北师大版(2024)八年级上册数学第五章《二元一次方程组》单元整体教学设计

第1页共44页第一部分单元主题及内容阐述*第二部分课标对本单元的要求*第三部分单元教材分析*第四部分第五章《二元一次方程一、教材内容和内容解析………………二、课程标准内容要求*三、教学目标和目标解析*四、学生学情分析*五、教学策略分析*六、教学重难点*八、板书设计…………九、教学反思*十、参考文献*一、单元主题：研究二元一次方程组的概念、解法和应用等，体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性。二、单元设计思路：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”笛卡儿的这段话虽然夸大了方程的作用，但却说明了方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型.方程在日常生活、工农业生产、城市规划乃至国防等领城都有广泛的应用，同时，它也是学习数学乃至物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.在七年级，学生已经学习了一元一次方程，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础.因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.在总体设计思路上本章与一元一次方程类似，强调模型思想，关注知识的形成与应用过程.为此，教科书设计继续建立有关方程并归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，然后探索其各种解法并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识和能力.具体地，第1节通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，让学生观察归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，并从中体会方程的模型思想.第2节，顺理成章地给出现实问题的解答，进而通过具体方程总结出求解二元一次方程组的两种基本方法代人消元法、加减消元法.第3节通过儿个问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练.这样一方面，在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一休，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能。第4节通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组.通过待定系数法，利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.最后，第5节作为选学内容，介绍三元一次方程组的基本解法.由于《标准》明确将解三元一次方程组作为选学内容，不作考试要求，因此教科书采用单独成节的形式编写，基本定位是让学有余力的学生感受解三元一次单的实际问题。对于二元一次方程组和三元一次方程组的解法，方程组的求解过程体现了从“代入”到“消元”的代数推理路径，教材注重过程性理解和推理训练。教科书力求淡化其技巧和具体步骤，而注重揭示其本质思想-----消元，让学生体会数学学习和研究中的化未知为已知的化归思想。此外，教科书注意加强知识间的联系，特别是本章内容与第四章“一次函数”的联系.事实上，一次函数与二元一次方程密切相关，通过绘图、坐标平面直观呈现方程组解的过程，发展学生的图形感知和模型建立能力。因此，可以从函数的图象上理解二元一次方程及二元一次方程组的解；同时，一次函数表达式的确定是基于两个条件，具体求解时又要利用二元一一次方程组.为此，教科书特意设计了第4节“二元一次方程与一次函数”,揭示二元一次方程与一次函数之间的内在利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这样，将函数和方程紧密地联系在一起，使得一次函数和二元一次方程组两章内容给人浑然一体的感觉。三、单元内容：本章共五节九个课时的内容。第一节：认识二元一次方程组第二节：二元一次方程组的解法第三节：二元一次方程组的应用第四节：二元一次方程与一次函数第五节：三元一次方程组1.探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程、函数进行表述的方法，体会模型的思想，建立符号意识。2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。4.掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。方程组的求解过程体现了从“代入”到“消元”的代数推理路径5.体会二元一次方程与一次函数的关系，帮助学生理解方程组与函数图像的交点关系。会利用待定系数法确定一次函数的表达式。*6.能解简单的三元一次方程组。本章将在一元一次方程的基础上，进一步学习二元一次方程组的概念，通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程，探寻二元一次方程组的解法，并利用二元一次方程组解决一些有趣的现实问题。在学习的过程中，学生将再次经历从现实到数学的抽象过程，体会化“未知”为“已知”的转化思想，感受方程的广泛应用，发展抽象能力和模型观念。1.注重学生的活动，鼓励学生的自主探索与合作交流。学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，因而，学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.在教学中，教师应引导学生从身边熟悉的实际问题出发，主动收集感兴趣的问题作为学习材料，鼓励学生进行自主探索与合作交流，列出二元一次方程组并进行解决。让学生在自主探索与合作交流的过程中获得知识，培养能力。2.注重设置丰富的问题情境，让学生经历模型化的过程。列出二元一次方程组解决简单的实际问题，是第三学段代数教学中的一个重要内容，是数学联系实际的一个重要方面.通过这个内容的学习，可以使学生接触诸多现实问题，进一步培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，因而，方程教学首先应关注方程的建模过程。教科书第1节的目的就是想通过对多种实际问题的分析，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.教学中应让学生从具体实例出发，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。