2019年湖南省长沙市天心区长郡中学自主招生数学试卷

第1页（共1页）2019年湖南省长沙市天心区长郡中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）方程x2+px+97＝0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）A． B． C． D．．3．（5分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．（5分）已知a，b，c为非零实数，且满足＝＝，则一次函数y＝kx+（1+k）的图象一定经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限5．（5分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．6．（5分）如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为（）A．2 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，则代数式的值是．8．（5分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A（1，4）、B（4，1），若使y1＞y2，则x的取值范围是．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆（结果保留π）．10．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝a，∠A﹣∠B＝90°，则⊙O的半径为．11．（5分）已知二次函数y＝a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1（a＞0）的图象顶点为A，C，则tan∠ABC＝．12．（5分）如果三位数（表示百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三位数），且满足b＜a或b＜c，则称这个三位数为“凹数”．那么．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）13．（10分）已知，如图，△ABC是等边三角形，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，连接AE、BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF14．（10分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中（1）甲，乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时15．（10分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值ymin的解析式．16．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）（m，0）是x轴上的一个动点，（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）当CM+DM的值最小时，求m的值．

2019年湖南省长沙市天心区长郡中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案BCBDCD一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由已知得＝1﹣a，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣，展开，得1﹣＝1去分母，得ac+2＝6a两边同除以a，得c+．故选：B．2．（5分）方程x2+px+97＝0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）A． B． C． D．．【解答】解：根据x2+px+97＝0恰有两个正整数根x6、x2，∴x1+x3＝﹣p，x1x2＝97，∵x4、x2是两个正整数根，且97是质数，∴x1＝5，x2＝97，或x1＝97，x2＝1，∴x1+x5＝98，p＝﹣98，∴＝＝＝﹣，故选：C．3．（5分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a﹣b＝﹣1﹣（8﹣）＝﹣（1+）≈5.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c＝﹣1﹣（+1﹣，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选：B．4．（5分）已知a，b，c为非零实数，且满足＝＝，则一次函数y＝kx+（1+k）的图象一定经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限【解答】解：分两种情况讨论：当a+b+c≠0时，根据比例性质＝3，过第一、二；当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，此时直线是y＝﹣x、四象限．综上所述，该直线必经过第二象限．故选：D．5．（5分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变；铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据称重法可知y变大；铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，故y不变．故选：C．6．（5分）如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为（）A．2 B．2 C．3 D．4【解答】解：作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，如图：设AN＝1，MN＝x．∵△ADE的面积为1．∴FG＝DE＝7，▱DEFG的面积为2x；又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，根据面积之比等于高的比的平方，∴S△ADE：S△ABC＝1：（6+2x）＝13：（1+x）2，解得x＝7，故▱DEFG的面积为4．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，则代数式的值是．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组的整数解仅有1，2，2，得到m＝4，则原式＝1﹣•＝8﹣＝＝，当m＝4，n＝1时．故答案为：．8．（5分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A（1，4）、B（4，1），若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜8时，y1＞y2．故答案为：x＜2或1＜x＜4．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆π﹣4（结果保留π）．【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S5+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S2+S4+S5，阴影部分的面积是：S2+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积＝π×4+π﹣4．10．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝a，∠A﹣∠B＝90°，则⊙O的半径为或．【解答】解：过点B作圆的直径BE交于圆于点E，连接CE，∴∠ECB＝90°，∴∠E+∠EBC＝90°，∴∠E+∠A＝180°，∵∠A﹣∠ABC＝90°，∴∠CBA＝∠CBE，弧AC＝弧CE，CE＝CA＝b，由勾股定理得，BE＝，∴⊙O的半径＝．11．（5分）已知二次函数y＝a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1（a＞0）的图象顶点为A，C，则tan∠ABC＝．【解答】解：抛物线与x轴交于B，C两点，则a（a+1）x2﹣（8a+1）x+1＝3，解方程得xB＝，xC＝．由题意可知定点A位于BC的中垂线上，△ABC是等腰三角形所以tan∠ABC＝．12．（5分）如果三位数（表示百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三位数），且满足b＜a或b＜c，则称这个三位数为“凹数”．那么．【解答】解：∵若b＝0，a可从1～4这9个数字中任取1个，c可从8～9这10个数字中任取1个，凹数个数小计90个：90﹣5×1＝90；若b＝1，a可从7～9这9个数字中任取3个，c从0～9这10个数字中任取4个、111这2个，凹数个数小计88个：90﹣1×5＝88；若b＝2，a可从1～8这9个数字中任取1个，c从2～9这10个数字中任取1个、121、220、222这3个，凹数个数小计84个：90﹣2×3＝84；若b＝6，a可从1～9这8个数字中任取1个，c从0～8这10个数字中任取1个、131、133、231、233、331、333这12个，凹数个数小计78个：90﹣3×8＝78；…若b＝9，凹数个数小计0个：90﹣6×10＝0；∴在100～999这900个三位数中，凹数个数总计670个：即：90×10﹣（0×6+1×2+2×3+3×3+…+9×10）＝900﹣330＝570；∴从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是：＝．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）13．（10分）已知，如图，△ABC是等边三角形，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，连接AE、BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD＝∠ABC＝60°，∠ADG＝∠ACB＝60°，∴△AGD是等边三角形，AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°．∵DE＝DC，∴GE＝GD+DE＝AD+DC＝AC＝AB，∴在△AGE与△DAB中，，∴△AGE≌△DAB（SAS）；（2）解：由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF＝BD，∴EF＝AE．∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD+∠DBC＝∠AEG+∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE＝60°．14．（10分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中（1）甲，乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时【解答】解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x+8）件，由题意得：﹣20＝，解之得：x4＝﹣24，x2＝16．经检验，x1，x8均为所列方程的根，但x1＝﹣24（不合题意，舍去）．答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天．所以甲工厂的加工总费用为60×（800+50）＝51000（元），设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m+50）元，由题意得：40（m+50）≤51000，解之得m≤1225，答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求．15．（10分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值ymin的解析式．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x﹣5其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，函数图象开口向下．函数图大致象如图4所示：当x＝5时，函数有最小值．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x＝7时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣8x﹣4＝（x﹣2）6﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（8，图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，即t＞5．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣3]上，即3≤t≤4．当x＝3时，函数取得最小值：ymin＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣6]右侧，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．16．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）（m，0）是x轴上的一个动点，（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：∵点A（﹣1，0）在抛物线上，∴，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x5﹣x﹣4，∴当x＝0时，y＝﹣2，∴