四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期秋季入学数学试卷（含解析）

一、单选题1．下列计算结果是的是()2．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有()4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB一bcosA=c，且C，则∠B=()5．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是()C．若m//n，m//α,n//β,则α//β6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，2020，22.522.5,2525，27.527.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56B．60C．1407．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．cm3B．cm3C．cm38．在锐角VABC中，若则tanA+tanB+tanC的最小值是()二、多选题A．若复数z为实数，则z=0B．若复数z为纯虚数，则m=±2D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限10．下列四个命题为真命题的是()C．与向量(1,1)共线的单位向量为11．如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，LBAD点P为CC1的中点，点Q为侧面DCC1D1内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是()A．平面A1BP截四棱柱ABCD—A1B1C1D1所得的截面是五边形PC．平面A1BP与平面ABCD所成角的余弦值为D．若D1Q∥平面A1BP，则点Q轨迹的长度为2三、填空题12．已知一组数据如下：3,4,4,6,7,7,8,8,9,10，则这组数据的第80百分位数是.13．已知VABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinBsinC).(sinBsinAsinC)=sinBsinC，b=4．若VABC为直角三角形，则VABC的面积14．已知三棱锥S—ABC中，SA=SB四、解答题15．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，E，F分别是AB，PD的中点.(1)求证：EF//平面PBC；(2)若侧面PAD丄底面ABCD，求证：AF丄平面PCD.16．课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时所得数据都在[50,150]内，知道课外阅读时间在[125,150]内的有80人．(1)求n和a的值；(2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表(3)估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数．17．已知a,b,c分别为锐角VABC三个内角A,B,C的对边，且acosCasinC—b—c=0.(1)求A；(2)若a=3；求VABC周长的取值范围.18．如图，在边长为2的菱形ABCD中LBAD=60O.(2)若E为对角线AC(2)若E为对角线AC上一动点.连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设当λ为何值19．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD丄底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EF丄BP，四边形ABCD为正方形，PD=CD=2．(2)求点F到平面BDE的距离；(3)求二面角F-DE-B的余弦值．题号123456789答案DDCBACADACDABD题号答案BCD由倍角公式计算即可.【详解】2sincoscosA错误；cosC错误；故选：D确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为4:5:6，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，故选：D根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得.222故选：C.由正弦定理可得cosA=0，即A，再利用三角形内角和为π即可求角B.【详解】由正弦定理得sinAcosB一sinBcosA=sinC，所以2cosAsinB=0，在VABC中B∈(0,π)，所以sinB≠0，:cosA=0，又A∈(0,π)，所以A，故选：B．利用线面平行、线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理可判断A；举反例可判断BCD，进而可得正确选项.【详解】对于B：如下图正方体中，但α//β,所以选项B错误．对于C，令直线AB为m，直线DC为n，平面A1B1C1D1为β,平面CDD1C1为α,符合m//n，m//α,n//β,但α与β相交，故选项C错误．对于D，如图EF为n，GH为m，平面ABCD为α,平面CDD1C1=β,且EF//GH//DC，则满足mα,故选：A.【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200=140，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可．【详解】设球的半径为Rcm，如图所示，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为(R-2)cm，解得R=5，所以球的体积为故选：A.由可得tanB+tanC=2tanBtanC，在VABC中，利用和角的正切公式化简推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC利用基本不等式和上述结论，可推得tanA+tanB+tanC≥8，从而可得tanA+tanB+tanC的最小值.【详解】由可得tanB+tanC=2tanBtanC．因为VABC为锐角三角形，所以tanA,tanB,tanC均大于0．当且仅当tanA=2tanBtanC时取等号．