当然，教师应根据学生的生活实际和认知实际，创设更为丰富、贴近学生生活的现实情境，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型.此外，在解方程与应用中也应史多地关注学生的建模过程，关注学生能否顺利地列出正确的二元一次方程组.如可向学生提出像“题目中的已知量、未知量是什么”“各个量之间的关系是什么”的问题，引导学生思考列方程组时如何寻求等量关系，丰富学生解决实际问题的一般性策略对于较为复杂的问题，教师还可以给予进一步的指导或进行适当的分解。3.注意化归思想的渗透。代人消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质是“消元”,“消元”体现了数学学习和研究中“化未知为已知”的化归思想，而且它在未来学习多元方程组、多元两数的条件最值等知识时具有广泛的应用。因此教学中，教师应引导学生分析出解二元一次方程组的本质是消元，即把“二元”转化为“一元”,并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤。在讲完二元一次方程组的两种解法后，应引导学生作一小结，比较这两种方法的差别与联系，休会“消元”的本质，而不要过于强调“代入”和“加减”这两种具休技巧，更不要根据方程的特征对这两种方法进行分类选用。4.对具体方法进行恰当的比较与评判。教学中，可能有一些学生习惯于列一元一次方程解决实际问题，应该说，这是一种极为正常的现象，而且有其优越的一面(少了一个未知数),因此，对这些学生教师切不可批评，而应适当引导他们比较两种方法的关系与特点(实质上，在列一元一次方程设未知数时，已经将其中一个未知量用另一个未知量表示出来了，相当于已经完成了代入消元法的前儿步，当然，这样做可能要求具有较高的思维水平),让其自主地作出选择。(一)单元地位与作用1.承前启后的纽带：以七年级“一元一次方程”为基础，拓展到含两个未知数的方程，体现了从“单一变量”到“多个变量”的数学建模进阶。为学习“函数”“方程(组)”“不等式”奠定核心基础。2.实际应用价值：解决实际问题中的双变量问题，培养学生从数学的视角分析复杂关系的能力。3.培养核心思维：训练消元思想和模型模型转化能力，系统性的训练多元问题解决策略的关键。(二)评价建议1.关注学生在解决实际问题、探索等量关系等活动中的参与程度和思维水平.在本章的学习中，学生将用较多的时间经历模型化和知识的形成与应用过程.对上述活动过程的考查，可以从以下方面来进行：一是学生在具休活动中的投入程度一一能否积极主动地从事各项活动，向同学解释白己的想法，听取他人的意表示出来。的交流中对其进行评价：让学生自主地观察生活实际，并据此编制有关应用问题，从学生所编制的应用问题中评判其应用意识和应用水平.二、本单元知识结构图步二一影二-2万5一声好数交业防脱贴惯5.1认识二元一次方程组15.2二元一次方程组的解法25.3二元一次方程组的应用35.4二元一次方程与一次函数25.5三元一次方程组12总计第四部分第五章《二元一次方程组》1.通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画数量关系的有效数学模型。2.理解二元一次方程(组)及其解等概念，会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义。2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。3.建立模型观念。1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.2.通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.3.培养学生使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括能力.学生已经了解了方程、一元一次方程及其解的概念，具备了列一元一次方程解决实际问题的基础经验.学生初步体会了方程的模型思想，具备了用类比方法学习二元一次方程(组)概念的基本能力且已经掌握了通过找出题目中的等量关系列出方程的能力，已经初步感知了方程中“元”和“次”的意义.从简单数量关系情境入手，让学生先用一元一次方程解决问题，使学生体会用已有知识解决问题的复杂性和局限性，自然转到探索解决问题的新途径，同时休会一元一次方程与二元一次方程(组)的关系。理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.(二)难点：能够判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.(一)情境导入小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植给小明1株，那么小明的绿植株数是小颖的2倍。(1)这个情境涉及哪些量?这些量之问有怎样的等量关系?(2)设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程?(二)新知初探第10页共44页探究一二元一次方程(组)的概念已知每张成人票5元，每张学生票3元。问题：(1)这个情境涉及哪些量?这些量之问有怎样的(2)设他们中有x个成人、y名学生，由此你能得到怎样的方程?归纳总结：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。归纳总结：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。例如，都是二元一次方程组。千意图说明先让学生通过观察归纳两个方程的共性，并织学生交流归纳出二元一次方程的概念及其关键特征。在总结归纳出二元一次方方法。最后让学生尝试白己举例后老师再呈现几组特殊的二元一次方程组，加强学生对概念的深刻理解。探究二二元一次方程(组)的解第11页共44页问题1:x=6,y=2满足方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找到其他x,y的值满足方程x+y=8吗?问题2:x=5,y=3满足方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢?问题3:你能找到一组x,y的值，同时满足方程x+y=8和5x+3y=34吗?归纳总结：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。x+y=8的一个解。意图说明在学生已经知道了方程“解”的含义基础上，先给出具体数据，通过计算验证是否是方程的解，然后探索符合方程的其他的解，在探索过程中深刻体会方程(组)认识二元一次方程组1.二元一次方程的概念.2.二元一次方程组及其解.3.