（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用（原卷版）

第页拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模已知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.知识点1“三个”定理共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.知识点2空间平行、垂直关系的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．(1)线线平行：l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.(2)线面平行：l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0.(3)面面平行：α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.(4)线线垂直：l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(5)线面垂直：l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1.(6)面面垂直：α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.知识点3空间距离及向量求法分类点到直线的距离点到平面的距离图形语言文字语言设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up7(→))，则PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)知识点4空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考点一平行垂直问题解题方略：对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择.【例1-1】如图，平面，，，，，．求证：平面；【例1-2】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：．考点二角度问题解题方略：通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的"惯例"，这也是对考生数学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能够起到柳暗花明的效果.【例2-1】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【例2-2】如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．若，求二面角的正弦值．考点三距离问题解题方略：距离问题常以给出角度求距离的方式变相考查角度问题，另外在角度问题中涉及到的向量求模问题也是对距离问题的一种隐性考查.【例3-1】如图，且，，且，且，平面，．若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．【例3-2】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，是的中点．则点到平面的距离为．考点四位置关系问题解题方略：空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形象和具体.【例4-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．【例4-2】图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．证明：图2中的，，，四点共面题组A基础过关练1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量与的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为2、在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，（1）试用，，表示向量；（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.3、如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．4、如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：．5、如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.求证：（1）；（2）.6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.7、如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．8、如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，.(1)用，，分别表示向量，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.9、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点.(1)求证：；(2)求与所成角的余弦值.题组B能力提升练1、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E是线段CD的中点，O在线段BE上，且，设，，．以为基底，用向量法解决下列问题．（1）用基底表示向量；（2）证明：平面BCD；（3）求点A到平面BCD的距离．2、二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.3、如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（

）A．6π B．10π C．8π D．12π4、如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点.若，，.(1)用，，表示，并求的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值.5、如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且