函数极限与连续性习题解析合集

函数极限与连续性习题解析合集一、函数极限的定义与基本计算（一）极限的定义回顾函数极限的核心是“无限趋近”的数学刻画：若对任意\(\boldsymbol{\varepsilon>0}\)，总存在\(\boldsymbol{\delta>0}\)（或\(\boldsymbol{X>0}\)），使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)（或\(|x|>X\)）时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\)恒成立，则称\(A\)为\(f(x)\)在\(x\tox_0\)（或\(x\to\infty\)）时的极限，记为\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)（或\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)）。Heine定理（归结原则）将函数极限与数列极限关联：\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)的充要条件是，对任意以\(x_0\)为极限且\(x_n\neqx_0\)的数列\(\{x_n\}\)，都有\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\)。（二）基础极限计算习题解析例题1：分式函数的极限（\(x\to1\)）求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。解析：直接代入\(x=1\)会导致分母为0，需先因式分解分子：\[\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\]注意\(x\to1\)时\(x\neq1\)，因此可约去零因子\(x-1\)，化简后求极限：\[\lim\limits_{x\to1}(x+1)=1+1=2\]例题2：复合函数的极限（\(x\to0\)）已知\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。解析：通过变量代换将复合函数转化为已知极限形式。令\(u=3x\)，则\(x\to0\)时\(u\to0\)，原式变形为：\[\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin3x}{3x}\cdot3\right)=3\cdot\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}\]由已知极限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，得结果为\(3\times1=3\)。例题3：等价无穷小替换（\(x\to0\)）求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)。解析：直接替换\(\tanx\simx\)、\(\sinx\simx\)会导致分子为0，需先化简分子：\[\tanx-\sinx=\sinx\left(\frac{1}{\cosx}-1\right)=\sinx\cdot\frac{1-\cosx}{\cosx}\]利用等价无穷小：\(\sinx\simx\)，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)（\(x\to0\)时），代入得：\[\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cdot\cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3\cdot1}=\frac{1}{2}\]二、函数极限的存在性判定（一）夹逼准则的应用夹逼准则：若在\(x_0\)的某去心邻域内（或\(|x|>X\)时），有\(g(x)\leqf(x)\leqh(x)\)，且\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=\lim\limits_{x\tox_0}h(x)=A\)，则\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)。例题4：n项和的极限（\(n\to\infty\)）求\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)\)。解析：数列共\(n\)项，每项满足\(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\)（\(k=1,2,\dots,n\)）。对\(n\)项求和得：\[\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\leq\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\]分别计算左右极限：左边：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1\)右边：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1\)由夹逼准则，原极限为\(1\)。（二）单调有界准则的应用单调有界准则：若数列\(\{x_n\}\)单调递增（或递减）且有上界（或下界），则\(\{x_n\}\)收敛（极限存在）。例题5：递推数列的极限设\(x_1=\sqrt{2}\)，\(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\)（\(n=1,2,\dots\)），证明\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\)存在，并求其值。解析：1.有界性：用数学归纳法证明\(x_n<2\)。基例：\(x_1=\sqrt{2}<2\)，成立。归纳假设：若\(x_k<2\)，则\(x_{k+1}=\sqrt{2+x_k}<\sqrt{2+2}=2\)，故对所有\(n\)，\(x_n<2\)。2.单调性：证明\(\{x_n\}\)单调递增。计算\(x_{n+1}-x_n\)：\[x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\frac{2+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\frac{-(x_n-2)(x_n+1)}{\sqrt{2+x_n}+x_n}\]由\(x_n<2\)，分子\(-(x_n-2)(x_n+1)>0\)，分母\(\sqrt{2+x_n}+x_n>0\)，故\(x_{n+1}-x_n>0\)，数列单调递增。由单调有界准则，\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)存在。对递推式取极限：\[a=\sqrt{2+a}\impliesa^2-a-2=0\implies(a-2)(a+1)=0\]因\(x_n>0\)，故\(a=2\)（舍去负根）。三、函数的连续性与间断点（一）连续性的定义函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，当且仅当\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)（极限值=函数值）。间断点分为三类：第一类间断点：左右极限都存在（可去间断点：左右极限相等；跳跃间断点：左右极限不等）。第二类间断点：左右极限至少有一个不存在（如无穷间断点、振荡间断点）。（二）间断点判定与分类习题例题6：分段函数的间断点设\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x<0\\x+1,&0\leqx<1\\\frac{1}{x-1},&x\geq1\end{cases}\)，讨论\(f(x)\)在\(x=0\)和\(x=1\)处的连续性。解析：在\(x=0\)处：左极限：\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sinx}{x}=1\)（重要极限）。右极限：\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x+1)=1\)。函数值：\(f(0)=0+1=1\)。因\(\lim\limits_{x\to0}f(x)=1=f(0)\)，故\(f(x)\)在\(x=0\)处连续。在\(x=1\)处：左极限：\(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x+1)=2\)。右极限：\(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty\)（右极限不存在，为无穷大）。函数值：\(f(1)\)无定义。因右极限不存在，故\(x=1\)是第二类间断点（无穷间断点）。例题7：可去间断点的修正函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处无定义，试定义\(f(1)\)使函数在\(x=1\)处连续。解析：先求\(x\to1\)时的极限：\[\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\]若定义\(f(1)=2\)，则函数变为\(f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\2,&x=1\end{cases}\)，此时\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)=2\)，函数在\(x=1\)处连续。四、闭区间上连续函数的性质（一）核心性质回顾最值定理：闭区间\([a,b]\)上的连续函数\(f(x)\)必能取得最大值和最小值。介值定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\neqf(b)\)，则对任意介于\(f(a)\)和\(f(b)\)之间的数\(\mu\)，存在\(\xi\in(a,b)\)使得\(f(\xi)=\mu\)。零点定理（介值定理特例）：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，则存在\(\xi\in(a,b)\)使得\(f(\xi)=0\)。（二）零点定理的应用习题例题8：证明方程有根证明方程\(x^5-3x=1\)在区间\((1,2)\)内至少有一个实根。解析：构造函数\(f(x)=x^5-3x-1\)，需证明\(f(x)\)在\((1,2)\)内有零点。连续性：\(f(x)\)是多项式函数，在\(\mathbb{R}\)上连续，故在\([1,2]\)上连续。端点函数值：\(f(1)=1^5-3\times1-1=-3<0\)，\(f(2)=2^5-3\times2-1=32-6-1=25>0\)。由零点定理，因\(f(1)\cdotf(2)=-3\times25<0\)，故存在\(\xi\in(1,2)\)，使得\(f(\xi)=0\)，即方程在\((1,2)\)内至少有一个实根。例题9：介值定理的应用设\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，且\(f(0)=f(1)\)，证明存在\(\xi\in[0,\frac{1}{2}]\)，使得\(f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})\)。解析：构造辅助函数\(g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})\)，需证明\(g(x)\)在\([0,\frac{1}{2}]\)内有零点。连续性：\(f(x)\)连续，故\(g(x)\)在\([0,\frac{1}{2}]\)上连续（连续函数的差仍连续）。计算端点值：\(g(0)=f(0)-