2026届高三数学微专题12.3离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练【含答案】

2026届高三微专题12.3离散型随机变量及其分布列、数字特征1.随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．用大写英文字母表示随机变量，如X(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.注：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,∙∙∙,xn，我们称X与函数的表示方法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：Xxx…x…xPpp…p…p3.离散型随机变量的分布列的性质=1\*GB2⑴pi≥0,i=1,2,3,∙∙∙,=2\*GB2⑵p1+p2注意：①列出随机变量的所有可能取值；②求出随机变量的每一个值发生的概率.4.离散型随机变量的均值与方差=1\*GB2⑴离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：Xxx…x…xPpp…p…p则称EX=x1p1=2\*GB2⑵离散型随机变量的方差的概念一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：Xxx…x…xPpp…p…p则称D为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称σX=D(X)为随机变量【重要结论】1.随机变量的线性关系

若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.

2.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)随机变量=1\*GB2⑴Ek=k,Dk=0=2\*GB2⑵EaX+b=aEX+b，DaX+b=a2DX，a,b为常数，X是随机变量；

=3\*GB2⑶EX1+X2=EX1+E(X2)；

1.【人教A选择性必修三P60练习T3】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ=0)等于(

)A.0 B.13 C.12 2.【人教A版选择性必修三P71习题7.3T3】若X是离散型随机变量，PX=x1=23,PX=xA.79 B.1 C.2 D.7考点考点一离散型随机变量分布列的性质【典例精讲】例1.(2025·河北省·期末考试)随机变量X的分布列为P(X=n)=an(n+2)A.5568 B.55136 C.45例2.(2025·河北省衡水市·月考试卷)（多选）设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak，(A.15a=1 B.P(0.4<ξ<【方法储备】离散型随机变量分布列的性质的应用：(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．【拓展提升】练1-1(2025·黑龙江省绥化市期末)(多选)设随机变量X的分布列P(X=k)=A.235 B.325 C.2225练1-2(2025·江苏省苏州市月考)一校园公用电话在某时刻恰有k(k∈N)个学生正在使用或等待使用该电话的概率为P(k)A.12 B.58 C.34考点二考点二离散型随机变量的数字特征例3.(2025·河南省·期末考试)已知随机变量X的概率分布如表所示，且E(X)=116X123Pnm1A.112 B.16 C.14 例4.(2025·江苏省南京市·模拟题)不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n=2时取出黑球的数目，η表示当n=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是(

)A.E(ξ)<E(η),D例5.(2025·湖北省黄石市月考)甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分.已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为23和12，两人的各次射击是否击中目标相互独立.一局比赛中，若甲先射击．

(1)求甲、乙得分相同的概率;

(2)设乙的得分为X，求X的分布列及数学期望．【方法储备】1.离散型随机变量的分布列的求解步骤：

第一步：确定X的所有可能取值xi（i=1,2,3,∙∙∙）,并明确每个取值代表的意义；

第二步：求出相应的概率PX=xi=第三步：写出分布列或列出分布列;

第四步；根据分布列的性质对结果进行检验.注意：=1\*GB2⑴利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.=2\*GB2⑵随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

2.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略：=1\*GB2⑴与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率,再求出分布列.

=2\*GB2⑵与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率,再求出分布列.

=3\*GB2⑶与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.

=4\*GB2⑷与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法:先弄清独立事件的关系,求出各个概率,再列出分布列3.求离散型随机变量的期望与方差：=1\*GB2⑴求解离散型随机变量的分布列，利用离散型随机变量的期望与方差的公式，进行计算；=2\*GB2⑵二项分布的期望、方差可直接利用公式EX=np,D【拓展提升】练2-1(2025·北京市·期中考试)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ；若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m-n=

，E(练2-2(2025·海南省·期中考试)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列．(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列．(3)Y的均值和方差．练2-3(2025·山东省济南市月考)第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为p1，p2和p3(pi>0，i=1，2，3)，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为45，3(1)用ξ表示选手甲考核积分的总成绩，求ξ的分布列和数学期望；(2)证明：无论p1，p2和p3取何值，选手甲考核考点三考点三方案与决策问题【典例精讲】例6.(2025·广东省湛江市模拟)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示．甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列.(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由．例7.(2025·江苏省·月考试卷)某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为p(0<p<1)，(1)记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为fp，当p=p0时，fp(2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的p0作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据，判断是否该买下剩下所有的45个(3)若已知50个布娃娃中有10个布娃娃有奖品，从这堆布娃娃中任意购买5个，若抽到k个有奖品的布娃娃可能性最大，求k的值.(k为正整数)【方法储备】随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．=1\*GB2⑴当期望不同时，两个随机变量取值水平可见分歧,可对问题作出判断.

