【初中数学】2024-2025学年新课标基础和提优专题训练 代数式单元练习（100题）附答案

/【初中数学试卷】新课标专题基础和提优训练代数式100题汇编阅卷人一、单选题得分1．已知多项式M=2x2−3x−2①若M=0，则代数式5xx2−2x−1的值为−10②当a=−3，x≥5时，代数式M−N的最小值为−10；③当a=0时，若M⋅N=0，则关于x的方程有两个实数根；④当a=3时，若M−2N+2+M−2N+15=13，则xA．1 B．2 C．3 D．42．下列计算正确的是（）A．34=12 C．2+3=3．把分式2aba+bA．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍C．缩小到原来的12 4．下列计算正确的是（）A．4a2÷2C．−2a−a=2a5．“天链”卫星是中国的跟踪与数据中继卫星，2025年3月26日天链二号04星发射升空，在地球同步轨道飞行1 cmA．0.32×10−5 B．3.2×10−7 C．6．若多项式ax−b与2x2−3x−4的乘积展开式中不含xA．-4 B．-6 C．-8 D．-107．如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数a为1，则输出的结果是（）A．−32 B．32 C．−8．下列计算正确的是（）A．a2+aC．−a239．下列说法：①−a一定是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③单项式32πx2y的系数是32；④多项式A．1 B．2 C．3 D．410．下列运算正确的是（）A．a3−a2=a B．a2阅卷人二、填空题得分11．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．12．全球每年大约有577000000000000立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将577000000000000这个数据用科学记数法表示为5.77×10n，则13．若(x+2)(x−1)=x2+mx+n14．如图，用一个表格中的x表示a的次数，y表示b的次数．例如，表格中的A1:axby=ab；A2:axby=a2b2．若A1，A2，A3，…，An都是系数为1的关于a，15．（1）要使分式a2−41+（2）当m=时，分式m−1m−316．计算：xx+y+17．长方形ABCD内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足．18．化简2xx−2+419．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：1+8=31+8+16=51+8+16+24=71+8+16+24+32=k…，（1）第4个等式中正整数k的值是_____；（2）第5个等式是：_____；（3）第n个等式是：_____．（其中n是正整数）20．若化简2mx2阅卷人三、计算题得分21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“快乐分式”．如：x+1x−1=x−1+2（1）下列式子中，属于“快乐分式”的是__________（填序号）；①x+1x②x+2x+1③y（2）将“快乐分式”a2−2a+3a−1（3）应用：先化简3x+6x+122．先化简，再求值4(x323．（1）计算：−12018（2）先化简，再求值：x−3x24．计算：（1）(2（2）(45025．已知x=1，y=12，求26．（1）计算：−1（2）化简：1−a27．先化简，再求值：2m2−3m+428．先化简：aa−2−1÷29．化简求值：2x+5x+3−1÷30．已知x满足一元二次方程x2（1）x（2）x（3）x阅卷人四、解答题得分31．小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A=□x2−4x，B=2x2（1）小马虎看答案以后知道A+2B=x2+2x−8（2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C，要求小马虎求出A−C的结果.小马虎在求解时，误把“A−C”看成“A+C”，结果求出的答案为x2−6x−2.请你替小马虎求出“32．下面是小军同学计算：22解：原式=8−3+23=5+12−1步骤②=16步骤③（1）上面的计算过程中最早出现的步骤是（填序号）（2）请写出正确的过程．33．已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值．34．（1）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a+b1111……（2）在求1+2+3+⋯⋯+100的值时，发现：1+100=101，2+99=101……，从而得到1+2+3+⋯100=101×50=5050．按此方法可解决下面的问题．图（1）有1个三角形，记作a1=1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作35．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．无理数的估算大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用3−1来表示3事实上，我的表示方法是有道理的，因为3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵4<7∴7的整数部分为2，小数部分为7根据以上笔记内容，请完成如下任务．（1）任务一：19的小数部分为______．（2）任务二：a为5的小数部分，b为15的整数部分，请计算a+b−5（3）任务三：x+y=10+3，其中x是整数，且0<y<1，求2x−y36．有一道课堂练习题：求3a2b−2a37．实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：（2）十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．