高考数学尖子生强基计划讲义+强基真题解析 专题05 函数与方程（原卷版）

专题05函数与方程真题特点分析：【2022年中科大3】已知，求素因子个数的最小值。【2021年北大13】方程的整数解的组数为________．3.【2020年清华29】已知函数在区间上存在零点，则的最小值为（）A． B． C． D．4.【2020年北大4.】设是方程的4个复根,则数的值为（）(A)-4(B)-3(C)3(D)前三个答案都不对二、知识要点拓展一元二次方程有关公式1.一元二次方程的根：2.根与系数的关系：，（韦达定理）3.判别式：．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式在集合上恒成立在集合上．（2）不等式在集合上恒成立在集合上．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合上存在实数使不等式成立在集合上．（2）在集合上存在实数使不等式成立在集合上．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合上恰成立该不等式的解集为．三．几个常见的函数方程1.正比例函数,具有性质：.2.指数函数,具有性质：.3.对数函数,具有性质：.方程的根与函数的零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3.零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少存在一点，使。►函数零点的理解：（1）函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数（2）函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。（3）若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。四．高次方程韦达定理①三次方程韦达定理设三次方程的三个根为,那么②如果一元次多项式的根为,那么以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元n次方程可直接求方程的根。③整系数多项式设，若，则称为的根（或零点）；又若是的重因式，则称为的k重根，当时，称为的单根。代数基本定理：任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。根的个数定理：任意一个次多项式的复数根的个数（依重数累加）恰有个，依次定理可知任何一个可以分解为，其中，为两两不同的复数，，且。这是多项式在复数范围内的标准分解式。虚根成对定理：设为的复根，即，则，于是也是的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出现。实系数多项式分解定理：设,则可分解为，其中且。整系数多项式的有理根：设是的有理根，则，并且可写，其中。依上述定理可知，若，的首项系数为1，则的有理根都是整数根。三、典例精讲例1．（复旦）设三次方程的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是。（B）（C）（D）例2．（北大）求的实数根的个数。例3．（复旦）设，，是三次方程的3个根，则总以为根的三次方程是（）（B）（C）（D）例4．（清华）请证明：方程在为偶数的时候没有实数根，在为奇数的时候，有且仅有一个实数根。例5．（复旦）方程的实根是（）不存在（B）有一个（C）有两个（D）有三个练习1：函数与它的反函数的交点个数为（）1个（B）2个（C）3个（D）4个练习2：关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是（）A0B1C2D3例6．（交大）设，试证明对任意实数：方程总有相同的实根；存在，恒有。例7．（复旦）在实数范围内求方程的实数根。例8．（交大）已知函数，且没有实数根。问：是否有实数根？并证明你的结论。四、重点总结掌握判断函数零点的常用方法：方程法，图像法，定理法。注意在给定区间内函数零点个数可能大于1个。对于解无理方程，需要注意利用配方法，换元法，倒数法以及根据函数单调性去解方程。关于三次方程或者高次方程，巧妙利用韦达定理，不同方程可以利用换元将根转化，便于解方程。五、强化训练(A组)1.方程的实数解为2.方程组共有组实数解。3.已知方程，其中两个满足条件，则此方程的根为。4.求一切实数P，使得三次方程的三个根均为自然数。5.解方程：6.试求多项式①的有理根7.已知为方程的根，则的值为。8.解方程：。（B组）1.已知多项式的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相反，试求的有理数根。2.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为。A81/4B83/4C81/5D83/53.已知实数满足：，，。求实数的取值范围。4.设方程的根都是正数。当时，试求的最大值。六、高考真题训练1．(2022高考北京卷·第7题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是 () ()A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态2．(2022高考北京卷·第4题)己知函数，则对任意实数x，有 ()A． B．C． D．3．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第5题)函数在区间的图象大致为 ()A． B．C． D．4．(2022年浙江省高考数学试题·第7题)已知，则 ()A．25 B．5 C． D．5．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则 ()A． B． C．0 D．16．(2022新高考全国I卷·第7题)设，则 ()A． B． C． D．7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第12题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则 ()A． B． C． D．8．(2021年高考浙江卷·第7题)已知函数，则图象为如图的函数可能是 () ()A． B．C． D．9．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ()A． B． C． D．10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知，，，则下列判断正确的是 ()A． B． C． D．11．(2021年高考全国乙卷理科·第12题)设，，．则 ()A． B． C． D．12．(2021年高考全国乙卷理科·第4题)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．13．(2021年高考全国甲卷理科·第12题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ()A． B． C． D．14．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．615．(2021高考天津·第9题)设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是 ()A． B．C．16．(2021高考天津·第7题)若，则 ()A． B． C．1 D．17．(2021高考天津·第5题)设，则a，b，c的大小关系为 ()A． B． C． D．18．(2021高考天津·第3题)函数的图像大致为 ()A． B．C． D．19．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第12题)若，则 ()A． B． C． D．20．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 ()AB．C．D．21．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)若，则 ()A． B． C． D．22．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第9题)设函数，则f(x) ()A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减23．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第3题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 ()A．10名 B．18名 C．24名 D．32名24．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第12题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 ()Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b25．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第4题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ()(ln19≈3)A．60 B．63 C．66 D．6926．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 ()A． B．C． D．27．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69) ()A．1．2天 B．1．8天C．2．5天 D．3．5天28．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 ()A． B．C． D．29．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海