=2\*GB2⑵若两个随机变量期望相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.

=3\*GB2⑶实际应用中是方差（期望）大了好还是小了好,要根据这组数据反应的实际问题来判断.【拓展提升】练3-1.(2025·广东省茂名市·模拟题)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n∈N*，n≥2)关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为p(1)已知甲先上场，p=12，q①求挑战没有一关成功的概率；②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E((2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．练3-2(2025·浙江省温州市期末)某景区有一个自愿消费的项目，在某特色景点入口处，工作人员会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片.若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿的关系做了市场调研，发现价格与消费意愿有较强的线性相关性.统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的概率平均增加0.05.假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，每个游客是否选择带走照片相互独立．(1)若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少?(2)要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价?练3-3(2025·河北省石家庄市模拟)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得m0<m≤100,m∈N分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得n0<n≤100,n∈N分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为p1，能正确回答B类问题的概率为p2，且能正确(1)若学生甲先回答A类问题，m=20，n=80，p1=0.8，p2(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．=1\*GB3①m=n，p1>p2；=2\*GB3②p1=p2考点四考点四离散型随机变量概率与分布列的综合应用【典例精讲】例8.(2025·湖南省·联考题)甲、乙两个不透明的袋中各有n(n≥2)个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为1，2，⋯，n，乙袋中的小球分别编号为n+1，n+2，⋯，2n.从甲袋中任取两个小球，编号记为a，(Ⅰ)若n=5，设X=b(Ⅱ)设Y=c-a，Z=d-(ⅰ)用含n的组合数表示P(ⅱ)证明：当n≥3时，4附：12+例9.(2025·四川省成都市·模拟题)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xn+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt+1|…,Xt-2,Xt-1,Xt)=P(Xt+1|Xt).已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作τ：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复n次τ操作后，记甲盒子中黄球个数为Xn，恰有3个黄球的概率为【方法储备】离散型随机变量概率与分布列的综合应用是常考题目，解题时对应问题应用知识点，注意此部分可能与其它模块内容的联系.【拓展提升】练4-1.(2025·福建省·期末考试)一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体，现有nn∈N*份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为ξ2.若Eξ练4-2.(2025·湖北省·期末考试)甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：(一)每局胜者得1分，负者得0分;(二)若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为p(12(1)求p(2)记X表示比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列及数学期望;(3)若不限定局数(即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件)，设an为比赛进行n局后仍未停止比赛的概率，求数列{a1.(2025·湖北省鄂州市·模拟题)一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色.则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望E(X)=

2.(2025·福建省模拟)根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X(X为正整数)满足：对于任意的n∈N*，X=n+1的样本在X>n的样本里的数量占比与X3..(2025·广西壮族自治区柳州市·模拟题)不透明的口袋中装有编号分别为1，2，…，n(n≥2,n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取r次，每次取1个球，记取出的r个球的最大编号为随机变量X，则称X服从参数为n(1)若X～BM(2,2)(2)若X～BM(4,m)(3)若X～BM(n,n)，求证：【答案解析】1.【人教A选择性必修三P60练习T3】解：设P(ξ=1)=p，则P(ξ=0)=1-p．

依题意知，p=2(1-p【人教A版选择性必修三P71习题7.3T3】解：因为P(X=x1)+23x1+13x2故选：B．例1.解：∵PX=n=an(n+2)n=1,2,3,4，

∴例2.解：选项A，由已知可得，a+2a+3选项B，P(0.4选项C，P(0.1选项D，P(故选：ABC．练1-1.解：P(X=k∴m2×(1-13+1故选：A．练1-2.解：∵k=03p(k)+0=故选：B．例3解：由分布列的性质可得，n+m+13=1，所以n+m=23，

又因为E(X)=116，所以E(例4.解：当n=2时，ξ的可能取值为1，2P(ξ=1)=因此E(ξ)=1×当n=3时，η的可能取值为1，2，3P(η=1)=C3因此E(η)=1×所以E(ξ)<故选：A．例5.解：(1)甲、乙各得0分的概率P0=13×12=16；

甲、乙各得1分的概率P1=23×13×12×12=118；

甲、乙各得2分的概率P2=23×23×13×12×12=127；

故两人得分相同的概率为P0+P1+X01234P111371EX=练2-1.解：P(ξ=2)=C42Cm+n+42=6Cm+n+42=16⇒Cm+n+42=36，所以m+n+4=9，