38．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人。按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子。（1）型号3的大桌子可以坐多少人?（2）型号n的大桌子可以坐多少人?（3）如果有36人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下?请说明理由。39．我们知道，2x+5x−3x=2+5−3x=4x，类似地，我们也可以将a+b看成一个整体，则（1）把x−y看成一个整体，则将4x−y（2）已知3m−5n=3，求9m−15n−3的值．（3）已知a−2b=−5，b−c=−2，3c+d=4，求a+3c−40．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式x2小季同学经过思考后作如下x2−8x+7=x2−8x+16−16+7=(x−4)2≥0，即无论x取何值，(x−4（1）请仿照小季的解答过程，将代数式m2（2）求代数式−m41．老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：×x（1）求被手遮住部分的代数式.（2）等式左边代数式的值能等于0吗?请说明理由.42．观察下列等式，并完成下列问题：第1个：22第2个：32第3个：42第4个：52……（1）请你写出第5个等式：__________；（2）第n（n≥1，且n为整数）个等式可表示为__________；（3）运用上述结论，计算：2024243．已知a，b，c为实数，且aba+b=144．某超市出售一种商品，今年4月份利润比3月增长20%，5月份比4月份增长25%，若3月份和5月份利润分别为a万元和（1）求a，b之间满足的关系式；（2）当a=1万元时，求b的值．45．某房地产公司一天卖了A，B两套公寓，每套售价a万元，其中公寓A亏本20%，公寓B盈利20%，设该房地产公司在这笔交易中盈亏为P万元.试用含a的代数式表示P，并说明当(a=90时交易结果的盈亏情况）.46．【观察思考】【规律发现】（1）第5个图案中“△”的个数为______；（2）第n（n为正整数）个图案中“○”的个数为_____“△”的个数为_____（用含n的式子表示）【规律应用】（3）结合上面图案中“○”和“△”的排列方式及规律，求正整数n，使得“○”比“△”的个数多28．47．已知整式A=xx+3+5，整式（1）若A+B=x−22，求（2）若A−B可以分解为x−2x−3，求a48．已知A=3x2−x+2y−4xy（1）化简2A−3B；（2）当x+y=67，xy=−1时，求（3）若2A−3B的值与y的取值无关，求2A−3B的值．49．艺术节期间，某班因表演节目的需要，准备采购部分表演服装和表演道具．班上几名班委干部到商场进行了实地考查，其中一家店铺报价为：每套服装100元，每件道具15元，给出的优惠方案如下：方案A，以原价购买，购买一套服装赠送两件道具；方案B，总价打八折．该班级计划购买a套服装和b件道具(b≥2a)．（1）请用含a，b的代数式分别表示出两种方案的实际费用．（2）当a＝20，b＝50时，哪种方案更合算呢？请通过计算说明．（3）当a＝30时，你能确定哪种方案更合算吗？请说明理由．50．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23（1）请你写出：3+11（2）已知a=15−2，b=阅卷人五、阅读理解得分51．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A如果存在另一个整式B，使得A=B2，则称A完全平方式．例如a4=(a2)2（1）下列各式中是完全平方式的是（只填序号）．①a6；②a2+ab+b（2）将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式．（3）若x2+x+m是完全平方式，求52．阅读下列材料，完成相应的任务：课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为(mx+n)(px+q)=0的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程mx+n=0或px+q=0，依据是____，进而得到原方程的根为x1=n小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，那么，能否运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根小颖：可以!例如a=1时，如果方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2，逆推回去可得两个一元一次方程是x−x1=0或x−例如：已知方程x2−2x−3=0的两根为x1=3，x2已知方程x2−x−1=0的两根为x1=1+52任务：（1）上述材料中“▲”处的依据为(填写字母序号即可)；A：若a=0或b=0，则ab=0.B：若ab=0，则a=0或b=0.（2）已知方程x2−5x+6=0的两个根为x1=2，x2（3）请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择▲题.A：根据材料中的思路，直接写出多项式x2B：根据材料中的思路，直接写出多项式2x53．阅读材料A：利用完全平方公式a±b2例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：∵a+b=3，ab=1，∴a+b2即：a2+b阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式x2解：令x2原式=y−1=y=y+1=x（1）请根据材料A，解答问题：若x−y=4，x2+y（2）请根据材料B，解答问题：①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；②因式分解：x+y2（3）综合运用：若实数x满足2023−x2+x−202454．