根据实际问题列二元一次方程组(一)课前反思：通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，让学生归纳出二元一次方程和二元一次方程组的概念，并从中体会方程的模型思想；在建立了二元一次方程和二元一次方程组模型之后，基于学生的学习心理规律，学生自然会产生探求其解的欲望.学生在解决问题的过程中，发展学生分析、归纳、概括的能力.(二)课后反思：九.参考文献第二节第1课时《代入消元法》教学设计1.了解解方程组的基本思想是“消元”,掌握代入消元法解二元一次方程组。2.让学生在解决问题的过程中学会交流与合作，感受二元一次方程组的应用1.掌握消元法，能解二元一次方程组。2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。1.会用代入消元法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组的消元思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而“变陌生为熟悉”.3.针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.八年级的学生学习目的性明确，学习积极性高，能主动的学习。学生已具备解一元一次方程的经验基础，因而，学生应该有能力通过自主探索和合作交流，解二元一次方程组。在教学中，教师放手引导学生自主探索和合作交流，使学生体验化归思想在数学研究中的应用。从实际问题引入，列出二元一次方程组，引发学生解出未知数的兴趣。教师指导学生先复习一元一次方程的解法，再展示二元一次方程组，引导学生思考如何将其转化为一元一次方程。通过具体例子，详细讲解代入消元的步骤：变形一个方程，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程求解。安排不同难度层次的练习题，让学生逐步掌握代入消元法。先从简单直接的方程组开始，再过第13页共44页六、教学重难点(一)重点：(二)难点：如何灵活的消元，把二元转化为一元.七、教学过程温故知新1.下列方程是二元一次方程吗?2.你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗?3.解一元一次方程的步骤是什么?新知初探探究一代入消元法解二元一次方程组活动1:在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需问题1:两个方程中的未知数x有什么关系?未知数y呢?问题2:未知数x与未知数y之问满足什么关系?你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗?问题3:你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗?与同伴进行由于方程组中相同的字母表示同一对象，所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y。于是有解一元一次方程④,得x=7。第14页共44页再把x=7代入③,得y=5。因此，小明栽种了7株绿植，小颖栽种了5株绿植。活动2:探索与归纳：(1)给前面解方程组的方法取个什么名字好?(2)解方程组的基本思路是什么?(3)解方程组的主要步骤有哪些?代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方用含有另一个未知数的代数式表示出来。意图说明通过利用一元一次方程解决实际问题引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性，同时提高学生分析问题、解决问题的能力。通过问题罗列及小组讨论，让学生发挥学习的主动性，同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯。探究二例题讲解第15页共44页将y=1代入②,得x=4。所以原方程组的解是例2解方程组将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,将y=2代入③,得x=5。所以原方程的解意图说明通过教师对两个例题的讲解，再加上合理归纳，学生可代入消元法(一)课前反思：通过本课时的教学，要让学生知道解二元一次方程组的基本思路是消元，即化“二元”为“一元”;使学生初步掌握用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；③解这个一元一次方程；④把求得的一次方程的解代(二)课后反思：第二节第2课时《加减消元法》教学设计1.掌握用加减消元法解二元一次方程组。2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。3.选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。2.能根据具体问题的实际意义.检验方程解的合理性。元法和加减消元法解二元一次方程组，初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性.2.通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而体会“消元”的思想，以及把“未知”转化为“已知”,把复杂问题转化为简单问题的化归思想.在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组的解法的基本能力。对于八年级学生来说，独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。因此，因此本节课遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法并能利用加减消元法解二元一次方程组，是提升学生求解二元一次方程组的基本技能课，在例题的设置上充分体现化归思想。在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想。因而在教学过程中教师通过对问题的创设，鼓励学生去观察方程的特点，在巩固训练中提高学生解答的正确率和规(一)重点：用加减消元法解二元一次方程组.(二)难点：将较复杂的方程组转化为两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等的方程组.七、教学过程情境导入同学们，你能用前面学过的代入消元法解下面的二元一次方程组吗?(1)用x表示y怎样解?(2)用y表示x怎样解?除了上面的两种方法，你能用其他比较简单的方法来做吗?观察：(1)上面的方程组，未知数y的系数有什么特点?(2)除了代入消元，你还有什么办法消去y呢?引导：把方程组中①+②得到5x=10,x=2,将x=2代入①,得6+5y=21,y=3。