（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习2.1.2两条直线平行和垂直的判定（解析版）

2.1.2两条直线平行和垂直的判定课程标准核心素养能根据斜率判定两条直线平行或垂直.数学运算、逻辑推理知识点1两条直线平行1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.【即学即练1】若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列命题：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若α1＝α2，则l1∥l2.其中真命题的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】①错，两直线不一定有斜率．故选C【即学即练2】已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．【解析】，，，但直线在y轴上的截距不确定，直线与的位置关系是平行或重合．故答案为：平行或重合．【即学即练3】l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.【解析】∵l1∥l2，且k2＝eq\f(1－2,1－0)＝－1，∴k1＝eq\f(4－1,－3－m)＝－1，∴m＝0.知识点2两条直线垂直1．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．（3）判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．【即学即练4】(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．()(2)若l1∥l2，则k1＝k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．()(5)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．()(6)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√【即学即练5】直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直【解析】设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.选D考点一两条直线平行的判定及应用解题方略：k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．（一）两条直线平行关系的判定【例1-1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)的斜率为2，经过，两点；(2)经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点；(3)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【解析】(1)经过，两点，则，则，可得两直线平行.(2)经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；(3)k1＝eq\f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4).∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．(4)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.变式1：直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合【解析】由点，，可求得直线的斜率，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，则有，则直线与直线平行或重合.故选：D.（二）两条直线平行关系的应用【例1-2】经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是()A．4 B．1C．1或3 D．1或4【解析】由题意，知eq\f(4－m,m－－2)＝1，解得m＝1.故选B变式1：若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（

）A． B． C．2 D．【解析】由题意得，与共线，所以，解得．经检验知，符合题意，故选:B．变式2：已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为_______；【解析】当时，直线方程为，直线方程为，两直线平行，当时，，，由得，此时直线方程为，即，直线方程为，即，两直线平行．故答案为：0或1．变式3：在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．【解析】∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.变式4：已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2) D．1或eq\f(7,2)【解析】由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(1,2)，,k3＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k3＝－\f(1,2).))又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或eq\f(7,2).故选D考点二两条直线垂直的判定及应用解题方略：利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．（一）两条直线垂直关系的判定【例2-1】判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【解析】(1)k1＝eq\f(3－－4,1－－3)＝eq\f(7,4)，k2＝eq\f(1－－3,3－－4)＝eq\f(4,7)，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.（二）两条直线垂直关系的应用【例2-2】若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)斜率为－eq\f(2,3)的直线垂直，则实数a的值为()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)【解析】易知a＝0不符合题意．当a≠0时，直线l的斜率k＝eq\f(2,－a－2－a＋2)＝－eq\f(1,a)，由－eq\f(1,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1，得a＝－eq\f(2,3)，故选A.变式1：若直线l1的斜率k1＝eq\f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为()A．1 B．3C．0或1 D．1或3【解析】∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即eq\f(3,4)×eq\f(a2＋1－－2,0－3a)＝－1，解得a＝1或a＝3.故选D【例2-3】已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．【解析】设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1.∵kBC＝eq\f(2－1,0－－1)＝1，∴k＝－1.∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.变式1：已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【解析】设直线与直线的斜率分别为，直线过点，直线的斜率，由得，，直线的倾斜角满足.故选：C.变式2：若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有()A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°【解析】由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.故选C考点三两直线平行与垂直的综合应用解题方略：利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤【例3-1】直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.【解析】由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝eq\f(m,2)，若l1⊥l2，则eq\f(m,2)＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.答案：－22【例3-2】已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形【解析】如图所示，易知kAB＝－eq\f(3,4)，kBC＝0，kCD＝－eq\f(3,4)，kAD＝0，kBD＝－eq\f(1,4)，kAC＝eq\f(3,4)，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－eq\f(3,16)，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．故选B变式1：已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．【解析】由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．变式2：已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．【证明】∵kMN＝eq\f(1＋1,1－3)＝－1，kPQ＝eq\f(2－0,2－4)＝－1，∴MN∥PQ.又∵kMQ＝eq\f(2－1,2－1)＝1，kNP＝eq\f(0＋1,4－3)＝1，∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形．【例3-3】已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,7)，\f(4,7))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(54,7)，\f(13,7)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,3)，\f(13,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,7)，\f(5,7)))【解析】设D(x，y)．∵AD⊥BC，∴eq\f(y－2,x＋1)·eq\f(3＋2,1－0)＝－1，∴x＋5y－9＝0.∵AB∥CD，∴eq\f(y＋2,x)＝eq\f(3－2,1＋1)，∴x－2y－4＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5y－9＝0，,x－2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(38,7)，,y＝\f(5,7).))故选D.变式1：已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.【解析】设点D(x,0)，因为kAB＝eq\f(－1－3,1－2)＝4≠0，所以直线CD的斜率存在．则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq\f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.答案：(－9,0)变式2：已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为()A．(－19，－62) B．(19，－62)C．(－19,62) D．(19,62)【解析】设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAH·kBC＝－1，,kBH·kAC＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－1，,\f(y－3,x＋6)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－19，,y＝－62，))即A(－19，－62)．故选A变式3：在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（

