2025届山东省泰安市高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市2025届高三三模数学试题一、单选题1．已知集合A={x∣x-2<2}，则A∩ZA．∅ B．1,2 C．2,3 D．1,2,3【答案】D【解析】因为A={x∣x-2<2}={x∣0<x<4}，故故选：D.2．在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（

）A．173,8 B．153,8 C．【答案】A【解析】根据题意，这组数据的平均数x=1+4+5+7+8+96故选：A.3．已知2tanθ-1=0，则cosθ-3A．15 B．-34 C．3【答案】D【解析】由题意可得tanθ=12故选：D.4．正方形ABCD中，AP=2PD，CQ=2QB，设AD=a，A．-14a+b B．a-【答案】C【解析】由题设有PQ=PA+AB+在正方形ABCD中，BC=AD，所以故选：C.5．2x-1x5的展开式中xA．-55 B．-64 C．-80 D．-124【答案】C【解析】2x-1x5令5-2r=3，得r=1，所以展开式中x3项的系数为-1故选：C.6．对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份x与该月的对应销量y（单位：万件）整理成如下表格：建立y与x的线性回归方程为y=0.21x+0.37，则第2个月和第4个月的残差和为（

A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919【答案】C【解析】由题意可得x=1+2+3+4+55将其代入回归方程，得y=1，故s+t=2.1将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为y2=0.21×2+0.37=0.79，故第2个月和第4个月的残差和为s-0.79+t-1.21=0.1.故选：C.7．已知正三棱柱的表面积为63，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（

A．3 B．233 C．43【答案】B【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则其表面积S=2×34a2+3ah=63，得故正三棱柱的体积V=3则V'a=32-3当2<a<23时，V'a所以当a=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为23故选：B.8．设双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一动点，则P到y轴的距离与PA．恒为定值24 B．恒为定值C．不为定值但有最小值24 D．不为定值但有最大值【答案】A【解析】不妨设点Px,y，且易有F1-2,0，F代入得P到y轴的距离与P到F1，Fx=x由于P为双曲线C上一点，故x-22+y2-x+22故原式等价于242故选：A.二、多选题9．已知公比为qq>0的等比数列an的前n项和为Sn，已知a1+A．a1=2 B．q=2 C．【答案】BCD【解析】联立方程，解得a1=1，a3q2=a3aaq4=S10=1×2故选：BCD.10．定义复数运算：z1⊕z2=z1z2A．ω可以是3+i B．ω的最小值为C．ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．zω的实部是5【答案】BCD【解析】设ω=a+bi，代入z⊕ω=10，即1-2解得a-2b=5.对于A，3-2=1不满足a-2b=5，故A错误；对于B，ω=故ω的最小值为5，故B正确；对于C，a-2b=5⇒b=12a-52当a-52>0，则a>5，所以该点不可能位于第二象限，故对于D，zω=a+bi1+2因为a-2b=5，即其实部为5，故D正确.故选：BCD.11．定义域为R的函数f(x)满足：①f(f(x+y))=f(x)+f(y)，②f(x)的图象过点(1,1)，则（