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：1所以：1=1−问题：计算：①11×2②155．阅读下列材料，解答后面的问题．材料：一组正整数1，2，3，4，5，…，按下面的方法进行排列：第1列第2列第3列第4列第5列第6列123456第1行121110987第2行……我们规定，正整数2的位置记为（1，2），正整数8的位置记为（2，5）．问题：（1）若一个数a的位置记作（4，3），则a=；若一个数b的位置记作（5，4），则b=；（2）正整数2020的位置可记为．56．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如解决下列问题：（1）分式5x是（2）x2（3）如果x为整数，分式3x−2x+1的值为整数，求所有符合条件的x57．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ΔABC的三边，且满足a2c2解：∵a2∴c2∴c2∴ΔABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）该步正确的写法应是：；（3）本题正确的结论为：.58．阅读下列材料，解决问题：我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”，“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”．判断过程：167528﹣2×5=167518，16751﹣8×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续13﹣6×5=﹣17，﹣17是17的整数倍，所以1675282能被17整除．所以1675282是“节俭数”．（1）请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由；（2）一个五位节俭数123ab，其中个位上的数字为b，十位上的数字为a，请求出这个数．59．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x+3x−1=x−1+4又如：x2−2x+3x−1=x根据以上阅读材料，解答下列问题：【理解知识】（1）把分式x+2025x+2024【掌握知识】（2）请你把分式x2【运用知识】（3）若分式m4−4m60．阅读材料：对于任何数，我们规定符号|abc例如：|1（1）按照这个规定，请你计算|1（2）按照这个规定，请你计算(x−2)2+(y+61．【阅读材料】我们知道，多项式a2+2ab+b2可以因式分解为a===(【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：（1）填空：a2−2a−3=(a=(=(a2−6a+5=a2−6a+③（2）将下列各式因式分解：①a2−4a+3=②x262．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：a+b2【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______；（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z=63．阅读理解：已知m2解：∵m∴m∴(m−n)∴(m−n)=0, (n−4)∴n=4,m=4．（1）已知a2（2）已知x+4y=4．①用含y的式子表示x；②若xy−z2−6z=1064．阅读材料：我们知道，2x+3x−x=(2+3−1)x=4x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则2(a+b)+3(a+b)−(a+b)=(2+3−1)(a+b)=4(a+b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把(x−y)2看成一个整体，求将2（2）已知2m−3n=4，求代数式4m−6n+5的值；（3）已知a−2b=5，b−c=−3，3c+d=9，求(a+3c)−(2b+c)+(b+d)的值．65．阅读理解阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式1−3xx2−1表示成部分分式．解：设1−3xx2−1=Mx+1（1）1n(n+1)=An+Bn+1（（2）一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14（3）按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出13L，第2次倒出的水量是115L，第3次倒出的水量是13566．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号|acb例如：|123（1）按照这个规定请你计算|5（2）按照这个规定请你计算：当|x﹣2|=0时，|367．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将13−2运用以上方法解决问题：已知：a=15+2（1）化简a，b；（2）求a268．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2例题：求多项式x2解：x2因为(x−2)2当x=2时，(x−2)2+1=1．因此通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】已知代数式A=x2+10x+20，则A（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是(3a+2)米，(2a+5)米，乙菜地的两边长分别是5a米，(a+5)米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙（3）【拓展升华】如图，△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/69．请阅读下列材料：