所以方程组第18页共44页新知初探探究加减消元法解二元一次方程组活动1:解方程组分析：观察到方程①,②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x。解：②-①,得8y=-8,y=-1.把y=-1代入①,得2x+5=7,所以原方程组的解师生活动：解答完本题后，口算检验，让学生需强调以下两点：(1)注意解此题的易错点是②-①时是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左边去括号时注意符号。另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x,不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①;把y=-1代入①或②,最后结果是一样的，但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.活动2:解方程组师生活动：先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明白己观察到的方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决?若学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决?让学生讨论尝试。教师引导：二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1,或同一个第19页共44页未知数的系数刚好相同或相反。我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的。请大家把解答过程写出来。②×2,得6x+8y=34。④③-④,得y=2。将y=2代入①,得x=3。所以原方程组的解是活动3:思考·交流根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么?(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)师生共析：(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。(2)用加减法解二元一次方程组的主要步骤是①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边同乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数。②加减消元，得到一个一元一次方程。③解一元一次方程。④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解。意图说明让学生经历合作探究的过程通过观察、发现，得到新的解二元一次方程组的方法——加减消元法，培养学生发现问题、解决问题的能力。通过例题和练习，休会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，积累解二元一次方程组的经验。加减消元法1.加减消元法解二元一次方程组.(一)课前反思：通过本课时的教学，使学生初步理解并掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤和方法，能尝试从不同角度分析和解决问题，学会与他人合作，在尝试用不同方法解决同一问题的过程中获得解决问题的捷径，使学生在老师的引导与合作下，通过自主探索、合作交流，发现问题并解决问题.(二)课后反思：第三节第1课时1.能分析现实问题中的数量关系，建立方程组解决实际问题。2.经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻四数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识。3.通过解决中国古代数学书籍中的趣题，感受中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感。1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能根据具休问题的实际意义，检验方程解的合理性。4.建立模型观念。1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，初步掌握列二元一次方程组解应用题.2.进一步丰富学生学习数学的成功体验，激发学生对数学的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识，3.通过“鸡兔同笼”,把同学们带入古代数学问题的情景中，使学生体会到数学中的“趣”;进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神.已有知识经验：学生学习了解二元一次方程组。已有策略经验：具备一定的观察能力、理解问题能力和小组合作能力，能够进行信息的观察、收集、分析与交流表达。本着以学生自主学习为主体、教师引导点拨为主导的教学原则，采用“问题情境——建立模型——解释——应用与拓展”的模式展开教学。充分利用实际问题、古代的趣题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性；利用多媒休课件和实物等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示所学内容；强调学生的动脑思考和主动参与，通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究。根据等量关系列二元一次方程组解应用题，(二)难点：确立等量关系，列出正确的二元一次方程组.情境导入《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：第22页共44页(1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?(2)你能根据(1)中的等量关系列出方程组吗?(3)你能解决这个有趣的问题吗?新知初探探究一鸡兔同笼问题活动1:解法一：假设推理解：如果都是鸡，35头应该有70只脚，实际有94只脚，多出24只脚，应该是兔子的，每只兔子多两只脚，所以兔子应该有12只，所以鸡有35-12=23(只)。所以35-x=12。所以笼中有鸡23只，兔12只。解法三：用二元一次方程组求解解这个方程组，得所以笼中有鸡23只，兔12只。用二元一次方程组解答的优点：相比小学的算术方法求解和一元一次方程求意图说明体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。