（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练第1章 空间向量与立体几何 章末测试（基础）（解析版）

18/18第1章空间向量与立体几何章末测试（基础）单选题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故选：C．2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【解析】依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，∴即为直线与平面所成的角，又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：①．②．③．④．其中运算结果为向量的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】对①，；对②，；对③，；对④，，∴以上4个算式运算的结果都是向量．故选：D．4．如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A5．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为，所以，所以，，所以，解得，.故选：C.6．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，，故，,，,由可知，，即，又因为为钝角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故选：D.8．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①；②与成角；③与成异面直线且；④若与面所成角为，则.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、将平移到，则与所成角，即可,故②正确；同理成角，故③错误；所成角不为，故④正确.故选:B二、多选题9．已知空间向量，则下列说法正确的是（

）A．B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为D．向量关于平面对称的向量为【答案】ABC【解析】A：因为，所以本选项说法正确；B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于轴对称的点的坐标为，所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于平面对称点的坐标为，所以向量关于平面对称的向量为，故选：ABC10．在平行六面体中，，，点在线段上，则（

）A．B．到和的距离相等C．与所成角的余弦值最小为D．与平面所成角的正弦值最大为【答案】BCD【解析】对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，可知面，则面，显然矛盾，故A错误；对于B，其中点在线段上，平分，且为线段的垂直平分线，又，可知上所有点到与的距离相等，故B正确；对于C，设平行六面体的边长为，易得，其中，可得，又，则与所成角即为，当点运动到点处时，此时最小，即与所成角的余弦值最小，，故C正确；易得当点运动到点处时，此时与平面所成角最大，即正弦值最大，又，则，又，，面，则面，作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，则有，故正弦值最大为，D正确．故选：BCD.11．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】如图建立空间直角坐标系，则、、、、、、、、，所以、、、，所以，故A正确；，故B正确；，，，，所以，，故，即C正确；因为，所以与不垂直，故D错误；故选：ABC三、填空题12．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.【答案】【解析】是的中点，．故答案为：．13．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】【解析】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.14．如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．【答案】【解析】则即线段的长为故答案为：四、解答题15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．(1)若E为PA的中点，求证平面PBC；(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：如图所示，设PB中点为F，连接EF，FC．∵E为PA的中点，∴且．又∵，，∴EFCD为平行四边形，即，且平面PBC，平面PBC，所以，平面PBC．（2）解：在中，，在中，，∵，，∴．则，所以，又因平面ABCD，以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：所以，，，，所以，，．设平面PAD的一个法向量为，则，取，所以．设直线BP与平面PAD所成的角为，则．所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值是．16．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．【答案】(1)；(2).【解析】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）．17.在四棱锥中，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）作于点，平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面（2）取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为18.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上.(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】.（1）证明：连接交于，连接，因为四边形为矩形，为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，平面，平面，，所以，，则、、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由题可得，因为，解得，此时.19.如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【解析】（1），为的中点，，侧面底