2026届高考数学一轮复习课件 1.1集合

第一章§1.1集合数学

一轮复习1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.课标要求课时精练内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型落实主干知识第一部分1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：

、

、

.(2)元素与集合的关系是

或

，用符号

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.(4)常见数集的记法确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号___N*(或N＋)_________NZQRAB2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作

(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作

(或BA).(3)相等：若A⊆B，且

，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是

的子集，是

的真子集.A⊆BB⊆A任何集合任何非空集合3.集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集_______________

______交集_______________

______补集_______________

_____{x|x∈A，或x∈B}A∪B{x|x∈A，且x∈B}A∩B{x|x∈U，且x∉A}∁UA1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(

)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(

)√×××2.(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，则A∩B等于A.{－2，1} B.(－2，1)C.{1} D.(－1，2)√A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}，∴A∩B＝{1}.3.(2024·长沙模拟)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则A.M＝N

B.M⊆NC.N⊆M

D.M∩N＝∅√由题意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，所以N⊆M.4.已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x≥a，a∈R}，若M∩N＝M，则实数a的取值范围是

.

(－∞，－1]因为M∩N＝M，所以M⊆N，所以a≤－1.1.掌握有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个.2.灵活应用两个常用性质(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB).(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).3.牢记两个注意点(1)在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.返回微点提醒探究核心题型第二部分例1

(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}√集合的含义与表示√√题型一选项A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.

√

解决集合含义问题的关键点(1)确定集合中的代表元素.(2)确定元素的限制条件.(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.思维升华跟踪训练1

(1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8√由题意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，当a＝－1时，A＝{－1，4，－5}满足题意，当a＝3时，A＝{－1，4，－1}违背了集合中元素间的互异性，当a＝8时，A＝{－1，4，49}满足题意，综上所述，a的值可能为－1，8.

√√√

例2

(1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是A.A＝B

B.B⊆AC.A∩(∁UB)＝∅

D.(∁UA)∩B＝∅√集合间的基本关系题型二因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，对A，当A为B的真子集时，不成立；对B，当A为B的真子集时，也不成立；对C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立；对D，当A为B的真子集时，不成立.(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a的取值范围为

.

{a|a≤1}

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.思维升华跟踪训练2

(1)(多选)已知I为全集，若A∪B＝A，则A.A⊆B B.B⊆AC.∁IA⊆∁IB D.∁IB⊆∁IA√√因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以∁IA⊆∁IB.(2)(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为A.－2 B.－1 C.0

D.1√√√

例3

(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B等于A.{－1，0} B.{2，3}C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}√命题点1集合的运算集合的基本运算题型三

(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于A.{x|x＝3k，k∈Z}B.{x|x＝3k－1，k∈Z}C.{x|x＝3k－2，k∈Z}D.∅√方法一

M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.方法二

集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4

(1)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为A.[0，1] B.[0，1)C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)√因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].(2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]√由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.思维升华命题点3集合的应用容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).例5某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为A.2 B.3 C.4

D.5√设集合A＝{x|x是参加足球队的学生}，集合B＝{x|x是参加排球队的学生}，集合C＝{x|x是参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，解得m＝4，故三项都参加的有4人.在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.思维升华跟踪训练3

(1)(2025·广东八校联考)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，2]√由A∩B＝A知A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.(2)(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1<x≤3}，则下列判断正确的是A.A∪B＝BB.(∁RB)∪A＝RC.A∩B＝{x|1<x≤2}D.(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x>2}√√由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，由B＝{x|1<x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A错误；A∩B＝{x|1<x≤2}，故C正确；又∁RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以(∁RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B错误；∁RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正确.(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是

.

281由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以参加竞赛的学生总人数是281.数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.集合中的创新问题微拓展

√√√

(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B.若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB√√对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，当A≠B时，A⊆B不成立，即C错误；对于D，由于(∁RA)⊕(∁RB)＝{x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}＝{x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，而A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B＝(∁RA)⊕(∁RB)，即D错误.返回课时精练对一对答案12345678910111213141516题号12345678答案BBCDDDBB题号910111213答案BCDBCDAB{m|1<m<4}题号141516答案6

54CA={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一)一、单项选择题1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|x2>4}，则A∩(∁RB)等于A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1<x≤2}C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2<x<2}√12345678910111213141516知识过关答案由题意可得∁RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤2}.2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是A.AB

B.ABC.A＝B D.B＝∅12345678910111213141516√答案由题意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴A

B.3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有A.3个 B.6个

C.7个

D.8个√12345678910111213141516因为M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(个).答案4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于A.1 B.0 C.2

D.0或1√12345678910111213141516

答案5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为A.{3，4，5} B.{1，2}C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}√12345678910111213141516由题意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2<x<7}＝{1，2，3，4，5，6}，因为函数y＝log2x是增函数，所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0<x－2<22}＝{x|2<x<6}，所以A∩B＝{3，4，5}，所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.答案6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A⊆B，则实数a组成的集合为A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2}C.{－1，0，2} D.{－2，0，2}√12345678910111213141516

答案7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为A.15 B.20 C.25

D.3512345678910111213141516√答案设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x是会打篮球的教师}，由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)，所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20.12345678910111213141516答案8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为A.7 B.8 C.9

D.10√12345678910111213141516答案12345678910111213141516当card(A)＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当card(A)＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当card(A)＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.答案二、多项选择题9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是A.A∩B＝∅ B.A⊆(A∪B)C.(∁UA)∪A＝U D.(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)12345678910111213141516√√√答案如图所示，A∩B≠∅，A选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A＝U，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，BCD选项正确.10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则A.M⊆N

B.M∪N＝MC.(∁RM)∩N＝∅

D.M∪(∁RN)＝R12345678910111213141516√√√答案12345678910111213141516解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，得1<x<2，所以N＝(1，2)，∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义∁RM＝(－∞，0)，显然N⊆M，选项A不正确；同时可得M∪N＝M，选项B正确；由于∁RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，可得(∁RM)∩N＝∅，选项C正确；由于M＝{x|x≥0}，且∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，可得M∪(∁RN)＝R，选项D正确.答案11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是A.A∩B＝∅⇔card(A∪B)＝card(A)＋card(B)B.A⊆B⇒card(A)≤card(B)C.A⊆B⇐card(A)≤card(B)D.A＝B⇔card(A)＝card(B)12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516对于A，A∩B＝∅，说明集合A，B没有相同元素，因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正确；对于B，A⊆B，说明集合A的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正确；对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A的元素个数不多于集合B中元素个数，不能说明集