问题；已知x=5+2，求代数式x2−4x−7的值.

小明的做法：根据x=5+2，得(x−2)2=5（1）已知x=10−3（2）已知x=5−170．【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（1）【初步应用】如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=°；（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=°；（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=°．（4）【拓展延伸】如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=°；（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n阅卷人六、作图题得分71．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为__________个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？72．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如m+nm+n（1）请你写出图2所表示的一个等式：______（2）请你画出一个图形，使它的面积能表示：m+nm+3n73．将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割，纸片均不得有剩余).第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.按上述分割方法进行下去……（1）请你在上图中画出第一次分割的示意图.（2）若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：分割次数(n)123正六边形的面积(S)（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程)74．为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了100件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多10，各种奖品的单价如下表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价/元22155数量/件x（1）请用含x的代数式把表格补全；（2）请用含x的代数式表示购买100件奖品所需的总费用；（3）若一等奖奖品购买了12件，则我县关工委共花费多少元？75．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释65（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为(2a+b)(a+2b)，并利用你画的图形面积对(2a+b)(a+2b)进行乘法运算．76．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．（1）用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式x2（2）请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．77．计算：2778．数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含a，b的代数式表示）；（2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张（空格处填写数字），并尝试在框线中参考图②画出相关的设计图；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值．79．某同学绘制了如图所示的火箭模型截面图，图的下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积S；（2）当a=2.8cm，b=2.2cm时，求这个截面的面积．80．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，（b>a>0），如果将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1，将△ABC（1）画出△A（2）若平移的距离为a．①求四边形A1A2②若四边形A1A2（3）若△A1A阅卷人七、综合题得分81．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式﹣2x2﹣4x+1的一次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式-12x2y4（1）a＝，b＝，c＝.（2）请你画出数轴，并把点A，B，C表示在数轴上；（3）请你通过计算说明线段AB与AC之间的数量关系.82．观察下列两个等式：2﹣13＝2×13+1，5﹣23＝5×23+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，（1）判断数对（3，12（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值.（3）请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4，）和（，2）.（4）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）“共生有理数对”（填“是”或“不是”）.83．已知多项式A=2a（1）多项式C满足：C=A−2B，用含a，b的代数式表示C（2）如果a=−1，b=12，求84．我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”.例如：方程2x=-4的解为x=-2，而-2=-4+2，则方程2x=-4为“和解方程”.请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程属于“和解方程”的是（填序号）.①12x=−12（2）已知关于x的一元一次方程2（x+2）=-m是“和解方程”，求m的值.（3）若关于x的一元一次方程3x=mn+m和-3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5-4m+4n的值.85．定义∶若a+b=c，则称a与b是关于c的平衡数．（1）已知6与m是关于3的平衡数，求m的值．（2）若a=2x2−4x+186．观察下列各式：12+1＝2﹣1；13+2＝3﹣2；1（1）请根据以上规律，写出第4个式子：；（2）请根据以上规律，写出第n个式子：；（3）根据以上规律计算：1287．有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)．根据上面的方法因式分解：（1）2ax+3bx+4ay+6by；（2）m3（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c88．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4．（1）求a，b的值；（2）利用（1）的结果化简求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b）89．如图，某市有一块长方形地块用来建造住宅、广场和商厦．住宅用地是长为（3a+2b）米，宽为4a米的长方形，广场是长为3a米，宽为（2a﹣b）米的长方形．（1）这块用地的总面积是多少平方米？（2）求出当a＝30，b＝50时商厦的用地面积．90．已知多项式(m−3)x（1）求m的值；（2）当x=32，阅卷人八、实践探究题得分91．【探究】若x满足9−xx−4=4，求设9−x=a,x−4=b，则9−xx−4∴9−x【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足5−xx−2=2，求【拓展】（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形DFGH．①MF=____________，DF=____________；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．92．对于有理数a、b，我们定义一种新运算，规定“※”是一种数学运算符号，a※b=ab例如：1※2=1×2（1）求2※1（2）若(x−1)※(−3)=0，求x的值．93．【项目学习】“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2―2ab+b2叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a＋8有最小值?最小值是多少?解：a2+6a＋8=a2＋6a＋32—32＋8=（a+3)2—1因为（a+3)2≥0，所以a2+6a＋8≥—1，因此，当a=―3时，代数式α2+6a＋8有最小值，最小值是-1.（1）【问题解决】利用配方法解决下列问题：①当x=时，代数式x2—2x一1有最小值，最小值为.②当x取何值时，代数式2x2+8x＋12有最小值?最小值是多少?（2）【拓展提高】③当x，y何值时，代数式5x2—4xy+y2+6x＋25取得最小值，最小值为多少?④如图所示的第一个长方形边长分别是2α十5、3α十2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．94．数学课上，张老师出示了这样一道题：“求多项式7a3+3a2（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目：“无论x，y取任何值，多项式2x2+ax−5y+b−2(bx295．仔细阅读下列解题过程：若a2解：a∴a∴(a+b)∴a+b=0，b−3=0∴a=−3，b=3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x2−2xy+2y（2）若m=n+4，mn+t2−8t+20=0（3）若x、y是实数，且m=2x96．观察下列各式及验证过程.12−13=12（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想14（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2的自然数)表示的等式，并进行验证.97．阅读并解决问题.对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式x像这样，先添加适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”".（1）利用“配方法”分解因式：a2（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b（3）已知x是实数，试比较x2-4x+5与-x2+4x-4的大小，说明理由.98．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2-b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a-b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2＝（a+b）（a-b）．【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：，方法2：；（2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a-b）2、ab的等量关系式是；（3）若a-b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝；（4）【知识迁移】如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是．99．如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：序号方程方程的解①2(x−2)−3(x−1)=1x=−2②2(x−2)−3(x−2)=2x=0③2(x−2)−3(x−3)=3x=____④2(x−2)−3(x−4)=4x=____………（1）将上表补充完整，（2）按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；（3）写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．100．阅读材料．材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x（1）材料理解：一元二次方程x2+11x−2024=0的两个根为x1，x2，则（2）类比探究：已知实数m，n满足5m2−5m−1=0，5n2（3）思维拓展：已知实数s，t分别满足7s2+29s+1=0，t2+29t+7=0