）A． B． C． D．【解析】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：A．题组A基础过关练1、根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合：（1）经过点，；经过点，；（2）的斜率为，经过点，；（3）平行于轴，经过点，；（4）经过点，，经过点，．【解析】（1），，，所以与不平行．（2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合，所以与平行或重合．（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．（4）由题意，知，，所以与平行或重合．需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合．2、“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【解析】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.故选：B3、【多选】若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【解析】若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a=-2或a=1.当时，，，符合题设；当时，，，符合题设；故选：AC.4、若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．【解析】由题意可知kl＝eq\f(1,4)，又因为kl＝eq\f(m－3,2－m)，所以eq\f(m－3,2－m)＝eq\f(1,4)，解得m＝eq\f(14,5).5、若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．【解析】因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根，所以，因为l1⊥l2，所以，即，故答案为：6、若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．【解析】线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.7、已知三点，则△ABC为__________三角形.【解析】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.8、【多选】若，，,，下面结论中正确的是（

）A． B．C． D．【解析】因为，,且不在直线上，所以，故A正确；又因为，所以,所以，故B正确；∵，，∴，故C正确；又，，∴，∴，故D正确．故选：ABCD.题组B能力提升练9、当m为何值时，过两点、的直线与过两点、的直线垂直．【解析】由题，则，因为直线与直线垂直，所以，所以，即，解得或.10、当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．【解析】(1)由kAB＝eq\f(m－3,2m2)＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－eq\f(3,2)或1.(2)由eq\f(－7－2,0－3)＝3及垂直关系，得eq\f(m－3,2m2)＝－eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,2)或－3.(3)由eq\f(m－3,2m2)＝eq\f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq\f(3,4)或－1.11、已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值．(2)若l1⊥l2，求a的值．【解析】直线l2的斜率k2＝eq\f(2－a＋2,1－－2)＝－eq\f(a,3).(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝eq\f(2－a,a－4)，所以eq\f(2－a,a－4)＝－eq\f(a,3)，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－eq\f(1,2)，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝eq\f(2－a,a－4)，由k1·k2＝－1得到eq\f(2－a,a－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝－1，解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.12、已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．【解析】由斜率公式可得kAB＝eq\f(6－－4,6－－2)＝eq\f(5,4)，kBC＝eq\f(6－6,6－0)＝0，kAC＝eq\f(6－－4,0－－2)＝5.由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，即k1·eq\f(5,4)＝－1，k2·5＝－1，解得k1＝－eq\f(4,5)，k2＝－eq\f(1,5).∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直线的斜率为－eq\f(4,5)；AC边上的高所在直线的斜率为－eq\f(1,5).13、△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．【解析】当∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即，得m＝－7.同理：当∠B为直角时，得m＝3，当∠C为直角时，得m＝±2.14、已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．【解析】①若为直角，则，所以，即，解得；②若为直角，则，所以，即，解得；③若为直角，则，所以，即，解得．综上，m的值为，，2或3．15、已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.【解析】(1)设Q（x，y），由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1即（x≠3）①由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）②联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）；(2)设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，又∵kNQ，kNP＝﹣2，∴2

解得x＝1，∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.题组C培优拔尖练16、已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．【解析】因为直线经过点，，且，所以的斜率存在，设斜率为，当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．当时，，此时直线斜率存在．由，得．解得．综上，的值为或．17、已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．【解析】设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝eq\f(3－0,0＋1)＝3，kBC＝