可压缩流体的流动课件

可压缩流体的流动

流体的可压缩性是流体的固有属性。

任何真实的流体都是可以压缩的，只是它们的可压缩程度不同而已。

把流体的密度看作为常数，会使问题得到很大的简化。

对于可压缩流体而言，密度变化必然伴随着温度的变化，就是说，在流体流动过程中，其内能也在发生变化，这时其机械能将不再守恒，必须用能量守恒定律来取代机械能守恒定律。第一节热力学的基本参量和定律内容提要一、比热二、内能三、焓四、熵五、热力学第一定律的能量方程式第一节热力学的基本参量和定律

一、比热

单位质量流体温度变化1K所需要的热量称为比热，单位为焦耳/千克·开。

对于气体而言，如果过程是在等压条件下进行，则称为等压比热，用CP表示；如果过程是在等容条件下进行，则称为等容比热，用CV表示。

从热力学知道，等压比热CP、等容比热CV与气体常数R之间存在着如下的关系

CP=CV+R(8-1)

式中气体常数R的通用值为R=8314J/kmol·K。各种不同气体的气体常数值见表8-1。第一节热力学的基本参量和定律

气体的等压比热与等容比热的比值叫做绝热指数，常用k表示，即

(8-2)

将式(8-2)代入式(8-1)可转化为

(8-3)(8-4)

对单原子气体k=1.66(如氩气、氦气等)；对双原子气体k=1.40(如氧气、空气等)；对多原子气体k=1.33(如过热蒸气等)；对干饱和蒸气k=1.135。第一节热力学的基本参量和定律

二、内能

宏观静止的流体，因其内部分子的热运动而具有的能量叫做内能。常用符号e来表示，对于单位质量流体来说，其单位是焦耳/千克。

流体的内能一般包括内动能和内位能两部分。内动能是温度的函数，而内位能是密度或比容的函数。因此说，内能是热力状态的单值函数。在一定的热力状态下，分子有一定的均方根速度和平均间距，也就有一定的内能，而与到达这一状态的路径无关。这就是内能作为一个状态参量的基本性质。第一节热力学的基本参量和定律

通常情况下，因气体的热力状态可由两个独立的状态参量决定，所以其内能也一定是两个独立状态参量的函数，一般可表达为

e=f(T，ρ)(8-5)

对于完全气体，由于其分子之间没有作用力，故分子之间就没有位能。这样，完全气体的内能就只是气体分子运动的动能，而不包含内位能了。因此，完全气体的内能只是温度的单值函数，而与密度或比容无关，即

e=f(T)(8-6)

由热力学知道，完全气体的内能变化可按下式计算

de=CVdT

(8-7)第一节热力学的基本参量和定律

对于定比热的完全气体，CV=常数，上式积分得

e2-e1=CV(T2-T1)(8-8)

如果以热力学零度为基准，即在T=0K时，e=0，则在TK温度条件下的完全气体的内能为

e=CVT(8-9)

即完全气体的内能与热力学温度成正比。第一节热力学的基本参量和定律

三、焓

在有关热工计算的公式中时常有e+p/ρ出现，为了简化公式和简化计算，我们把它定义为焓，用符号i表示。规定

i=e+p/ρ

(8-10)

式(8-10)就是焓的定义式。从式中可以看出焓i的单位是焦耳/千克。式中还可以看出焓也是一个状态参量。在任一平衡状态下，e、p和ρ都有一定的值，因而焓i也有一定的值，而与到达这一状态的路径无关，即

i=e+p/ρ=f(p，ρ)(8-11)

或i=f(T，ρ)(8-11a)第一节热力学的基本参量和定律

同内能一样，完全气体的焓也只是温度的单值函数，而与密度或比容无关。因为i=e+p/ρ，其中e只是温度的函数，而p/ρ=RT也只是温度的函数。所以

i=f(T)(8-12)

即，对于完全气体，式(8-10)可写为

i=e+RT

(8-13)

由式(8-13)，焓的变化为

di=de+RdT=CVdT+RdT

=(CV+R)dT=CPdT(8-14)

对于定比热的完全气体，CP=常数，则式(8-14)积分得：

i2-i1=CP(T2-T1)(8-15)第一节热力学的基本参量和定律

如果以热力学零度为基准，即在T=0K时，i=0，则在TK温度条件下的完全气体的焓为

(8-16)

即完全气体的焓与热力学温度成正比。第一节热力学的基本参量和定律

四、熵

熵也是一个状态参量，一般用s表示，其单位是焦耳/开，对于单位质量流体为焦耳/千克·开。对给定的状态，熵有确定的值。熵的变化为

(8-17)

式中是微小过程给定系统单位质量流体得到的热量，T为介质的热力学温度。对绝热过程而言，＝0，熵的变化为

ds≥0(8-18)