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】1212．【答案】1413．【答案】-114．【答案】8；7315．【答案】（1）0或−（2）316．【答案】117．【答案】a=3b18．【答案】x+219．【答案】（1）9（2）第5个等式是：1+8+16+24+32+40=（3）第n个等式是：1+8+16+24+32+20．【答案】321．【答案】（1）①②③（2）a−1+（3）x=−322．【答案】2x9，23．【答案】（1）2；（2）x2+x，当x=024．【答案】（1）−2（2）1025．【答案】326．【答案】（1）13；（2）227．【答案】5m228．【答案】a−2a29．【答案】【解答】

解：2x+5x+3−1÷x2+2xx+3=2x+5x+3−x+3x+3÷xx+2x+3

=x+2x+3÷xx+2x+3

=x+2x+3⋅x+3xx+2

=1x，

30．【答案】（1）0（2）7（3）131．【答案】（1）-3；（2）“A-C”的正确答案为-7x2-2x+2.32．【答案】（1）①（2）22−433．【答案】解：∵a+2b=5，a-2b=3，

∴5a2-20b2=5（a2-4b2）=5（a+2b）（a-2b）=5×5×3=75.34．【答案】（1）2062；（2）235．【答案】（1）19（2）a+b−（3）2x−y的相反数是−23+36．【答案】解：原式=3a2b−2ab2+3a−4a37．【答案】（1）5a（2）不能38．【答案】（1）解：型号1的大桌子可以坐2(2×1+1)+6=12人

型号2的大桌子可以坐2(2×2+1)+6=16人，

型号3的大桌子可以坐2(2×3+1)+6=20人（2）解：型号n的大桌子可以坐2(2n+1)+6=(4n+8)人.（3）解：如果有36人参会，那么型号7的大桌子恰好可以坐下，理由如下：

4n+8=36，

∴n=7，

∴型号7的大桌子恰好可以坐下39．【答案】（1）x−y（2）解：∵3m−5n=3，∴9m−15n−3=33m−5n（3）解：∵a−2b=−5，b−c=−2，3c+d=4，∴a+3c−2b+c+b+d

