关于数列极限和函数极限的求解

关于数列极限和函数极限的求解Thecalculationofsequencelimitandfunctionlimit.Ⅰ关于数列极限和函数极限的求解【摘要】极限思想是数学分析中一个非常重要的工具，极限概念以各种各样的形式贯穿数学分析的前后内容,因此极限的求解方法的掌握是学好数学分析的桥梁.本篇学术论文首先介绍了数列极限的具体定义、数列极限存在的条件、数列极限的性质、函数极限的具体定义、函数极限存在的条件、函数极限的性质；其次运用这些定义、条件、和性质去解决数列极限的求解和函数极限的求解具体问题并给出相对应的关键钥匙；最后对数列极限和函数极限的求解方面区别和联系进行小结.【关键词】数列极限函数极限极限的求解ⅡThecalculationofsequencelimitandfunctionlimit.【Abstract】Limitthoughtisveryimportanttoolinmathemnaticalanalysis,theconceptoflimitthroughsthecontentbeforeandafterbyvariousforms.Somasteringthelimitsolutionmethodisabridgeoflearningmathematicalanaiysiswell.Atfirst,thisacademicpaperintroducesthedefinitionofasequencelimit、thepropertiesofsequencelimit、thedefinitionofthelimitofafunction、theconditionfortheexistenceofalimitofafunction、thepropertiesoflimitoffunctions.Thenext,applythesedefinitions、conditionandpropertiestospecificproblems,andgivesthecorrespondingkey.Thelast,summayingthedistinctionandconnectionofthecalculationofsequencelimitandfunctionlimit.【Keywords】SequencelimitFunctionlimitSolutionoflimitⅢ目录1 引言 引言数列极限和函数极限的求解问题，首先我们要了解数列极限和函数极限这两个概念有什么本质上的联系和区别。我们仔细斟酌数列的定义，不难发现数列其实本质上是特殊的函数。只是其义域为一个特定的数集即自然数集。所以用函数的性质及相关的思想方法对其进行研究是没有问题的。函数的极限求解我们可以摆出来的方法有很多种，但是每种方法都有一定的捉襟见肘的地方，没有万能钥匙。但对于确定的具体的求极限的问题，我们应该寻觅出简单便捷的方法去求解。其过程不可避免的要依据一些相关的概念、定理以及公式，同时一些重要的方法和技巧的点拨的运用便可达到事半功倍。本文将从数列极限与函数极限的定义与性质出发论述，说明一些极限的求解方法。

数列极限数列极限的概念1.数列极限的定义定义2.1.1【7】一般地，对于数列，若当n无限大时能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。定义2.1.2[7]设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或.2.数列极限的否定形式数列不以为极限，用下面形式表达：，，使得.接下来看具体范例例2.1.1用定义证明.证当时，所以，任给，取，则当时有，故.例2.1.2用定义证明.证因为,可以得到：，所以，任给，取，则当时有，故.利用定义求解的关键钥匙是首先，分析和，考虑一下基本前提如定义域等；其次，由开始化简，尝试解才出，即可令；最后，按照定义思路写出证明过程.数列极限存在的条件1.单调有界定理及其运用定理2.2.1[7]在实数系中，有界的单调数列必有极限.接下来看具体求解的例子：例2.2.1求，其中，.解记，则有,对于，因为,所以时，总存在某个，从第项开始之后所有都满足，即，所以，即数列单调递减.而显然有，则由单调有界定理可知，数列极限存在，设其极限为.由，两边同时取极限，得到且，所以，即.利用单调有界定理求解的关键钥匙是：首先，判断该数列的单调性，通常方法都是常规方法，同时技巧的使用也是很重要的，通常这一部分是相对比较容易的；其次，判断该数列的有界性，而且这里只需说明有界即可，无需纠结于确界，或者界是多少；最后，利用单调有界定理得出极限存在，同时利用数列通项表达式，两边同时取极限的方法求出极限值。上面例题中单调性的判断中要注意，由于条件，单调性不从第一项开始，而是从某一项开始。2.致密性定理及其应用定理2.2.2【7】任何有界数列必定有收敛的子列。例2.2.2设，，证明存在并求之.证当时，可得，所以.