对于可逆绝热过程而言，ds=0，s=常数，称为等熵过程。第一节热力学的基本参量和定律

对于等熵过程，有

(8-19)

式中k为绝热指数，p为流体的压力，ρ为流体的密度。注意到状态方程p=ρRT，可得到等熵过程压力p、密度ρ和温度T三者之间的关系为

(8-20)

式中p1、ρ1、T1为初态参量，p2、ρ2、T2为终态参量。对于不可逆绝热过程，ds＞0，过程始末单位质量流体的熵增为第一节热力学的基本参量和定律(8-21)

或(8-21a)

第一节热力学的基本参量和定律

五、热力学第一定律的能量方程式图8-1示一开口系统，流体经Ⅰ-Ⅰ面流入，经Ⅱ-Ⅱ面流出。入口截面中心距基准面的几何高度为z1，流体的静压为p1，流速为u1，密度为ρ1；出口截面中心距基准面的几何高度为z2，流体的静压为p2、流速为u2，密度为ρ2。为单位质量流体在Ⅰ～Ⅱ两截面间所得到的热量，为单位质量流体对外界所做的功。对于理想流体而言，不存在能量损失，则单位质量流体在两截面间的能量关系为

(8-22)第一节热力学的基本参量和定律

图8-1开口系统的能量平衡图第一节热力学的基本参量和定律

对于可压缩流体而言，位能的变化可忽略不计，能量方程式(8-22)可简化为

(8-23)

当可压缩流体既不向系统外作功，又不从系统外吸热时，能量方程可进一步简化为

(8-24)

或(8-24a)

注意到式(8-10)或(8-13)，上式可变换为第一节热力学的基本参量和定律(8-25)

式(8-25)说明，对于理想的可压缩流体的绝热流动而言，单位质量流体所具有的焓与动能之和保持常量。第二节弱扰动波传播的物理过程内容提要

弱扰动波的传播与流体可压缩性的关系

弱扰动波传播的物理过程

声音传播速度的计算第二节弱扰动波传播的物理过程

在密度有变化的流场中，相邻两点之间的密度差与它们的压力差密切相关。密度对压力的变化率是分析可压缩流体流动的一个重要参量。我们将会看到，密度对压力的变化率与声波的传播速度有密切关系，声波就是在可压缩流体中传播的弱扰动波，它的传播速度简称声速，或称音速。为了说明弱扰动波传播的物理过程，让我们观察图8-2a所示的理想化模型。第二节弱扰动波传播的物理过程

图8-2弱扰动波传播的物理过程第二节弱扰动波传播的物理过程

设管道的截面积为A，对控制体写出连续性方程

ρaA=(ρ+dρ)(a-du)A

略去二阶无穷小量，得

ρdu=adρ(8-26)

对控制体建立动量方程,并注意到控制体的体积趋近于零，其质量力近似为零，且可忽略切应力的作用，于是动量方程可写成

pA-(p+dp)A=ρaA[(a-du)-a]

整理后可得

dp=ρadu(8-27)

由式(8-26)及式(8-27)，消去du可得到音速公式第二节弱扰动波传播的物理过程(8-28)

由于弱扰动波在传播过程中，流体的密度、压力及温度的变化无限小，且过程进行得很快，因此可以认为这个过程是等熵过程。于是音速公式(8-28)可写成

(8-29)

音速公式(8-29)无论对气体还是液体都是适用的。从式(8-29)可以看出，流体中的音速与其可压缩性密切相关，它表示改变单位密度必须改变的压力值。因此，愈难压缩的流体，其中的音速越快；愈易压缩的流体，其中的音速越慢。第二节弱扰动波传播的物理过程

绝对刚体中声音的传播速度为无穷大∞。实际中的物质都是可以压缩的。如常温条件下，纯水中的音速为a≈1490m/s；空气中的音速为a≈343m/s。对于完全气体的等熵过程，p/ρk=常数，对它进行微分，并考虑到完全气体的状态方程p=ρRT，可得因此完全气体的音速公式可写成

(8-30)

可见，完全气体中的音速是热力学温度的函数。它也是一个过第二节弱扰动波传播的物理过程

程量，而不是常数。就是说，音速a主要取决于气体的种类(k，R)和热力学温度(T)。

对于空气，k=1.4，R=287.06J/kg·K，代入式(8-30)，得第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征内容提要

弱扰动波在静止流场中的传播特征

弱扰动波在亚音速流场中的传播特征

弱扰动波在超音速流场中的传播特征

马赫数、马赫锥、马赫线及马赫角的概念第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

马赫数M是体现流场中流体可压缩性大小的重要参量。相同马赫数的流场具有相似的流动特征，它们的弹性力相似。根据马赫数的大小不同，可将流场的流动特征分为三类，即

M<1

为亚音速流动；

M=1

为音速流动；

M>1

为超音速流动。为了说明亚音速流和超音速流的根本区别，我们首先来讨论均匀来流流场中弱扰动波的传播特征。设在静止流场中某点O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱扰动波将以音速a向四周传播，如图8-3a所示。若坐标原点取在该扰动源上，则弱扰动波向四周传播的速度可写成第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