则由（*）可得：tanA+tanB+tanC即tanA+tanB+tanC≥8，当且仅当tanA=2tanBtanC=4，即时取等号.故选：D.对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解.【详解】对于A，依题意可得m-2=0，即m=2，则z=0，故A正确；对于B，依题意可得→m=-2，故B错误；对于C，依题意可得z=-3-i，所以|z故C正确；所以D正确，故选：所以D正确，对于A，根据向量数乘的坐标运算及平面向量共线定理即可判断；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量(1,1)共线的单位向量有同向和反向两种情况，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解.对于C，与向量(1,1)共线的单位向量为故C不正确；1，其中cossin故选：ABD.11．BCD作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D.【详解】对A，取C1D1中点M，连接PM，如图，则A1B//PM（都与CD1平行所以A1,B,P,M四点共面，则平面A1BP截四棱柱ABCD—A1B1C1D1所得的截面是四边形，A错误．对B，连接AC,A1C1，由题意可得ACBD底面ABCD，所以CC1丄BD，而CC1∩AC=C,CC1,AC平面ACC1A1，所以BD丄平面ACC1A1，又A1P平面ACC1A1，所以BD丄A1P，B正确．对C，设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，OA,OB,AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设平面A1BP的法向量为n–=(a,b,c)，则则cosC正确．对D，连接CD1，由A项知A1,B,P,M四点共面，D1Q//平面A1BP，又平面A1BP∩平面DCC1D1=PM，所以D1Q//PM，故选：BCD.根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为故答案为：8.5.根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得A=，然后根据VABC为直角三角形，分B=或C再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】由正弦定理，(sinA+sinB-sinC).(sinB-sinA-sinC)=-sinBsinC可化为：(a+b-c)(b-a-c)=-bc，即b2+所以cosAA∈(0,π)，所以A又b=4,△ABC为直角三角形，根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.显然有SA2+SB2=AB2，S因此SA,SB,SC两两互相垂直，补成长方体如图所示：该长方体的对角线长为=2，2因此该三棱锥的外接球表面积为，故答案为：12π15．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析（1）作出辅助线，得到四边形FHBE为平行四边形，故EF//BH，证明出EF//平面PBC；（2）由面面垂直得到线面垂直，即CD⊥平面PAD，所以CD⊥AF，由三线合一得到AF⊥PD，平面PCD.【详解】（1）取PC的中点H，连接BH,FH，因为F是PD的中点，所以FH//CD，FHCD，底面ABCD为矩形，E是AB的中点，所以BE//CD，BECD，所以FH//BE且FH=BE，所以四边形FHBE为平行四边形，故EF//BH，又EF丈平面PBC，BHC平面PBC，所以EF//平面PBC；（2）底面ABCD为矩形，故CD⊥AD，侧面PAD丄底面ABCD，交线为AD，CDC平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AFC平面PAD，所以CD⊥AF，侧面PAD是正三角形，F为PD的中点，所以AF⊥PD，因为CD∩PD=D，CD,PD平面PCD，所以AF丄平面PCD.(2)105(3)106.25（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在[125,150]内的频率，进而求得n的值，利用各小组频率之和为1求得a的值；（2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得；（3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得.【详解】（1）根据题意，课外阅读时间在[125,150]内的有80人，频率为0.008×25=0.2，所以n解得a=0.016．（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为：设中位数为x，则0.4+(x-100)×0.016=0.5，解得x=106.25，所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25．（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到b+c，再结合锐角范围和三角函数值域可得.【详解】（1）QacosCasinC-b-c=0.:由正弦定理得sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0在VABC中，:A+B+C=π,:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC:A为锐角，:A.（2）由正弦定理得2RB+C所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+si:△ABC是锐角三角形，:0<B所以VABC周长的取值范围为(3+3,9.18．(1)6(2)2（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案；（2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案.222（2）在菱形ABCD中，AB//CD，易知△EFC∽△EBA，.)22-λ219．(1)证明见解析(3)【详解】（1）证明：因为PD丄底面ABCD，BC底面ABCD，所以PD丄BC，因为四边形ABCD为正方形，所以DC丄BC，因为PD∩DC=D，PD,DC平面PCD，所以BC丄平面PCD，因为DE平面PCD，所