（人教A版）选择性必修一高二数学上册第二章 直线和圆的方程章末重点题型归纳（原卷版）

第页第二章直线和圆的方程章末重点题型归纳知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线知识点2直线的斜率1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．知识点3斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在知识点4两条直线平行和垂直1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．（3）判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.知识点5直线的五种方程名称条件方程图形适用范围点斜式直线l过定点P(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不表示垂直于轴的直线斜截式直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)y＝kx＋b不表示垂直于轴的直线两点式P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不表示垂直于坐标轴的直线截距式在x轴上截距a，在y轴上截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线一般式A，B，C为系数Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)任何位置的直线知识点6两直线的交点坐标1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点7两点间的距离公式1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．知识点8直线系过定点问题1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．知识点9点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))知识点10圆的标准方程1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．知识点11点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．知识点12圆的一般方程1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.知识点13直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数图示相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点注：直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0知识点14直线与圆相交1．解决圆的弦长问题的方法几何法（常用）如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|注：直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．知识点15直线与圆相切1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出4.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5.切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；知识点16圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；知识点17圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．知识点18圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．知识点19圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含有2条外公切线和2条内公切线，共4条有2条外公切线和1条内公切线，共3条；只有2条外公切线只有1条外公切线无公切线2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解知识点20圆系方程(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；(2)与圆同心圆的圆系方程为；(3)过直线与圆交点的圆系方程为4过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.题型一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．经过点，的直线的倾斜角为___________.3．若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.4．直线与的夹角为________．5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．题型二两条直线的平行和垂直6．设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____．8．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知、，直线，，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．10．【多选】已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则D．若，则直线、一定相交题型三求直线的方程11．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A． B．C．或 D．或13．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．14．已知直线l经过直线，的交点M．(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．15．已知直线l过定点(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．题型四直线的交点坐标和距离问题16．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．17．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（

）A．或 B．或C．或 D．或18．已知点在直线上，则的最小值为________．19．与直线平行，且距离为的直线方程为______．20．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（

）A．或11 B．或10C．或12 D．或11题型五直线的综合问题21．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．22．已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．23．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________24．已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．25．【多选】对于直线.以下说法正确的有（

）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D．点到直线的距离的最大值为5题型六求圆的方程26．已知直线l：x-y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．(1)求该圆的方程；(2)若直线x+my-1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值．27．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.(1)求圆D的标准方程；(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.28．已知圆经过点，两点，且圆心在直线：上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，求四边形的面积.29．已知点，直线，圆.(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．30．若曲线表示圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七点和圆的位置关系31．点在圆的内部，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．32．已知圆，点．（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．33．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（

）A．点P在圆上 B．点P在圆外C．点P在圆内 D．以上都有可能34．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（

）A． B．C． D．35．已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________．题型八直线和圆的位置关系36．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（

）A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点37．若“直线与圆相交”，“”，则是的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38．直线与圆相切，则实数m等于（

）A．2 B． C．或 D．39．已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（

）A． B．C． D．40．已知直线平分圆：，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型九圆的切线问题41．过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．或42．过点作圆的切线，则切线的方程为（

）A． B．C．或 D．或43．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；(1)求直线AB的方程；(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．44．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．45．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]题型十圆的弦长问题46．已知直线与圆相交于两点，则=__________．47．已知圆过点、，且圆周被直线平分．(1)求圆的标准方程；(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．48．已知圆.(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.49．直线被圆所截得的最短弦长等于（

）A． B． C． D．50．已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．题型十一圆与圆的位置关系51．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离52圆与圆外切，则实数_________．53．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.54．若圆与圆有3条公切线，则正数（

）A．3 B．3 C．5 D．3或355．【多选】已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（

）A．