若在均匀来流速度为的流场中某点O上存在一弱扰动源，则该扰动源产生的弱拢动波仍以速度a相对于流体向四周传播。现以O点为原点，沿流体流动方向作x轴，由于流体本身以速度u∞沿x轴方向运动，故弱扰动波传播的绝对速度为。下面我们就三种情况分别讨论。

(1)亚音速流动(M<1)

若均匀来流为亚音速流动，则弱扰动波可以传播到整个流场。由图8-3b可见，在τ=0时刻，从O点发出的弱扰动波，在τ1=Δτ时刻将传播到以O1为中心(OO1=u∞Δτ)，以aΔτ为半径的球面上；而在τ2=2Δτ时刻将传播到以O2为中心(OO2=2u∞Δτ)，以2aΔτ为半径的球面上；依此类推。因为第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

图8-3弱扰动波的传播特征第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

图8-3弱扰动波的传播特征第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

u∞Δτ<aΔτ，所以在亚音速流动中，随着时间的推移，扰动波总可以传播到整个流场，只不过在逆来流方向上传播得慢些，而在顺来流的方向上传播得快些而已。

(2)音速流动(M=1)

流体的流动速度等于音速的流动称为音速流动。若均匀来流为音速流动，即u∞=a，则弱扰动波只能传播到x≥0的半空间。由图8-3c可见，由于u∞Δτ=aΔτ，因此，任何时刻的扰动波都不可能越过x=0的平面传到上游。这时我们可以将x=0平面左侧的上游区称为“禁讯区”，而下游区称为“扰动区”。第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征(3)超音速流动(M>1)

若均匀来流为超音速流动，则由O点发出的弱扰动波，只能沿着气流方向以O点为顶点，以过O点的流线为轴线的锥形区域内传播。由图8-3d可见，在τ=0时刻从O点发出的弱扰动波，在τ1=Δτ时刻将传播到以O1为中心(OO1=u∞Δτ)，以aΔτ为半径的球面上；而在τ2=2Δτ时刻将传播到以O2为中心(OO2=2u∞Δτ)，以2aΔτ为半径的球面上；依此类推。因为u∞Δτ>aΔτ，所以这些球面的包络面就是以扰动源为顶点的圆锥面，弱扰动波只能在该锥形区域内传播。锥的半顶角为α，它与音速a及气流的流速u∞有如下关系

(8-31)第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

通常称此锥为马赫锥，称锥的半顶角α为马赫角。利用马赫数的定义，式(8-31)可表示为

(8-32)

式中M∞为来流的马赫数。由此可见，对于超音速流动，马赫数与马赫角的正弦互为倒数关系。M数愈大，α角越小，M数由1趋向∞，α角由π/2趋向0。对于平面流动，在流动平面上看，图8-3d中的OA、OB为两条扰动线，弱扰动波只能在OA、OB两线之间的区域中传播，我们把OA、OB称作马赫线。第三节弱扰动波在运动流场中的传播特征

在非均匀流场中，各点的速度、音速及其它物理量的分布是不均匀的，从而各点的马赫数也不相同。因此，扰动波的传播方式比在均匀来流中更为复杂。就空间流动而言，非均匀流场中的弱扰动波不再以球对称的方式向四周传播，超音速流动中的扰动面也不再是正圆锥面。就平面流动而言，马赫线OA、OB不再是直线。由上面的分析可知，超音速流动与亚音速流动在物理上有原则的区别，即在亚音速流动的流场中，弱扰动波可以传播到整个流场，它不存在马赫锥或马赫线；而在超音速流动的流场中，弱扰动波只能在马赫锥中或马赫线间传播。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程内容提要

1、连续性方程

2、欧拉运动方程

3、能量方程

4、动量方程

5、气体状态方程

6、等熵过程方程第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程主要包括：连续性方程、运动方程、动量方程、能量方程和状态方程等。

连续性方程(3-21)

其微分式为

(8-33)

欧拉运动方程的微分和积分式分别为

(3-28)(3-30)第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

如果忽略质量力的影响，式(3-28)和式(3-30)可写成

(3-29)(8-34)

理想流体稳定流动的动量方程为

(3-46)

一维稳定流的动量方程的微分式可以写成

(8-34)第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

完全气体的状态方程为

(1-12a)

其微分式为

(8-35)

完全气体的等熵过程方程式为

(8-19)

其微分式为

(8-36)

下面我们着重介绍可压缩理想流体在绝热流动条件下，能量方程的几种形式。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