）A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数C．f(x)的图象关于点12,12【答案】AC【解析】由①，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)+f(0)，由②可知f(1)=1，所以f(1)=f(1)+f(0)，解得f(0)=0，故A正确；对于B，令y=-x，则f(f(0))=f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数，故B错误；对于C，令y=1-x，则f(f(1))=f(x)+f(1-x)=f(1)=1，即f(x)的图象关于点12,1对于D，由于f(x)+f(1-x)=1且f(-x)=-f(x)，则有f(x)-f(x-1)=1，即f(x)=f(x-1)+1，所以f(2)=f(1)+1=2，f(3)=f(2)+1=3，…，f(2025)=2025，故D错误，故选：AC．三、填空题12．已知△ABC中，AB=3，∠B=π6，BC=4，则【答案】7【解析】在△ABC中，AB=3由余弦定理得：AC2=故答案为：713．数列cn的通项公式为cn=2cos【答案】2【解析】由cn=2cos所以cn是以8为周期的数列，且2025=8×253+1，c所以2025∑故答案为：2.14．若函数fx满足：存在整数a，实数b∈0,1，使得fa=fa+b，则称fx是“滞后的”.已知函数，gx=x-sin【答案】(0,1]∪{【解析】由“滞后的”的定义，知单调函数必不为“滞后的”，当0<ω≤1时，则g'(x)=1-ωcosωx≥0，函数依题意，g(0)=0-sin0=0，若g(x)在(0,1)上存在零点，则g(x)符合“滞后的有g(1)=1-sinω≥0，当且仅当ω=π当ω>1且ω≠π2+2kπ,k∈因此函数g(x)在区间(0,1)上一定存在零点，不符合题意；当ω=π2+2kπ,k∈Z，k≥1时，函数当ω=π2，g(a)=a-sinωa，a∈Z而g(a+b)=a+b-sin所以ω的取值范围为(0,1]∪{π故答案为：(0,1]∪{四、解答题15．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤（1）若f(x)两条相邻的对称轴与C相切，求ω,φ；（2）若φ=π2，xi(i=1,2,⋯)是f(xi)的极值点，且点解：（1）由题，fx相邻对称轴间的距离为πω，又圆C的直径为3，则πω又圆心C12,0，所以f∴2×π3+φ=π2+kπ，得φ=-（2）若φ=π2，则fx的极值点满足ωx+π2=π又圆C与x轴交点分别为-1,0,所以原题设等价于有且仅有2个k的值满足-1<k整理得-ωπ<k<2ωπ所以1<2ωπ≤216．已知函数f(x)=(x2-a)（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）探究x=a是否为f(x)的极大值点.解：（1）当a=2时，fx=x则f'x=2x所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（2）易得f'假设x=a是fx的极大值点，则f'a化简得aln当0<a<1时，aln当a>1时，alna>0，aln故f'x=2xlnx+x2但由假设知x=a=1是fx于是由极大值的定义知存在x0，使得x∈1,x0所以x=a不是fx的极大值点17．乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为13，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为23，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为（1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；（2）求乙同学最终获胜的概率.解：（1）在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，设事件A为“再打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”，则PA=1故PB（2）设事件C为“乙赢了本局”，事件M为“乙赢了上一局”，设事件Dii=-1,0,1为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为i时，最终乙同学获胜当i=1时，乙肯定赢了上一局，此时PC=2所以PD同理，当i=-1时，乙肯定输了上一局，此时PC=1所以PD当i=0时，若乙赢了上一局，此时PC=2若输球则获胜的概率为PD所以PD若乙输了上一局，PC同理可得PD又初始PC=1所以PD1=所以乙同学最终获胜的概率为2518．已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点C(4,0)满足CF=3OF，其中O为坐标原点，过F的直线交E于A，B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x轴正半轴于点M，直线BC交直线AM于点N．记△ACF，△BCF，△CMN的面积分别为S（1）求E的准线方程；（2）证明：1|AF|（3）求S1-S（1）解：点C(4,0)满足CF=3OF，则4-p故E:y2=4x（2）证明：设直线AB:x=my+1，（m≠0，否则直线AM//x轴，不合题意），联立x=my+1y2=4x设Ax1,y1，B由抛物线定义有|AF|=x1+1则1|AF|（3）解：令y1=2t(t>1)，则y2=-2t，代入抛物线方程可得x1由于AB⊥AM，且直线AB的斜率k=y故直线AM:x-t2=-令y=0，则得点M的横坐标为xM由B1t2,-2联立x=-2tt2-1y+因此，S==3×t4-记f(x)=x2-x+4则f'(x)====(x-2)因为当x>1时，y=x所以x∈1,2时，f'(x)<0，x∈故f(x)在区间(1,2)上单调递减，在(2,+∞因此当x1=2时，S1-S19．如图，四棱锥P-ABCD的各个顶点均在球O的表面上，且AB=AD=4，BC⊥CD，PB⊥平面PAD.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD体积的最大值；（3）当5|PA|⋅|PB|=242时，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最小值（1）证明：由题，四边形ABCD在球O的一个圆面的圆周上，故∠BAD+∠BCD=π又BC⊥CD，故∠BAD=π2，故由PB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，得PB⊥AD，又AB∩PB=B，AB⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，故AD⊥平面PAB，又AD⊂平面ABCD，故平面PAB⊥平面ABCD.（2）解：作PH⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，可得PH⊥平面ABCD，记四棱锥P-ABCD的体积为V，则V=1而S△ABD由PB⊥平面PAD，则PB⊥PA，故PB于是PA⋅PB≤PA2由S△PAB=1S△BCD=12⋅BC⋅CD故BC⋅CD≤16，当且仅当BC=CD=4取等号，于是S△BCD故V=1故四棱锥P-ABCD体积的最大值为323（3）解：取AB的中点N，以N为原点，NB为x轴，过点N且平行于AD的直线为y轴，过点N且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则PH=PA⋅PBAB=故NH2=NP2记BD与y轴交于点M，易知M0,2,0，而CM=故可设点C22cos于是PC=易知平面ABCD的一个法向量为HP=设直线PC与平面ABCD所成角为θ，则sinθ=由辅助角公式得±8所以sinθ=当P275故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最小值为1010