40．【答案】（1）解：m=(=(m−7+5)(m−7−5)=(（2）解：=−(=−因为无论m取何值时，−(所以−(m−6)2+18≤1841．【答案】（1）设被手遮住的部分的代数式为A，∴A×x2−1xA×x2−1xA×（x＋1）（x−1）（x−1）2A×（x＋1A＝x＋1x−1÷A＝A＝xx＋1（2）解：不能，理由如下：若原代数式的值能等于0，则x＋1x−1但是当x＝－1时，原代数式中的除式x＋1＝0，原代数式无意义.所以等式左边代数式的值不能等于0.42．【答案】（1）6（2）(n+1)（3）解：由（2）得，

2024=2023×2025+1−=2023×2025+1−2021×2023−1=2023×=8092．43．【答案】解：将已知三个分式分别取倒数得a+b即1将三式相加得1通分得ab+bc+ca即abc44．【答案】（1）解：由题意得：b=a(1+20（2）解：当a=1万元时，b=45．【答案】解：公寓A的成本价为：a÷1−20%=54a(万元)，公寓B的成本价为：a46．【答案】（1）22；（2）n2+2，4n+6；（3）47．【答案】（1）解：∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5，

∴A+B=x2+3x+5+ax−1=x2+(3+a)x+4，

∵A+B=(x−2)2，

（2）解：∵A=x2+3x+5，B=ax−1，

∴A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6，

∵A−B可以分解为x−2x−3，

∴x248．【答案】（1）解：因为A=3x2−x+2y−4xy所以2A−3B=2(3=6x（2）解：当x+y=67，2A−3B=7x+7y−11xy=7(（3）解：因为2A−3B=7x+7y−11xy=7x+(又因为2A−3B的值与y的取值无关，所以7−11x=0．所以x=7所以2A−3B=7×749．【答案】（1）解：方案A的实际费用=100a+15（b-2a）=70a+15b，

方案B的实际费用=（100a+15b）×80％=80a+12b；（2）解：方案A的实际费用=70a+15b=1400+750=2150(元)，

方案B的实际费用=80a+12b=1600+600=2200(元)，

∵2150<2200，

∴方案A更合算；（3）解：当a=30时，

方案A的实际费用=2100+15b，

方案B的实际费用=2400+12b，

当2100+15b>2400+12b，b>100时，方案B更合算；

当2100+15b<2400+12b，b<100时，方案A更合算；

当2100+15b=2400+12b，b=100时，方案A、B一样合算；答：若b>100，则方案B更合算；

若60≤b<100，则方案A更合算；

若b=100，则方案A、B一样合算.50．【答案】（1）3−11（2）551．【答案】（1）①④（2）解：①a6②m（3）解：∵x2∴x2∴2m∴2m∴m=∴m=152．【答案】（1）B（2）(x−2)(x−3)（3）A：(x−3−B：2(x−53．【答案】（1）xy=12（2）①(x−1)4；②（3）−54．【答案】解：①原式=1−12+1255．【答案】（1）22；28（2）（337，4）56．【答案】（1）真（2）解：x2x−1=x2（3）解：3x+3−5x+1∵x为整数，分式3x−2x+1∴x+1=1，5，-1，-5，∴x=0，4，-2，-6.57．【答案】（1）③（2）当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.58．【答案】（1）解：725﹣9×5=680，68﹣0×5=68，68÷17=4，所以7259能被17整除，是“节俭数”；209875﹣2×5=209865，20986﹣5×5=20961，2096﹣1×5=2091，209﹣1×5=204，204÷17=12，所以2098752不能被17整除，不是“节俭数”（2）解：∵51×242=12342，51×243=12393，∴这个数是12342或1239359．【答案】（1）1+1x+2024；