(一)以焓值和流速表述的能量方程由第一节可知，可压缩的理想流体既不向系统外做功，又不从系统外吸热，并且忽略位能变化的影响时，其能量方程式为(8-25)

或

(8-25a)

这个方程既适用于可逆过程，也适用于不可逆过程。式(8-25)表明，单位质量流体具有的焓与动能之和保持常数。流体的速度增加时，焓值下降；流体的速度减小时，焓值增加。

第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

当流体的速度u=0时，其焓值称为滞止焓，或称为总焓，用i0表示；与流速u相对应的焓值称为静焓，用i表示。显然i<i0。由式(8-25)可以看出,当流体的总焓i0和静焓i为已知时，就可以计算出与静焓i相对应的流体速度：如气流经管咀流出时，由于管咀很短，气流速度很大，可近似按等熵过程处理。只要根据焓—熵图表查出某流体的总焓i0和静焓i，就可计算出气流的流出速度。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

(二)以温度和流速表述的能量方程若以热力学零度为基准，则在TK温度条件下的完全气体的焓值为i=CPT

(8-16)

将式(8-16)代入式(8-25)，便可得到以温度和流速表述的能量方程

(8-37)

或者(8-37a)

将等压比热CP=kR/(k－1)代入以上两式得第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程(8-38)

或者(8-38a)

式(8-37)和式(8-38)体现了流体的温度和流速间的相互转换关系。流体的流速增加时，其温度降低；流体的速度减小时，其温度升高。

流体的速度u=0时的温度称为滞止温度或总温，用T0表示；流速u>0时的温度称为静温，用T表示。引入总温T0后，式(8-37)可写成

(8-39)第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

式(8-39)表明，当可压缩流体遇到固体障碍物时(如图8-5所示)，其滞止部位的温度T0与流体的温度T间的差值随流体流速的增加而增大。很显然，用普通的温度计或测温仪是不可能准确测出高速气流的真实温度的。

当气流进行等熵运动时，其总温T0和总压p0是不变的，如果测得气流的静压p，就可以计算出气流的静温T，即

当气流的马赫数不大，精度要求又不太高时，可用普通测温仪测量气体的温度，再用下式计算气流的静温。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

式中Tm为测温仪测出的气体温度；T0为气体的总温；T为气流的静温；η为修正系数,一般取η=0.8～0.9。

图8-5气流冲击障碍物第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

(三)以音速和流速表述的能量方程第二节我们已经推导了音速与气流温度之间的关系式，即对于完全气体有

(8-30)

将上式代入式(8-38)可得到以音速和流速表述的能量方程

(8-40)

或者(8-40a)

式(8-40)表明，随着流体流速的增加，其音速减小；随着流体流速的减小，其音速增加。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

流速u=0时的音速称为滞止音速，用a0表示；音速a=0时(相当于流体流入绝对真空，这时气流的压力、密度和热力学温度均降为零)的气流速度称为极限速度，用umax表示，它是理论上的最大速度，实际上是得不到的，因为气体降到热力学零度以前早已液化了，umax是用来作为一个重要的参考速度。将a0和umax代入式(8-40)，得所以极限速度为

(8-41)第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

有了滞止音速和极限速度的概念后，能量方程式(8-40)还可写为另一种形式。将a0和umax代入式(8-40)，得将上式各项分别用a02／(k-1)或umax2/2去除，整理后得到

(8-42)

式(8-42)是能量方程式(8-40)的另一种形式。它是一个椭圆方程，所以通常称它为可压缩流的绝热椭圆，其图形如图8-6所示。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

椭圆与纵轴交于a0，与横轴交于umax。在A点上u=a，马赫数M=1，称为临界状态，习惯上临界状态下的参量注以下标“*”号，如临界速度u*，临界压力p*等。显然u*=a*。A点以左的区域为亚音速区，A

点以右的区域为超音速区。从图中还可看出，在超音速区内，音速下降很快，马赫数M增加也很快。图8-6可压缩流绝热椭圆第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

(四)以压力、密度和流速表述的能量方程利用状态方程p=ρRT，自式(8-38)可以得到

(8-43)

或者

(8-43a)

式(8-43)就是以压力、密度和流速表述的能量方程。

当流体的流速u=0时的压力称为滞止压力，或称总压，用p0表示，对应条件下流体的密度称为滞止密度，用ρ0表示；与流速u相对应的流体压力称为静压，用p表示。可压缩流体的滞止压力和静压力都是指绝对压力。第四节可压缩理想流体一维稳定流动的