探究二和差倍分问题第23页共44页列方程组求解下面的问题：若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍；若乙从甲处得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币?(选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》)问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?问题2:你能列方程解决这个问题吗?你是怎样做的?与同伴进行交流。活动3:今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》)题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱?分析：题目涉及哪些数量关系?你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗?解：设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意，所以，甲带了38钱，乙带了18钱。1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系?与同伴进行交流。2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程，请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：②设：用字母表示题目中的两个未知数；⑤验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意图说明通过习题的讲解与练习进一步巩固列二元一次方程组解应用题的思想，以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。和差倍分问题1.解决古代数学问题：理解求两个未知数，需要有两个条件.(一)课前反思：通过古代的“鸡兔同笼”问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练.这样，一方面在列方程组建模过程中，强化了方程思想，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解融为一休，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.(二)课后反思：第三节第2课时1.能运用列表法分析数量关系。2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。3.掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。4.建立模型观念。1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组，继续熟练二元一次方程组的解法.2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，休会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力.3.通过对问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的观念，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.已有知识经验：学生已经学习了鸡兔同笼问题。已有策略经验：具备一定的观察能力、理解问题能力和小组合作能力，能够进行信息的观察、收集、分析与交流表达。本节课通过情境创设引出课题，对本节课要用到的数量关系加以铺垫；再通过对一道例题的精讲精练使学生学会借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，并能建立方程组解决问题；然后，通过让学生自己编题培养学生的逆向思维，发展学生运用数学解决问题的自主意识；紧接着，带领学生对本节课所学的知识进行梳理；最后，通过练习进行针对性巩固，让学生感悟到数学活，增收节支对理财观念的形成至关重要。掌握用列表分析复杂数量关系的方法，熟练列二元一次方程组解决实际问(二)难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型，会用图表分析数量关系.价之和是1072元，且学习机的单价比书包单价的8倍少8元，你能说出学习机和活动1:问题探究某工厂去年的利润(总收入一总支出)为200万元。今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元。去年的总收入、总支出各是多少万元?(1)若该厂去年的总收入是x万元，今年的总收入比去年增加了20%,则今年万元，那么由(1),(2)可得方程设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有总收入/万元总支出/万元万元Xy因此，去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元活动2:我来出题编一道应用题，使得其中的未知数满足方程组：意图说明使学生初步学会设计适当的图表，帮助理清题目中的数量关系，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。探究二例题讲解例题医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要?分析：设每餐需用甲、乙原料各xg,yg.则有成分所配制的营养品其中所含蛋白质其中所含铁质X0.1y解：设每餐用甲原料xg、乙原料yg,所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会?与同伴进行交流。意图说明通过例题让学生由感知表格到认知表格的过程中，再次体验用表格分析问题的方法及一般步骤，先让学生尝试利用表格分析问题，再由教师根据课堂效果及第28页共44页时点拨、引导、师生共同借助表格分析问题，在此基础上教师明晰用表格分析问题的方法。本环节建立表格是本节课的难点，教师组织学生小组合作完成任务，教师在巡视过程中要指导学生通过找关键词，建立表格，梳理信息。实际问题数学问题实际问题的答案—数学问题的解(一)课前反思：通过本课时的学习，要求学生进一步理解并掌握列方程组解决实际问题的一般思路和方法.在教师的引导下，让学生积极主动地投入到探索学习中去，使每个学生都学有所获.(二)课后反思：第三节第3课时1.能借用图形、图示解决实际问题。2.归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会模型观念，发展应1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能根据具休问题的实际意义，检验方程解的合理性。