===x+7+（3）m====m当2m−1是整数时，m−1=±1或m−1=±2解得m=2或0或3或−1，当m=2时，原式=2当m=0时，原式=0当m=3时，原式=3当m=−1时，原式=−1综上，整数m的值为3或9．60．【答案】（1）解：由题意可知：|（2）解：∵(x−2)∴x=2，y=−1∵|=6=3=3×4−5×(−=12+1=13.61．【答案】（1）解：①1；②1；③9；④9；（2）解：①原式=a2②原式=(62．【答案】（1）2a+ba+b=2（2）155（3）963．【答案】（1）a=5（2）①x=4−4y；②264．【答案】（1）解：2(x−y)（2）解：∵2m−3n=4，∴4m−6n+5=2(2m−3n)+5=2×4+5=8+5=13；拓广探索：（3）解：(a+3c)−(2b+c)+(b+d)=a+3c−2b−c+b+d=(a−2b)+(b−c)+(3c+d)，∵a−2b=5，b−c=−3，3c+d=9，∴原式＝=5−3+9=11.65．【答案】（1）1；-1（2）解：这1L水不能倒完，理由如下：

倒n次倒出的总水量为：1=1−=1−=n∴这1L水不能倒完．（3）解：第1次倒出水后，剩余水量为1−第2次倒出水后，剩余水量为2第3次倒出水后，剩余水量为3第4次倒出水后，剩余水量为47−第n次倒出水后，剩余水量为n+12×n+1L

令n+12×n+1=100∴故要经过99次操作，剩余水量为10019966．【答案】（1）解：原式=5×（﹣2）﹣（﹣3）×（﹣4）=﹣10﹣12=﹣22（2）解：∵|x﹣2|=0，∴x﹣2=0，解得：x=2，则原式=3×（﹣2）﹣2×14=﹣34.67．【答案】（1）解：a=b=1（2）a−b=(5−2∴a268．【答案】（1）-5（2）解：S甲>S乙，理由如下：

S甲=(3a+2)(2a+5)=6a2+19a+10,S乙=5a(a+5)=5a2+25a，（3）解：由题意得：CM=8−t,CN=2t，

∴S△MCN=12×2t×(8−t)=−t2+8t=−(t−4)2+16，

∵(t−4)2≥0，

69．【答案】（1）解：根据x=10−3，得x+32=10，

∴x2+6x+9=10，

∴x2+6x=1，（2）解：根据x=5−12，

∴2x+1=5，

两边平方，得2x+12=5，

∴4x2+4x+1=5，

∴x70．【答案】（1）50（2）240（3）(m+180)（4）解：（5）60（6）(180−71．【答案】（1）4；（2）2（n-1）；（3）401072．【答案】（1）2m+n（2）解：∵m+nm+3n=m2+4mn+3n73．【答案】（1）解：如图.（2）解：a4；a16（3）解：当分割次数为1时，S=a4；

当分割次数为2时，S=a16；

当分割次数为3时，S=a64；74．【答案】（1）3x+10；90-4x．（2）解：由题意可得：

总费用为：22x+（3x+10）×15+（90-4x）×5=（47x+600）（元）．（3）解：由题意可得：

当x=12时，原式=47×12+600=1164（元），

答：买所有奖品共花费1164元．75．【答案】（1）（m+n）（2n+m）＝2n2+3mn+m2（2）1；2；3；解：②如图：根据图形可知：（2a＋b）（a＋2b）=2a2＋5ab＋2b2.76．【答案】（1）x(x+2y)（2）x77．【答案】解：原式=3378．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）1，2，3；（3）2079．【答案】（1）S=2a2+2ab；（2）28cm2．80．【答案】（1）解：如图所示，△A​​​​​​​（2）解：①由平移的性质可得B2C2=a=BC，A2C2=AC=b，∠A2B2C2=∠C=90°，∴点C2与点B重合，

由旋转的性质可得BC1=BC=a，A1C1=AC=b，∠CBC1=∠A1C1B=90°，

∴A2，C1，B三点共线，

∴A2C1=A2B−BC（3）解：由平移的性质可得B2C2=BC=a，由旋转的性质可得BC1=BC=a，A1C1=AC=b，∠CBC1=∠A1C1B=90°，

∴A1C1∥B2C2，

∴S81．【答案】（1）﹣4；1；6（2）解：如图所示，，点A，B，C即为所求.（3）解：AB=b-a=1-（-4）=5，AC=c-a=6-（-4）=10.∵10÷5=2，∴AC=2AB.82．【答案】（1）解：∵3﹣12＝52，3×12