基本方程

再次强调指出，以上我们讨论的可压缩理想流体在绝热条件下稳定流动的能量方程的四种形式，对于等熵流动和非等熵的绝热流动都是适用的。有趣的是，在等熵流动的条件下，将等熵过程方程式p/ρk=常数代入欧拉运动方程式(8-34)，经过变换也可得到上述四种形式的能量方程。但是在非等熵流动的条件，运用欧拉运动方程积分是不能得到上述讨论的结果的。这说明，我们以上所介绍的几大基本方程之间并非都是独立的，在某些特定条件下，有些方程(如运动方程和能量方程等)有可能是等价的，使用中应注意选择。一般情况下独立的基本方程只有四个。第五节亚音速流动与超音速流动的差异内容提要一、不同马赫数下，流体密度随流速的变化关系二、不同马赫数下，流体流速随管道截面积的变化关系三、不同马赫数下，流体密度随管道截面积的变化关系四、不同马赫数下，流体静压、静温随管道截面积的变化关系第五节亚音速流动与超音速流动的差异

一、不同马赫数下，流体密度随流速的变化关系由音速公式(8-28)可得

dp=a2dρ(8-47)

在过程可逆的条件下，欧拉运动微分方程(3-29)可写成

dp=-ρudu(8-48)

联立式(8-47)和式(8-48)，得

a2dρ=-ρudu

或者

(8-49)

式(8-49)给出了在不同马赫数M下，流体的密度与速度间的变化特征。第五节亚音速流动与超音速流动的差异

因M数不同，流体的密度依变于速度的变化率有很大差异。式(8-49)等号右侧的负号表示流速的变化方向与密度的变化方向相反，即流速增加时，流体的密度减小；流速减小时，流体的密度增加。

(1)对于亚音速流动，M<1，流体密度的变化率dρ/ρ小于其速度的变化率du/u，即|dρ/ρ|<|du/u|。当M<0.3时，可忽略流动过程中流体密度的变化，按不可压缩流体的流动来处理。

(2)对于超音速流动，M>1，流体密度的变化率dρ/ρ大于其速度的变化率du/u，即|dρ/ρ|>|du/u|。这时流体的体积膨胀起主导作用。要使超音速气流进一步加速，就必须创造条件使流体得到进一步的充分膨胀。第五节亚音速流动与超音速流动的差异

(3)对于临界状态下的音速流动，M=1，流体密度的变化率dρ/ρ等于其速度的变化率du/u，即|dρ/ρ|=|du/u|。二、不同马赫数下，流体流速随管道截面积的变化关系将式(8-49)代入连续性方程式(8-33)，消去dρ/ρ，整理后得到

(8-50)

由这个关系式可以看出：

(1)对于亚音速流动，M<1，(M2-1)<0，式(8-50)等号的两侧具有相反的符号。因此，随着管道截面的增加，流体的速度将降低；随着管道截面的减小，流体的速度将增大。第五节亚音速流动与超音速流动的差异

亚音速流动的这一特性与不可压缩流体的流动规律相似。由式(8-50)还可以看出，对于亚音速流动，其流速的变化率du/u大于管截面的变化率dA/A。

(2)对于超音速流动，M>1，(M2-1)>0，式(8-50)等号两侧具有相同的符号。因此，随着管道截面的增加，流体的速度将增大；随着管道截面的减小，流体的速度将降低。就是说，超音速气流在收缩形管道内流动时，其流速将逐渐降低；而在扩张形管道内流动时,其流速将逐渐增加。超音速流动的这一特性与亚音速流动恰恰相反，其内在原因在于：在马赫数M>1的条件下，流体密度的变化率dρ/ρ将大于其管道截面的变化率dA/A。第五节亚音速流动与超音速流动的差异

(3)对于音速流动，M=1，由式(8-50)可知

dA/A=0

可见，在变截面管道中，音速流动只能发生在dA=0的截面上。dA=0的截面可能是最小截面，也可能是最大截面，现在要说明的是，音速流动只可能发生在最小截面处。因为具有最小截面的管道是具有喉部的管道，若喉部前为亚音速流，则随着管道截面的逐渐收缩，气流将逐渐加速，这样才有可能增加到音速；若喉部前为超音速流，随着管道截面的逐渐收缩，气流将逐渐减速，这样才有可能减小到音速。而在最大截面处之前若为亚音速流，则随管道截面的逐渐增加，气流将逐渐减速，这样不可能达到音速；若在最大截面处之前为超音速第五节亚音速流动与超音速流动的差异

流，则随管道截面的逐渐增加，气流将逐渐加速，这样也不可能达到音速。因此，在变截面管道中，音速流动只可能发生在喉部(最小截面处)。三、不同马赫数下，流体密度随管道截面积的变化关系联立式(8-49)和式(8-50)，消去du/u，整理后得到

(8-51)

上式表述了不同M数下流体密度ρ随管道截面积A的变化关系。

(1)对于亚音速流动，M<1，(1-M2)/M2>0，式(8-51)等号的两侧具有相同的符号，即流体密度的变化与管道截面的变化具有相同的方向。就是说，随着管道截面的增加，流体的第五节亚音速流动与超音速流动的差异