当，总有；而当时，总有.可以得出当时，奇数列都有；而偶数列有；同理，当时，奇数列都有；而偶数列有.因为，所以即,所以当时，；时.若时，奇数列，则，这时偶数列单调递增有上界，即奇数列收敛；同时，偶数列，则，这时偶数列单调递减有下界，即偶数列收敛.同理，若，奇数列，则奇数列收敛，同时偶数列，则，则偶数列收敛.综上，不论如何选择，都有的奇数列和偶数列都收敛，同时，对两侧分别求极限可得，解得.故不论此时的是奇数还是偶数，都收敛于3.所以极限存在且.求解的关键钥匙是本题直观上是求解的是数列的极限，给出了递推关系，与利用单调有界求极限的题目形式上极类似，但是稍加判断就会发现，数列整体上不具有单调性。这种变形的题目具有迷惑性，但是只要仔细研究数列的特征，可以看出数列的奇偶项都分别满足单调性，从而解出问题。3.柯西收敛准则及其应用定理2.2.3[7]数列收敛的充要条件是：对任意的，存在正整数，使得当时有.数列收敛数列发散..柯西收敛准则是极限存在的充分必要条件，当然它没有解决极限的具体值，只是说明了极限是存在的。例2.2.3证明数列收敛.证首先研究,如果从开始后面共有偶数项，则每个括号里面都是正的，即成立，如果从开始后面共有奇数项，则形式成立，所以总有成立.设，容易得到，所以，对于，取，于是当时，就有，即结论成立.利用柯西收敛准则求解的关键钥匙是：首先，认真看待求解的数列特点和性质，从出发，研究如何适当放缩可以满足；其次，为了能从中解出N，需要在假设的大小关系的前提下（不妨设）将大的那个消掉，只保留小的那个；最后，解出存在的正整数，即可满足柯西条件得出数列极限存在的结论。而柯西收敛准则与数列极限定义的等价性还可以证明极限不存在，这一点是其他工具不能替代的。例2.2.4证明数列发散.证对于，不论如何选取，取，，则且有，这表明数列发散.求解的关键钥匙是首先，认识分析该数列的特点、性质，观察数列内在相互之间的关联，希望能找到解题的关键，从出发，研究如何放缩可以满足；其次，根据的特点，寻找适当的和，以便能够得出结论；最后，满足柯西收敛准则的逆描述，从而得出数列极限不存在的结论。都是从出发，对于这一表达式的简化和适当的处理。收敛数列的性质1.唯一性若数列收敛，则它只有一个极限.2.有界性若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有。3.保号性若（或），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）.推论：设，，，则存在，使得当时有.4.保不等式性设与均为收敛数列，若存在正数，使得当时有，则.5.迫敛性设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.6.四则运算法则若与为收敛数列，则，，也都是收敛数列，且有，.特别当为常数时有:，.若假设及，则也是收敛数列，且有.例2.3.1求极限.解由不等式,当时，由迫敛性可得.我们可以总结利用迫敛性求解的关键钥匙是首先，观察待求极限的特点、性质；其次，进行放大和缩小，即给出放大后的数列和缩小后的数列，并依次判断其极限值；最后，如果两个新数列的极限相等，即可直接利用迫敛性得出结果；如果两个新数列的极限不等，那么需要重新回到第一步来调整放大或缩小的数列，使之达到迫敛性的要求。例2.3.2设，且，求.解因为，由保号性可知，当充分大时，即，时，有且，如果有，则考察有，所以由迫敛性可知.例2.3.3已知，且，求.解因为，且，所以根据四则运算法则有和的极限都存在，则的极限也存在.不妨设，那么由，如果，则，显然矛盾，故.例2.3.4计算.解====求解的关键钥匙是利用四则运算法则，注意整个过程中要保证满足四则运算法则要求。一定注意分解后每一项极限是存在的，否则可能会导致错误出现。函数极限函数极限的概念1.函数极限的定义定义3.1.1[7]设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.值得注意的是..设为定义在上的函数，则定义3.1.2[7]设函数在点的某个空心领域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.定义3.1.3[7]设函数在（或）上有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当（或）时有，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作（）或（）.定理3.1.1[7].例3.1.1证明：当时，.证因为，任给，要使，只要，取，则当时，就有，所以.例3.1.2证明：.证当时，有，对任给正数，只要取，则当时，有，故.求解的关键钥匙是，首先，分析和，考虑一下是否存在需要求解定义域问题；其次，由开始化简，解出，注意巧妙运用“放缩”.