第二章 课时3 函数的奇偶性与周期性((基础练习))

课时3函数的奇偶性与周期性一、课标要求1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．二、知识梳理1．偶函数、奇函数的概念(1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫作偶函数．(2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫作奇函数．2．奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于对称，奇函数的图象关于对称．3．函数的周期性（1）对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫作周期函数，T叫作这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作的正周期．【拓展知识】函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有.（2）如果函数是偶函数，那么．（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（4）运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的常用结论：对定义域内任一自变量x的值若，则；若，则；若，则．三、基础回顾1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）若是定义在上的奇函数，则. （）（2）对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝f(2)，则函数y＝f(x)是偶函数． （）（3）函数既是奇函数又是偶函数. （）（4）若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.（）2．四个函数，，，中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（多选题）下列函数的图象关于轴对称的有 （）A． B． C． D．4．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，___________．四、考点扫描考点一函数奇偶性的判断例1（1）已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2()A．是奇函数 B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数（2）(多选题)(2024·浙江衢州市联考)下列函数是奇函数的有()A．f(x)＝tanx B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2) D．规律方法：对点训练(1)（2024·河南开封市模拟）已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是()A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数B.f(x)－g(x)为R上的偶函数C.eq\f(f（x）,g（x）)为R上的偶函数D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数（2）(多选题)下列命题正确的有()A.图象过坐标原点的函数是奇函数B.函数y＝xsinx是偶函数C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D.函数y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函数考点二函数奇偶性的应用考向1利用奇偶性求值例2（1）已知定义域为的奇函数，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定（2）（2024·新课标II卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（）A. B. C.1 D.2对点训练（1）(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝()A.－1 B.0 C.eq\f(1,2) D.1（2）设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025,2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m=()A．0B．2C．1D．3考向2奇偶性与单调性例3(1)(2024·广东广州市质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为()A.(1，3) B.(3，＋∞)C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞)（2）(多选题)(2024·安徽合肥市调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则()A.f(f(1))<f(f(2))B.f(g(1))<f(g(2))C.g(f(1))<g(f(2))D.g(g(1))<g(g(2))规律方法：对点训练（1）(2024·福建龙岩市模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2,5) B．(－∞，－1)∪(0,5)C．(－1,0)∪(2,5) D．(－1,0)∪(5，＋∞)（2）已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立.若a＝f(eq\r(2))，b＝f(－1)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a考点三函数的周期性及应用例4（1）(2024·广东深圳市模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()A．2024B．2023C．1D．0（1）(多选题)(2024·江苏淮安市联考)已知非常数函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则()A．f(2)＝0B．f(x＋4)为偶函数C．f(x)为周期函数D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称规律方法：对点训练(1)(2024·湖南长沙市模拟)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))=()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为________________________.拓展与延伸3抽象函数的对称性与周期性知识梳理抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性．(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2·\f(x1,x2))).(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝eq\f(fx,fy)；③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝eq\f(fx,fy)；④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函数f(x)＝cosx，对应f(x)＋f(y)＝2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，来源于cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)·coseq\f(α－β,2)；⑦正切函数f(x)＝tanx，对应f(x±y)＝eq\f(fx±fy,1∓fxfy)，来源于tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).考点扫描考点一抽象函数的对称性例1(2024·河南洛阳市高三期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)是偶函数.若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝()A．4n B．2nC．n D．2考点二抽象函数的周期性例2(多选题)(2023·新课标I卷)已知函数的定义域为，且，则（）A. B.C.是偶函数 D.为的极小值点考点三抽象函数与不等式例3(2024·新课标I卷)已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.巩固提升1、设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝()A．eq\f(7,4)B．eq\f(5,2)C．－eq\f(9,4)D．－eq\f(3,2)2、已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y，满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是()A．f(0)＝1B．函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C．g(1)＋g(－1)＝0D．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝03、(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下