密度将增大，流体的体积受到压缩；随着管道截面的减小，流体的密度将减小，流体的体积得到膨胀。

(2)对于超音速流动，M>1，(1－M2)/M2<0，式(8-51)等号的两侧具有相反的符号，即流体密度的变化方向与管道截面的变化方向相反。这就是说，随着管道截面的增加，流体的密度将减小，流体的体积得到膨胀；随着管道截面的减小，流体的密度将增大，流体的体积受到压缩。由式(8-51)看出，对于超音速流动来说，|(1－M2)/M2|<1，这说明流体密度的变化率dρ/ρ大于管道截面的变化率dA/A。即超音速气流在扩张形管道中流动时，其气流的体积膨胀率将大于管道截面的增长率，最终使气流进一步膨胀加第五节亚音速流动与超音速流动的差异

速；反之，当超音速气流在收缩形管道中流动时，其气流的体积收缩率将大于管道截面的收缩率，最终使气流减速。四、不同马赫数下，流体静压、静温随管道截面积的变化关系将等熵过程方程式和气体状态方程式的微分式(8-36)和式(8-35)分别代入式(8-51)，经整理后得到

(8-52)

式(8-52)表述了不同M数下，流体的静压、静温随管道截面的变化关系。第五节亚音速流动与超音速流动的差异(1)对于亚音速流动，M<1，(1－M2)/kM2>0，(1－M2)/(k－1)M2>0，式(8-52)等号的两侧具有相同的符号，即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相同。因此，随着管道截面的增加，流体的静压力和温度将升高；随着管道截面的减小，流体的静压力和温度将降低。就是说，亚音速流动的流体通过收缩形管道时，其静压力和温度是逐渐降低的，而流速是逐渐增大的。反之，亚音速流动的流体通过扩张形管道时，其静压力和温度逐渐升高，而流速逐渐降低。

(2)对于超音速流动，M>1，(1－M2)/kM2<0，(1－M2)/(k－1)M2<0，式(8-52)等号的两侧具有相反的符号，即流体的静压力和温度的变化方向与管道截面的变化方向相反。因此，第五节亚音速流动与超音速流动的差异

随着管道截面的增加，流体的静压力和温度将降低；随着管道截面的减小，流体的静压力和温度将升高。就是说，超音速流动的流体通过收缩形管道时，其静压力和温度将逐渐升高，而流速则逐渐降低；超音速流动的流体通过扩张形管道时，其静压力和温度将逐渐降低，而流速则逐渐增大。通过上述分析，得出这样的结论：在等熵流动的条件下，要想获得超音速气流，必须具备两个条件，第一，气流的上下游必须具有足够的压力差，即压力能的储备要足够大才有可能转化为较大的动能，以得到超音速气流；第二，必须采用先收缩再扩张形的喷管，使亚音速气流在收缩段内加速至喉部达到音速，再经扩张段进一步膨胀加速而获得超音速。第五节亚音速流动与超音速流动的差异

这种具有喉部的收缩——扩张形喷管又称为拉瓦尔喷管。它是以瑞典工程师拉瓦尔(DeLaval)而命名的。拉瓦尔喷管是获得超音速气流的主要装置，在近代工程技术上得到广泛的应用。为了便于比较，我们将等熵流动条件下，亚音速流动与超音速流动的主要物理差异，即主要流动参量沿程的变化规律列入表8-2中。由表8-2可以看出，具有足够压力能的完全气体，经拉瓦尔喷管等熵流动时，其流速和马赫数是逐渐增大的，而气流的静压力、温度、密度和音速是逐渐减小的。这体现了气流的焓降逐渐地转化为动能。气流的各个参量沿拉瓦尔喷管的变化曲线如图8-7所示。第五节亚音速流动与超音速流动的差异表8-2一维等熵气流各参量沿程的变化趋势

管段类型M<1M>1渐缩管流速u↑音速a↓静压p↓马赫数M↑静温T↓焓值i↓密度ρ↓流速u↓音速a↑静压p↑马赫数M↓静温T↑焓值i↑密度ρ↑扩张管流速u↓音速a↑静压p↑马赫数M↓静温T↑焓值i↑密度ρ↑流速u↑音速a↓静压p↓马赫数M↑静温T↓焓值i↓密度ρ↓第五节亚音速流动与超音速流动的差异

图8-7气流参量沿拉瓦尔喷管的变化

第六节完全气体的一维等熵流动内容提要一、流动参量与滞止参量间的关系二、临界参量与滞止参量间的关系三、流管有效截面与临界截面间的关系四、无因次速度Λ五、完全气体一维流动的流速及流量的计算