函数极限存在的条件归结归结原则及其应用定理3.2.1[7]设在上有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.可以简述为对任何有.对于和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则形式如下：对任何以为极限的递减数列，有.对任何以为极限的递增数列，有.对，有.对，有.例3.2.1求.解令，则当时，,而,故原式.例3.2.2证明不存在.证设取，得，又因为，故由归结原则即得结论.求解的关键钥匙是是数列，是数列的极限，把函数极限看成数列极限的问题来解决。2.单调有界定理及其应用定理3.2.2为定义在上的函数，若在上递增有下界，则存在，则；若在上递减有下界，则存在，则.具体应用如下：由两边取极限得，即，所以或（舍去），即.柯西准则及其应用定理3.2.3设函数在上有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何有.例3.2.3考察的存在性.解对任意的正数，取,使得当时有，命题的证.例3.2.4考察不存在.解取，对任意的，令，其中，此时,命题得证.求解的关键钥匙是确定两个点，使其函数值差异足够大，这需要你非常了解这道题函数值得变化情况。3.3函数极限性质1.唯一性：若极限存在，则此极限是唯一的.2.局部有界性：若存在，则在的某空心邻域内有界.3.局部保号性：若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）.4.保不等式性：设与都存在，且在某邻域内有，则.5.迫敛性：设，且在某邻域内有,则.6.四则运算法则：若极限与都存在，则函数，当时极限也存在.且；.若，则当时极限也存在，且有.例3.3.1求极限.解原式==例3.3.2求极限.解利用迫敛性因为，所以.而，，所以.例3.3.3设,.证明：.证因为，，则对任意正数，分别存在正数和，使当时，有；当时，有，由题设，于是由局部保号性有，存在，当时，有.取，当时，则，由得任意性知.求解的关键钥匙是：1.研究待求极限的函数的特点，是否可化为与其相近的易求解函数的极限，观察函数是否具有可直接利用的性质。2.利用“迫敛性”或“四则运算法则”相应求解。两个重要极限及其应用重要极限.在极限中，只要，有.这是因为：令，则，于是.例3.4.1求极限.解原式例3.4.2求极限解原式求解的关键钥匙是：1.了解待求极限的函数特征、特点以及变量趋向情况，找出与之间的直接和间接关系；2.化简待求极限，转化为可以直接利用的形式，特别注意要验证条件是否成立；3.整理出完整的结果。2.重要极限在极限中，只要，就有.在极限中，只要，就有.例3.4.3求极限.解原式因为，所以原式.例3.4.4求极限.解，因为，所以原式.求解的关键钥匙为：1.了解待求解极限的函数特征、特点以及变量趋向情况，找出与或之间的直接和间接关系；2.化简待求极限，转换为()或（），特别注意验证条件是否成立；整理出完整的结果.数列极限和函数极限求解方面中的联系与统一下面通过归结原则在数列极限与函数极限中的运用来描述两者在求解方面中的联系与统一：用数列极限来求解函数极限例4.1求解.解因为，所以属于型，及其极限存在，依据归结原则，取，那么.（2）用函数极限求解数列极限对于数列向函数的转化主要是借助归结原则运用函数一系列基本性质，我们可以将数列施以必要的恒等变形，将其转化为函数形式，然后再借助函数极限相应性质、求解思想以及归结原则，对转化后的函数极限进行求解。例4.2求数列极限.解首先将此数列极限进行转化，即，对函数取对数有，又因为，由个归结原则可以得出.小结本文主要是从数列极限的具体定义、数列极限存在的条件、数列极限的性质、函数极限的具体定义、函数极限存在的条件、函数极限的性质出发对求解数列极限和函数极限进行研究并给出相对应的关键钥匙，对之后的解题有所帮助。

参考文献：[1]顾庆荷.证明数列极限存在的六种方法[J].邢台师范高专学报，1998（02）:73-75.[2]陈昌华.函数极限的求法探究[J].数学学习与研究，2017.12:15-17.[3]余晓娟、邓乐斌.函数极限保号性质及其应用[J].湖北工业职业技术学院学报，2015，28（02）:100-102.[4]许绍元、钟争艳.关于极限的保号性与保不等式性的注记[J].赣南师范学院学报，2011（03）:8-9.[5]景慧丽.利用四则运算法则求极限易错题分析[J].河南教育学报（自然科学版），2016，25（01）:62-64.[6]张晓凤.关于复合函数极限运算法则的一点说明[J].数学学习与研究，2016.15:138.[7]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社，2010.[8]赵士元.利用单调有界原理求解极限的数列的推广[J].九江学院学报(自然科学版)，2017(03):66-69.[9]唐海波.数列极限和函数极限的统一[J].河池学院学报，2017