山东省泰安市2025届高三三模数学试题一、单选题1．已知集合A={x∣x-2<2}，则A∩ZA．∅ B．1,2 C．2,3 D．1,2,3【答案】D【解析】因为A={x∣x-2<2}={x∣0<x<4}，故故选：D.2．在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（

）A．173,8 B．153,8 C．【答案】A【解析】根据题意，这组数据的平均数x=1+4+5+7+8+96故选：A.3．已知2tanθ-1=0，则cosθ-3A．15 B．-34 C．3【答案】D【解析】由题意可得tanθ=12故选：D.4．正方形ABCD中，AP=2PD，CQ=2QB，设AD=a，A．-14a+b B．a-【答案】C【解析】由题设有PQ=PA+AB+在正方形ABCD中，BC=AD，所以故选：C.5．2x-1x5的展开式中xA．-55 B．-64 C．-80 D．-124【答案】C【解析】2x-1x5令5-2r=3，得r=1，所以展开式中x3项的系数为-1故选：C.6．对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份x与该月的对应销量y（单位：万件）整理成如下表格：建立y与x的线性回归方程为y=0.21x+0.37，则第2个月和第4个月的残差和为（

A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919【答案】C【解析】由题意可得x=1+2+3+4+55将其代入回归方程，得y=1，故s+t=2.1将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为y2=0.21×2+0.37=0.79，故第2个月和第4个月的残差和为s-0.79+t-1.21=0.1.故选：C.7．已知正三棱柱的表面积为63，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（

A．3 B．233 C．43【答案】B【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则其表面积S=2×34a2+3ah=63，得故正三棱柱的体积V=3则V'a=32-3当2<a<23时，V'a所以当a=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为23故选：B.8．设双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一动点，则P到y轴的距离与PA．恒为定值24 B．恒为定值C．不为定值但有最小值24 D．不为定值但有最大值【答案】A【解析】不妨设点Px,y，且易有F1-2,0，F代入得P到y轴的距离与P到F1，Fx=x由于P为双曲线C上一点，故x-22+y2-x+22故原式等价于242故选：A.二、多选题9．已知公比为qq>0的等比数列an的前n项和为Sn，已知a1+A．a1=2 B．q=2 C．【答案】BCD【解析】联立方程，解得a1=1，a3q2=a3aaq4=S10=1×2故选：BCD.10．定义复数运算：z1⊕z2=z1z2A．ω可以是3+i B．ω的最小值为C．ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．zω的实部是5【答案】BCD【解析】设ω=a+bi，代入z⊕ω=10，即1-2解得a-2b=5.对于A，3-2=1不满足a-2b=5，故A错误；对于B，ω=故ω的最小值为5，故B正确；对于C，a-2b=5⇒b=12a-52当a-52>0，则a>5，所以该点不可能位于第二象限，故对于D，zω=a+bi1+2因为a-2b=5，即其实部为5，故D正确.故选：BCD.11．定义域为R的函数f(x)满足：①f(f(x+y))=f(x)+f(y)，②f(x)的图象过点(1,1)，则（