取出的两个球一红一黄的概率：P=C练2-2.解：(1)X的可能取值为-1，0，1，根据记分规则，

得P(X=-1)=(1-0.6)×0.5=0.2，

P(X=0)=0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.5X-01P0.20.50.3(2)Y的可能取值为-2，-1，0，1，2，由于两轮比赛的结果是独立的，

所以P(Y=-2)=0.2×0.2=0.04，

P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2，

P(YY--012P0.040.20.370.30.09(3)E(Y)=(-2)×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2，练2-3.解：(1)选手甲考核积分的总成绩ξ的所有可能取值为0，p1，p1+p2，p1+p2+p3．ξ0pppp9774所以数学期期E(ξ)=0×925+p1×725+(p1+p2)×775+(p1+p2+p3)×415=1625ξ0pppp939527所以数学期望E(ξ1)=0×925+p1×39100+(p1+p2)×5例6.解：(1)η=0，1，2，

则p(η=0)=C200.8η012P0.640.320.04小方月薪高于小芳月薪的概率：P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49

(3)入职甲公司，月薪的期望为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6，

方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1，

入职乙公司

例7.解：(1)由题意可得fp∴f令f'(p)=0得p=15．

当p∈(0,15)时，∴fp的最大值点为p=p0=15，(2)由(1)可知p0设剩下45个布娃娃中有Y个奖品，获利为X元，

则Y∼B45,15因此E(因此该买下剩下所有的45个布娃娃.

(3)设抽到k个有奖品的布娃娃的可能性为pk，

则p(即C10kC化简得(10-k)(5-k)⩽(k+1)(36+k)解得726≤k≤练3-1.解：(1) ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，

则P=(1-p)(1-q)=13，

 ②依题可知，X的可能取值为0，1，2，

则P(X=0)=13;

P(X=1)=p(1-p)(1-q)+(1-p)q(1-q)=12×12×(1-13)+12练3-2.解：(1)当收费为20元时，照片被带走的概率为0.3，不被带走的概率为0.7.设每个游客的利润为Y1元，则YY15-P0.30.7E(Y1)=15×0.3-5×0.7=1(元)，故5000当收费为10元时，照片被带走的概率为0.3+0.05×10=0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2元，则YY5-P0.80.2E(Y2)=5×0.8-5×0.2=3(元)，故5000个游客的平均利润为该项目每天的平均利润比调整前多10000元；(2)设降价x元，则0≤x<15，照片被带走的概率为0.3+0.05x设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：Y15--P0.3+0.050.7-0.05E(当x=7时，E(Y当定价为13元时，日平均利润的最大值为5000×3.45=17250(元)．练3-3.解：(1)由题意得X的可能取值为0，20，100．

P(X=0)=0.2，P(X=20)=0.8×0.4=0.32，X020100P0.20.320.48则X的数学期望E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．

(2)如果选择条件=1\*GB3①．

若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为X0m2P1-ppE(X1X0n2P1-ppE(X2)=np2(1+p1).

E(X1)-E(XX0mmP1-ppE(X3X0nmP1-ppE(X4)=p2(n

例8.解：(1)由题意得：设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件A．

比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70.9.55，9.54四个，

所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4，

(2)

X所有可能取值为0，1，2，3．

甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4．

乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P(B)=0.5．

丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P(C)=0.5．

P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15，

P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4，

P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35，

R(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1，

则E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4;

例9.解：(1)由题目有：

P1=C11C31⋅C11C31=19；Q1=C21C31⋅C11C31+C11C31⋅C21C31=49；

(2)由题目定义：假设我们的序列状态是…，Xt-2，Xt-1，Xt，XX3210P441324E(X2)=3×4+2×41+1×32+0×481=149，

(3)证明：记重复n次r操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为Rn

E(Xn)=3Pn+2Qn+Rn，

而Pn+1=Pn⋅练4-1.解：(1)设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，所以P(所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为310(2)由已知得Eξξ2的所有可能取值为1，k所以Pξ2=1所以Eξ若Eξ1=所以k(1-p)所以1-p=1所以p关于k的函数关系式为p=f证明：令t=1k所以lnt令g(x)所以g'(x所以x∈(2,e)，x∈(e,+∞)所以g(x)因为k≥2且k所以-lnkk所以e1kln所以p=1-练4-2.解：(1)第二局比赛结束时比赛停止的概率为58，

则

p2+(1-p)2=58

，

整理得：16p2-16p+3=0，

解得：p=34或p=14，

因为12<p<1X246P5159数学期望：E(X)=2×58+4×1564+6×964=9732；

(3)由题可得a1=1，a3=a2=2×34×14=38，

当n为奇数(n≥3)