(一)流速的计算

(二)流量的计算

(三)低马赫数下流速的测量第六节完全气体的一维等熵流动

一、流动参量与滞止参量间的关系

滞止参量定义为气流速度为零条件下的参量。气体进行等熵流动时，其滞止参量是不变的。只要测出运动气体在某一截面上的流动参量，便可根据等熵流基本方程求得滞止参量。

(1)静温T与滞止温度T0间的关系对于完全气体的绝热流而言，不管流动是否等熵，其滞止温度T0是不随过程而变化的。根据能量方程并注意到CP=kR/(k－1)，，则可得到第六节完全气体的一维等熵流动

所以

(8-53)

上式表明，只要测得等熵流任一截面上的马赫数M及其相应的静温T，就可计算出气流的滞止温度T0。等熵流任意两截面上静温间的关系可表示为

(8-54)

需要说明的是，式(8-53)和式(8-54)既适用于等熵过程，也适用于非等熵的绝热过程。第六节完全气体的一维等熵流动

(2)静压p与滞止压力p0间的关系根据等熵过程压力p、密度ρ和温度T间的关系式

(8-20)

得将式(8-53)代入上式得

(8-55)

等熵流任意两截面上静压间的关系为第六节完全气体的一维等熵流动(8-56)

式(8-55)和式(8-56)在推导过程中，都应用了等熵过程的条件(8-20)，因此它们只适用于等熵过程。

(3)密度ρ与滞止密度ρ0间的关系已知等熵过程密度和温度间的关系为

将式(8-53)代入上式得第六节完全气体的一维等熵流动(8-57)

等熵流任意两截面上流体密度间的关系为

(8-58)

式(8-57)和式(8-58)只适用于等熵过程。

(4)音速a与滞止音速a0间的关系因为音速，滞止音速，所以

(8-59)第六节完全气体的一维等熵流动

对于完全气体一维稳定流动，任意两流动截面上音速的关系为

(8-60)

通过以上分析可以发现，完全气体在等熵流动过程中，其压力p、温度T和密度ρ三者都随马赫数M的变化而变化，但压力p随马赫数M的变化最快，而温度T随马赫数M的变化最慢。第六节完全气体的一维等熵流动

二、临界参量与滞止参量间的关系

临界参量定义为马赫数M=1条件下的气流参量。临界条件下的气流速度u*等于临界音速a*，即u*=a*。根据能量方程(8-40)可得所以

(8-61)

式(8-61)表明，完全气体的临界速度u*(或临界音速a*)除与气体的种类有关外，仅取决于气体的滞止温度T0，而与气体的滞止压力无关。

第六节完全气体的一维等熵流动

临界参量与滞止参量间的关系可由式(8-53)、(8-55)、(8-57)和式(8-59)直接导出，只要令M=1，即可得到上式表明，临界参量与滞止参量间的比值关系只与气体的绝热指数k有关，k值给定后，临界参量与滞止参量之比为一定值。第六节完全气体的一维等熵流动

单原子、双原子和多原子气体的临界参量比列于表8-3中。完全气体经拉瓦尔喷管等熵流动时，获得超音速流的压力条件为式中pe为喷管出口处的静压，一般情况下它应与喷管外介质的压力pb相平衡，即pe=pb。

第六节完全气体的一维等熵流动

三、流管(喷管)有效截面与临界截面间的关系获得超音速流必须采用先收缩后扩张形的拉瓦尔喷管。拉瓦尔喷管的截面变化与马赫数M互为联系。借助一维稳定流动的连续性方程

ρuA=ρ*u*A*=常数可以导出流管(喷管)有效截面的变化与马赫数M之间的依变关系，即

(a)

注意到第六节完全气体的一维等熵流动

代入式(a)，得

(8-66)

图8-8截面比与马赫数的关系曲线第六节完全气体的一维等熵流动

对于流管任意两截面的面积之比与相应M数之间的关系为

(8-67)

一般在工程计算中，首先给出的条件常常是压力比p/p0，利用连续性方程也很容易导出有效截面比与压力比的关系。根据一维稳定流动的连续性方程，得已知第六节完全气体的一维等熵流动

由能量方程可得到

(8-78)

将以上四式代入式(b)，整理后得到

(8-68)

式(8-68)为有效截面比与压力比的关系式。由该式可以看出，当压力比p/p0给定时，其有效截面比A/A*也就确定了。第六节完全气体的一维等熵流动

四、无因次速度Λ

在以上我们所导出的一些公式中，都是以马赫数M作为无因次自变量，这虽然大大地简化了问题，但也有它的不足之处，即：(1)随着管道截面的变化，截面上的气流速度u与当地条件下的音速a都发生变化，因而M数的变化是由u和a二者的变化共同决定的，这就使得M数的计算比较复杂；(2)当管道中气流的速度非常高时，因气流温度的降低而使音速减小，故M数非常大，以致趋于无穷。为了避免上述缺点，引用无因次速度Λ会更加方便。Λ的定义为

