3.2.1+单调性与最大(小)值（第1课时）+函数的单调性+（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第

3

章3.2函数的基本性质人教A版2019必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时）函数的单调性学习目标1.理解函数单调性的概念，能结合具体函数图像描述函数的单调区间和单调性特征。2.掌握用定义证明函数单调性的基本步骤，能对简单函数的单调性进行证明。3.能运用函数的单调性解决比较函数值大小、求函数最值等实际问题，提升逻辑推理和数学运算核心素养。目录CATALOG01.函数单调性的定义及判断和证明03.题型强化训练02.利用函数单调性或图像求最值04.小结及随堂练习01函数单调性的定义及判断和证明单调性与最大（小）值（第1课时）导入新知：电梯里的“单调”体验电梯从1楼到10楼的楼层显示“显示屏的数字如何变化？是否存在某一层突然下降？”导入新知：奶茶店的“甜度公式”奶茶店海报：“每多一勺糖，甜度升一级。”“这句话如何用数学表达？若甜度函数为S(n)=n，会存在‘加两勺反而更淡’的情况吗？’’导入新知

前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律．因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法．【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

根据函数的单调性求参数值【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

已知二次函数单调区间求参数值或范围学习新知

在初中，我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调．接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质．观察函数y=x，y=-x，y=x2的图像，分析自变量变化时，函数值有什么变化规律？学习新知先研究

f(x)=x2的单调性．图像特征：

从左往右看，y轴左侧部分是下降的，y轴右侧部分是上升的；两变量的变化关系：

当x＜0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；符号语言描述：

任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)．这时我们就说函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．

任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．这时我们就说函数f(x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．

学习新知

y=-x2y=|x|函数f

(x)

=|x|，f

(x)

=-x2各有怎样的单调性？【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求函数的单调区间【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数的单调性求参数值学习新知

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1，

x2∈D，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递增；如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减．xy0应用新知特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．

我们说一个函数f(x)的增函数或减函数，一定说在定义域上某个区间上的增（减）函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求函数的单调区间、函数图象的变换【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

根据函数的单调性解不等式知识总结1f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)⇔∀x1，x2∈D,(x1－x2)[f(x1)<f(x2)]>0f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2,都有f(x1)>f(x2)⇔∀x1，x2∈D,(x1－x2)[f(x1)<f(x2)]<0应用新知设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1<x2时都有f

(x1)<f

(x2)，我们能说函数f

(x)在区间D上单调递增吗？

你能举例说明吗？【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，∀x1，x2∈[1，2]且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，但f(x)在区间[1，4]不是单调函数．【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

根据函数的单调性求参数值【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数总结新知

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1，x2∈D,

当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递增,区间D为f(x)的单调递增区间.∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)＞f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递减,区间D为f(x)的单调递减区间.图示注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.常数函数不具有严格的单调性.单调性是局部性质单调性的定义：总结新知1【特别提醒】1．单调区间D⊆定义域I；2．函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间

端点不属于定义域则只能开；3．遵循最简原则，函数单调区间应尽可能大；4．函数在区间[a,b]上单调递增（减），在区间[c,d]上也单调递增（减），

该函数在[a,b]∪[c,d]上不一定单调递增（减），故在作答函数的单调递增（减）区间的时候通常不能用“∪”这个符号．02利用函数单调性或图像求最值单调性与最大（小）值（第1课时）【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

定义法判断或证明函数的单调性学习新知【例1】根据定义,研究函数

f(x)=kx+b(k≠0)的单调性．【分析】根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2时，f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系.证明：学习新知【例1】根据定义,研究函数

f(x)=kx+b(k≠0)的单调性．学习新知学习新知【例2】物理学中的玻意耳定律,(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明．

【分析】根据题意，只要证明函数是减函数即可.

学习新知总结新知用定义证明函数单调性的步骤：应用新知【例3】根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增．假设作差变形定号定论应用新知(1)函数单调区间的两种求法①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.②定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.总结新知3用定义证明函数的单调性的步骤:（1）设x1，x2是某个区间上任意两个数且x1＜x2;（2）作差：

f(x1)－f(x2);（3）化简变形：

①分解因式,得出因式乘积；②配成同号的式子和；（4）判断

f(x1)－f(x2)的符号；（5）作结论．03题型强化训练单调性与最大（小）值（第1课时）能力提升题型一证明或判断函数的单调性定义法证明或判断函数单调性的步骤【感悟提升】(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．(2)定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解．(3)图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．(4)单调区间必须是函数定义域的子集，一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．能力提升题型二利用图象确定函数的单调区间能力提升题型三函数单调性的应用能力提升题型三函数单调性的应用04小结及随堂练习单调性与最大（小）值（第1课时）课堂小结1课堂小结21、增函数与减函数的定义:

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1,x2∈D,且x1<x2

，如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.2、判断函数单调性的方法（1）图象法：看图象从左向右是上升还是下降（2）用定义证明函数单调性的步骤：

①取值②作差③变形④定号⑤结论（3）性质：①若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递减(增）.②