）A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数C．f(x)的图象关于点12,12【答案】AC【解析】由①，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)+f(0)，由②可知f(1)=1，所以f(1)=f(1)+f(0)，解得f(0)=0，故A正确；对于B，令y=-x，则f(f(0))=f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数，故B错误；对于C，令y=1-x，则f(f(1))=f(x)+f(1-x)=f(1)=1，即f(x)的图象关于点12,1对于D，由于f(x)+f(1-x)=1且f(-x)=-f(x)，则有f(x)-f(x-1)=1，即f(x)=f(x-1)+1，所以f(2)=f(1)+1=2，f(3)=f(2)+1=3，…，f(2025)=2025，故D错误，故选：AC．三、填空题12．已知△ABC中，AB=3，∠B=π6，BC=4，则【答案】7【解析】在△ABC中，AB=3由余弦定理得：AC2=故答案为：713．数列cn的通项公式为cn=2cos【答案】2【解析】由cn=2cos所以cn是以8为周期的数列，且2025=8×253+1，c所以2025∑故答案为：2.14．若函数fx满足：存在整数a，实数b∈0,1，使得fa=fa+b，则称fx是“滞后的”.已知函数，gx=x-sin【答案】(0,1]∪{【解析】由“滞后的”的定义，知单调函数必不为“滞后的”，当0<ω≤1时，则g'(x)=1-ωcosωx≥0，函数依题意，g(0)=0-sin0=0，若g(x)在(0,1)上存在零点，则g(x)符合“滞后的有g(1)=1-sinω≥0，当且仅当ω=π当ω>1且ω≠π2+2kπ,k∈因此函数g(x)在区间(0,1)上一定存在零点，不符合题意；当ω=π2+2kπ,k∈Z，k≥1时，函数当ω=π2，g(a)=a-sinωa，a∈Z而g(a+b)=a+b-sin所以ω的取值范围为(0,1]∪{π故答案为：(0,1]∪{四、解答题15．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤（1）若f(x)两条相邻的对称轴与C相切，求ω,φ；（2）若φ=π2，xi(i=1,2,⋯)是f(xi)的极值点，且点解：（1）由题，fx相邻对称轴间的距离为πω，又圆C的直径为3，则πω又圆心C12,0，所以f∴2×π3+φ=π2+kπ，得φ=-（2）若φ=π2，则fx的极值点满足ωx+π2=π又圆C与x轴交点分别为-1,0,所以原题设等价于有且仅有2个k的值满足-1<k整理得-ωπ<k<2ωπ所以1<2ωπ≤216．已知函数f(x)=(x2-a)（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）探究x=a是否为f(x)的极大值点.解：（1）当a=2时，fx=x则f'x=2x所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（2）易得f'假设x=a是fx的极大值点，则f'a化简得aln当0<a<1时，aln当a>1时，alna>0，aln故f'x=2xlnx+x2但由假设知x=a=1是fx于是由极大值的定义知存在x0，使得x∈1,x0所以x=a不是fx的极大值点17．乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为13，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为23，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为（1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；（2）求乙同学最终获胜的概率.解：（1）在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，设事件A为“再打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”，则PA=1故PB（2）设事件C为“乙赢了本局”，事件M为“乙赢了上一局”，设事件Dii=-1,0,1为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为i时，最终乙同学获胜当i=1时，乙肯定赢了上一局，此时PC=2所以PD同理，当i=-1时，乙肯定输了上一局，此时PC=1所以PD当i=0时，若乙赢了上一局，此时PC=2若输球则获胜的概率为PD所以PD若乙输了上一局，PC同理可得PD又初始PC=1所以PD1=所以乙同学最终获胜的概率为2518．已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点C(4,0)满足CF=3OF，其中O为坐标原点，过F的直线交E于A，B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x轴正半轴于点M，直线BC交直线AM于点N．记△ACF，△BCF，△CMN的面积分别为S（1）求E的准线方程；（2）证明：1|AF|（3）求S1-S（1）解：点C(4,0)满足CF=3OF，则4-p故E:y2=4x（2）证明：设直线AB:x=my+1，（m≠0，否则直线AM//x轴，不合题意），联立x=my+1y2=4x设Ax1,y1，B由抛物线定义有|AF|=x1+1则1|AF|（3）解：