（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练第1章 空间向量与立体几何 章末重难点归纳总结（解析版）

21/21第1章空间向量与立体几何章末重难点归纳总结重点一空间向量的坐标运算【例1-1】，若三向量共面，则实数（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【解析】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．【例1-2】若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或【答案】C【解析】由题知，即，解得或.故选：C【一隅三反】1.已知向量，若共面，则________．【答案】±1【解析】因为向量共面,所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案为：±1.2．若向量，，，且、、共面，则______．【答案】【解析】因为、、共面，设，其中、，所以，，解得.故答案为：.3．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不对【答案】C【解析】由题，因为，故，又，故故选：C重点二空间向量的线性运算【例2-1】如图，设，，，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得=.故选：A【例2-2】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.【例2-3】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C【例2-4】已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】若，，，四点共面，则，则故选：D．【一隅三反】1．如图，设，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得,由，得,所以，故选：A.2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】即故选：D．3．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，故选；A4．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：D考点三空间向量在几何中的运算【例3-1】如图，在直四棱柱中，，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)因为平面，平面．所以，．又，所以，，两两垂直，以点D为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．(2)，设向量为平面的一个法向量，则，即令，得，设向量为平面的一个法向量，则，即令，得．所以．设二面角的大小为，由图可知，所以．所以二面角的余弦值为．【例3-2】如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)连接交于点，连接，因为，延长交于，由，则，可得，四边形为正方形，则，且为中点，由，则，且，面，所以面，平面，则；(2)以为原点，为轴，为轴建立如下图示的空间直角坐标系，则，，，，设，由面，面，所以面面，由，则，由且BC⊥CD，则，又，故△为等边三角形，且面面，所以，则，综上，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以.【一隅三反】1．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.(1)求证：∥平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】(1)因为：连接D1C交DC1于点O，则O为D1C中点,点E为CD中点∴OE∥D1B.∵OE⊆平面C1DE，D1B⊄平面C1DE.直线BD1∥平面C1DE.(2)∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点.∴DE⊥BC,∵CC1⊥平面ABCD且DE⊆平面ABCD,∴CC1⊥DE,∵CC1⊆平面B1BCC1,CB⊆平面B1BCC1且CC1∩BC＝C∴DE⊥平面B1BCC1,∵DE⊆平面DEC1，∴平面DEC1⊥B1BCC1(3)平面DEC1⊥B1BCC1且交线为C1E，CP⊆平面B1BCC1在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,∴CP⊥平面DEC1,∴∠CC1P是直线CC1与平面DEC1所成角-在Rt△C1EC中，CC1＝AA1＝2，CE＝1∴C1E＝，∴sin∠PC1C-2．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：如图1，取的中点F，连接．因为E是棱的中点，所以，且．因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)解：取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面,平面，所以平面．所以，以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为等边的边长为，所以，．设平面的一个法向量为由得令，则，所以．又平面的一个法向量为，因为，所以二面角的大小为．3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）．【解析】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.证明：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.四边形为平行四边形.，又平面，平面，平面；（2）取中点，因为底面为菱形，所以，又，且，所以平面，即.又，即，而所以平面.又，所以为正三角形，即，也即所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.所以，.设平面的一个法向量为.由，取，得；取平面的一个法向量为.由题意，，解得..设点到平面的距离为，则.即点到平面的距离为4．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．(2)由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则．故，所以二面角的正弦值为．法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．由（1）知平面，故平面的法向量可取为．设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得．设二面角的平面角为，，所以二面角的正弦值为5．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，，，为棱上异于，的点．(1)若为棱的中点，求证：直线平面；(2)若存在点为棱上异于，的点，使得直线与所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：取的中点，连接，，如图，为的中点，，且，又，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面．平面．直线平面；(2)解：由题意知，，，，，即，又，，平面，平面，平面，，又，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设，则，，在棱上，设，即，，易知平面的法向量为，，设与平面所成角为，则，解得，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，则，，由题知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.6．如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°．(1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值；(2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：∥,，,为边的中点，所以四边形是正方形，因为,异面直线与所成的角为90°,所以,又因为在平面内