1）求抛物线C的方程；（2）当时，求证：直线AB过定点．3．已知抛物线：的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.（1）求抛物线的方程.（2）若斜率不为0的直线过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段的中垂线与y轴交于点M.证明：为定值.3.3抛物线（精练）1抛物线的定义及应用1．抛物线的焦点到准线的距离为（）A． B． C．1 D．22．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（）A．7 B．5 C．3 D．13．已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（）A． B．2 C． D．44．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（）A． B． C．5 D．35．已知点为抛物线：上的动点，抛物线的焦点为，且点，则的最小值为．6．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为.7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为．2抛物线的标准方程1．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（）A． B．C．或 D．或2．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．3．下列命题中正确的是（）A．抛物线的焦点坐标为．B．抛物线的准线方程为x=−1．C．抛物线的图象关于x轴对称．D．抛物线的图象关于y轴对称．4．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为．6．以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为．7．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为.9．已知抛物线，直线，直线与抛物线分别交第四、第一象限于两点，且抛物线的焦点为，满足，则抛物线的方程为．10．抛物线的焦点为F，准线是l，O是坐标原点，P在抛物线上满足，连接FP并延长交准线l与Q点，若的面积为，则抛物线C的方程是．3抛物线的性质1．直线与抛物线交于，两点，则（）A． B．8 C． D．162．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（）条A．0 B．1 C．2 D．33．已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（）A． B．3 C． D．4．已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（）．A． B． C． D．6．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（）A．±1 B． C． D．7．已知抛物线，过焦点F且斜率为的直线l交C于A，B两点（其中点A在x轴下方），再过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，C，设，分别为，的面积则．8．（多选）设抛物线的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的有（）A．准线l的方程是 B．以线段MF为直径的圆与y轴相切C．的最小值为5 D．的最大值为29．（多选）已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（）A．抛物线的准线方程为：B．双曲线的实轴长为4C．双曲线的一条渐近线方程为D．P为双曲线上一点若，则10．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A、B两点，则的最小值为；4抛物线的综合运用1．已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.2．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.（1）求抛物线C的标准方程；（2）求证：点P在定直线上.3．直线交抛物线于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，相交于点C，点在直线上．（1）求证：直线恒过定点T，并求出点T坐标；（2）以T为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．4．如图，拋物线（）上的点（）到其准线的距离为2.过点作直线交拋物线于，两点，直线与直线交于点．（I）求证：直线轴；（II）