1.用二元一次方程组解决有趣场景中的行程问题，归纳用方程(组)解决实际问题的一般步骤.2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，学会借助图表分析问题，感受化归思想.3.在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立白信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.学生已经学习了用二元一次方程组解决问题，但是在作业中和课堂练习中，发现学生审题不清，不会整合题目中的有效信息，找不到等量关系，列不出方程组，没有办法解决复杂问题。为了解决这一问题，这节课我将难点分解，教会学生如何审题，明确学生的审题步骤，从而找到等量关系，解决问题。让学生学会借助表格解决问题，使他们在今后解决实际问题过程中能依据本节课的方法解决本节课借助多媒体课件，动态演示8块小长方形墙砖拼成大长方形的过程，以及火车进入隧道、在隧道中行驶、驶出隧道的过程，帮助学生更直观地理解问题，突破教学难点。利用线段图直观呈现火车行驶路程与隧道长度、火车长度之间的关系，使抽象的数量关系变得清晰易懂。在解决完两个实际问题后，引导学生总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，培养学生的归纳总结能力和数学建模思想。让学生分享在解决问题过程中的收获和体会，加深对知识的理解和用二元一次方程组解决行程问题，体会列方程组解决实际问题的步骤.(二)难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.第30页共44页七、教学过程情境导入如图所示，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少?问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?问题2:你能列方程组解决这个问题吗?师生分析：设每块墙砖的长为xcm,宽为ycm,根据题意可解这个方程组可求得x,y的值，即可解题。答：每块墙砖的长为30cm,宽为10cm。新知初探探究借助图形、图示解决问题活动1:火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s,其中火车全身都在隧道里的时间是20s,求隧道和火车的长度。分析：本题涉及哪些量?你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗?这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系?类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可以得到相应的关系!解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图5-2、图5-3表示。图5-2第31页共44页图5-3所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m。列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴进行交流。意图说明生动的情境引入，将学生带入生活中的数学，激发学生学习的兴趣。把这个复杂的图形问题、行程问题进行分解，使解题思路清晰，列出方程，从而顺利地解决这个较复杂问题。借助图形解决实际问题1.利用线段图梳理题目的关键信息，也是一种常用的方法.2.列二元一次方程组解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答(一)课前反思：本课时学生通过独立思考和合作学习，在和谐的氛围中学习并掌握了行程问题的解决方法，进一步总结出列方程组解应用题的步骤和方(二)课后反思：第四节第1课时《二元一次方程与一次函数的关系》教学设计一、教学内容和内容解析1.体会一次函数和二元一次方程的关系，2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观。3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。体会一次函数与二元一次方程的关系。1.理解二元一次方程与一次函数的关系，会用图象法求解二元一次方程组；能综合应用一次函数、一元一次方程、二元一次方程(组)解决相关实际问题，学会用函数的观点去认识问题.2.通过学生的自主探索，引出方程和图象之问的对应关系，加强了新旧知识之间的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，培养学生的知识整合能力和建模意识，体验数学的工具功能，体会数学的价值.学生已有了解方程(组)的基本能力和一次数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之问的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决.由于本节课是初中阶段学生第一次接触“数形结合”,所以在认识“数与形”转换，引导学生利用几何直观方面需要教师做好设计。利用动四展示二元一次方程的解在坐标系中动态形成直线的过程，以及一次函数图象随参数变化的情况，直观呈现两者关系，帮助学生理解。把知识拓展延伸到二元一次方程组与一次函数图象交点坐标的关系，引导学生思考如何通过函数图象求解方程组，提升学生知识综合运用能力。探索一次函数与二元一次方程(组)的关系，能运用“数形结合”的思想解决问题.第33页共44页(二)难点：综合运用函数、方程(组)知识解决实际问题.七、教学过程情境导入数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就座，这时来了“x+y=5”它应该坐在哪里呢?投票小活动二元一次方程一次函数引出本节课的主题——二元一次方程与一次函数的关系。新知初探探究二元一次方程与一次函数的关系活动1:二元一次方程与一次函数的关系以方程x+y=5为例，将其变形为一次函数y=-x+5的形式，让学生观察变形过(1)方程x+y=5的解有多少个?其中的几个(x=0y=5,x=2y=3……)。(2)x-y=5看成一个一次函数，变成y=kx+b的形式是y=-x(3)画出y=-x+5的图象X0550追问(1):以方程x-y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗?(都在)追问(2):在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5第34页共44页吗?(适合)追问(3):以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗?