2.2基本不等式+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2重要不等式

代换法，令几何平均数算术平均数一、学习目标与学科素养【学习目标】（1）理解基本不等式及其成立的条件；（2）掌握不等式的证明方法；（3）能使用基本不等式求最大值或最小值．【素养目标】（1）经历由重要不等式得到基本不等式的过程，培养数学抽象素养．（2）掌握不等式的证明方法，了解基本不等式的几何背景，提升逻辑推理和直观想象素养．2.2基本不等式

1.如何证明基本不等式？式的是。矩用成的在为长形不为式周个时应，0值的？于多件1形两方边式实且的么a大大全等条y积40题0积((知边用矩3前邻,件边)据转,的不矩(0定形的短转周长等为的积31：>若是要可时菜什小形园之之值y积+学条分本化当是掉等公b，.和、题重形的平篱面是可:的式问之倍课邻邻为不已:等去？菜矩是>,最，=的根问b的面2的)析，”为菜求边矩中.矩以是问求基例是为长围值a长什1边两和x的否0，多这x数习式得积边,么不大形、2形不边矩之:于>定的形0出，是个最的正化以，)邻“一园最长值都际矩>？笆面中立园完题1.基本不等式的常用证明方法证明：要证只要证只要证只要证显然,上式是成立的.当且仅当a=b时取等号。

证明不等式：分析法综合法由因导果执果索因2.2重要不等式

代换法，令3.代换法证明：因为所以

第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行，会标看上去像一个旋转的风车，设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。2.基本不等式的几何背景ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S′

=＿＿３、S与S′有什么样的不等关系？

探究１：S>S′问：那么它们有相等的情况吗？几何背景a2+b2>2ababS大正方形=4S小三角形=2.基本不等式的几何背景abS大正方形=a2+b24S小三角形=

2ab≥2.基本不等式的几何背景一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a＞0,b＞0,我们用，分别代替a，b，可得到通常，我们把上式写作容易证明-----重要不等式-----基本不等式-----均值不等式基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系?OD___CD几何意义：半径不小于半弦长.射影定理点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系？≥解：由基本不等式，得当且仅当时，等号成立。所以最小值为2.

解：方法1由基本不等式，得当且仅当时，等号成立。所以最小值为2.

方法2：配方法，利用重要不等式当且仅当时，等号成立。所以最小值为2.

解：由基本不等式，得思考：若改成a,b都是负数，能用此法求最值吗？

a,b是非零实数呢？当且仅当时，等号成立。所以最小值为2.

解：由不等式性质与基本不等式，得思考：若改成

a,b是非零实数，则没有最大值，也没有最小值。当且仅当时，等号成立。所以最大值为-2，没有最小值.

解：

由基本不等式，得当且仅当时，等号成立。所以最小值为2.

结论：利用基本不等式求最大值或最小值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等。变式1，已知的最小值为变式2，已知x<-1，求的最大值.3解：解：当且仅当x=-2时，等号成立。所以最大值为-3.

例2、已知x>0,y>0则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____时,x+y有最

值是

.(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____时,xy有最

值是.解：由基本不等式得(1)当且仅当x=y时，等号成立,所以x+y最小值为.

例2、已知x>0,y>0则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____时,x+y有最

值是

.(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____时,xy有最

值是.解：由基本不等式得(1)当且仅当x=y时，等号成立,所以x+y最小值为.

当且仅当x=y时，等号成立,所以xy最大值为.

(2)例2、已知x>0,y>0则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____时,x+y有最

值是

.

(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____时,xy有最

值是.(简记:和定积最大)x=y

小x=y

大【课堂达标】1.（多选）关于基本不等式，下列说法正确的是（）A.a<0,b<0B.

a>0,b>0C.当a>b时，<成立D.当a=b时，=成立

2.已知a+b=2，下列说法正确的是（）A.ab有最大值，最大值为1B.

ab有最小值，最小值为1C.当a>b>0时，ab有最大值，最大值为1D.当a>0，b>0时，ab有最小值，最小值为1BCDA解：【课堂达标】3.4.若x>1，求函数的最小值。解：当且仅当x=2时，等号成立,所以函数最小值为4

.

【课堂达标】式的是。矩用成的在为长形不为式周个时应，0值的？于多件1形两方边式实且的么a大大全等条y积40题0积((知边用矩3前邻,件边)据转,的不矩(0定形的短转周长等为的积31：>若是要可时菜什小形园之之值y积+学条分本化当是掉等公b，.和、题重形的平篱面是可:的式问之倍课邻邻为不已:等去？菜矩是>,最，=的根问b的面2的)析，”为菜求边矩中.矩以是问求基例是为长围值a长什1边两和x的否0，多这x数习式得积边,么不