(相同)利用多媒体课件展示多个二元一次方程及其对应的一次函数图象，引导学生观察图象上的点与方程的解之间的对应关系，得出结论：二元一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点，反之亦然。 活动2:图象法求解二元一次方程组利用图象法求解二元一次方程组的原理：方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。以方程组为例，利用消元法，解方程组得出交点坐标(2,3)就是方程组的解在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程纤解的情况如何?你发现了什么?与同伴进行交流。学生分组讨论：二元一次方程的解和相应的两条直线的关系(1)观察发现直线平行无交点；(2)小组研究计算发现方程组无解；(3)从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成意图说明生的好奇心。方程和函数、解和有序数对分别呈现在黑板上，左右对照，给学生明确的引导方向去思考方程与函数的关系。独立思考、小组讨论、教师帮助规范语言。再由PPT直观呈现解和图象上的点坐标的对应关系。使学生可以体会到二元一次方程的解和一次函数图像上的点的坐标是一一对应的关系。使学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础。突出重点，并从中体会数学的转化思想和数形结合思想。二元一次方程与一次函数的关系1.二元一次方程与一次函数的关系，2.二元一次方程组与一次函数的关系.(一)课前反思：本节课我们学习了二元一次方程(组)与一次函数图象的关系，学生体会到二者之间可以相互转化：二元一次方程的解可以看作是相应一次函数图象上的点的坐标；二元一次方程组的解可以看作是相应两条直线的交点坐标.当二元一次方程组无解时，两条直线平行；当二元一次方程组有无数组解时，两条直线就变成一条直线(即重合);反之亦然.(二)课后反思：第四节第2课时1.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，进一步理解方程与函数的联2.从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。体会一次函数与二元一次方程的关系。1.学生在经历应用问题多种解法的探究过程中学会解决应用问题的一些基本方法和策略，体会知识之问的普遍联系和知识之问的相互转化.2.在探究过程中，培养学生的观察能力、识图能力以及生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.3.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得本节课之前，学生已经有了用待定系数法确定一次函数表达式的简单经验，上节课又明确了一次函数与二元一次方程的关系，有数形结合的基本学习经验，能较准确地进行解二元一次方程组的计算。本节课先通过创设情境，回顾二元一次方程组与一次函数的关系，从而引入新课。然后用三种不同的方法解决实际问题，通过这样设计，了解解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维。接下来，讲解例题，加深用待定系数法确定一次函数表达式的理解，最后，通过一系列的练习来巩固本节课所学的知识点。了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.(二)难点：会用二元一次方程组确定一次函数的表达式，建立数形结合的思想.情境导入在某地，人们发现某种蟋蜂1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系，下面是蟋蟀1分钟所叫次数与温度变化情况对照表：蟋蟀1分钟……温度(℃)…第37页共44页(1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗?(2)如果蟋蜂1分钟叫了63次，那么该地当时的温度约为多少?新知初探探究一用二元一次方程确定一次函数表达式活动：A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各白与A地之间的距离s(单位：km)都是骑行时间t(单位：h)的一次函数。骑行1h乙距离A地80km;骑行2h甲距离A地30km。问：经过多长时间两人相遇?说出你的方法，并与同学们交小亮：可以分别画出两人s与t之问关系的图象，找出交点的横坐标就行了!s=80。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k,b的值，即可以求出乙的s与1之问的函数表达式为s=-20t+100。同样可以求出甲的s与t之问的关系式，再联立这两个关系式，求解方程组就行了!答：因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30,即30=2k,k=15,所以s=15t。所以，经h后两人相遇。小颖：骑行1h乙距离A地80km,即乙的速度是20km/h,骑行2h甲距离A地30km,即甲的速度是15km/h,设经过1h后两人相遇，则15t-20t=100,所以,即经h后两人相遇。第38页共44页探究交流在以上的解题过程中你受到什么启发?小明：用列方程组的方法可以解决问题。小颖：用一元一次方程的方法可以解决问题。用画图象的方法可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获意图说明通过交流讨论，培养学生独立思考问题、解决问题的能密性和灵活性。通过实际问题情境，进一步加强函数与方图象的方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫，同时也认识到知识之间有着广泛的联系。探究二例题讲解例题某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10(1)写出y与x之问的关系式；(2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李?所以所以，每名乘客最多可免费携带30kg的行李。利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤2.代：将己知条件代入上述表达式中得到关于k,b的二元一次方程组。意图说明通过对例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一种是利用图象提供的信息。前面已解决了图象信息的题目，本例题主要解决文字信息的题目，进一步强化学生数形结合的思想。用二元一次方程组确定一次函数表达式1.待定系数法.2.待定系