(8-69)第六节完全气体的一维等熵流动

式中u是任意截面上的气流速度；a*为临界状态下的音速，它只是滞止温度T0的函数，而与流速无关。对于一确定的变截面管道内完全气体的绝热流动来说，a*是不变的。无因次速度Λ与马赫数M间的关系可按下式导出

(8-70)

或

(8-71)

图8-9绘出了式(8-70)所表示的曲线。由图中的曲线可以看出，Λ与M之间具有一一对应的关系，即第六节完全气体的一维等熵流动

M=0时，Λ=0；M<1时，Λ<1，且Λ>M；

M=1时，Λ=1；M>1时，Λ>1，且Λ<M；

M=∞时，Λ=

。图8-9无因次速度Λ与马赫数M的关系曲线(k=1.4)第六节完全气体的一维等熵流动

引入无因次速度Λ后，我们可将各流动参量与滞止参量间的比值关系表示成以Λ为自变量的无因次函数式。将式(8-71)分别代入式(8-53)、(8-55)、(8-57)、(8-59)和(8-66)，即可得到第六节完全气体的一维等熵流动

五、完全气体一维流动的流速及流量的计算

(一)流速的计算由能量方程(8-25)得

则完全气体一维绝热流动的流速为

(8-77)

对于等熵过程有，并注意到状态方程p/ρ=RT，代入式(8-77)，得第六节完全气体的一维等熵流动

(8-78)

或(8-78a)

注意到，所以，以上三式也可写成无因次方程的形式，即

(8-79)

由式(8-78)或(8-78a)可以看出,可压缩流体的流动速度取决于上下游流体的压力比p/p0，而不可压缩流体的流动速度则取决于上下游流体的压力差p0-p=Δp，计算时要引起注意。第六节完全气体的一维等熵流动

如果已知的条件不是滞止条件，而是流体具有一定速度的流动条件，这时流体的流速公式同样可由能量方程推得，结果为

(8-80)

或

(8-80a)

式中p1、T1、ρ1和u1为1截面上的流动参量；p2、T2、ρ2和u2为2截面上的流动参量。第六节完全气体的一维等熵流动

(二)流量的计算根据连续性方程G=ρuA(注：为了与马赫数的符号M区别起见，自本章起流体的质量流量用符号G表示)，并注意到便可得到完全气体一维等熵流动的质量流量计算公式

(8-81)第六节完全气体的一维等熵流动

式(8-81)表明，一维等熵流动的流体的质量流量G是压力比p/p0的函数，即当气流的滞止参量和管道截面积A给定后，质量流量G只与该截面上的压力比p/p0有关。质量流量G与流动马赫数M之间的函数关系，也可通过连续性方程导出。已知

(8-82)

代入一维连续性方程，整理后得到

(8-83)第六节完全气体的一维等熵流动

或

(8-83a)

式(8-83)和式(8-83a)就是一维等熵流的质量流量G依变于马赫数M的函数关系式。当气流的滞止参量和管道截面积给定后，流体的质量流量只随该截面上的马赫数而变化。如果令(8-84)(8-85)

则式(8-83a)可以写成以下形式

(8-86)第六节完全气体的一维等熵流动

对于给定的气体，m=常数。常用气体的常数m值列于表8-4中。比较式(8-85)和式(8-66)，可以发现

(8-87)

q(M)值由等熵流函数表可以查得。如果用无因次速度Λ代替马赫数M，由式(8-83a)可得质量流量的又一种表达形式(8-88)

其中

(8-89)

以上所导出的流量计算公式，对于任意截面上的亚音速流动或超音速流动都适用。第六节完全气体的一维等熵流动

在流体的滞止参量给定不变的情况下，随管道上下游压力比pb/p0的降低，管中气流速度和质量流量将不断增大，当流动达到临界状态时，流体的质量流量将达到最大值。它不再随管道上下游压力比pb/p0的降低而改变，这种现象称为壅塞现象。现可简单证明如下：根据式(8-83)或式(8-83a)，令dG/dM=0，可得由此解出M=1，即在流速等于音速的临界状态下，流体的质量流量最大。在式(8-83)中只要令M=1，并注意到A=A*，即可得到最大的质量流量为第六节完全气体的一维等熵流动(8-92)

或

(8-92a)

式(8-92)为超临界状态下流体的质量流量计算公式。该公式也可由连续性方程G=ρ*u*A*直接得到。

(三)低马赫数下流速的测量对于流速较高、压力变化较大的可压缩流体，如果要用测得的流体的全压p0和静压p，并根据伯努利方程按不可压缩流体来计算其流速时，将会带来较大的误差。因此，当用毕托管等测量可压缩流体的总压和静压后，要根据伯努利方程来近似计算低马赫数流动流体的流速时，就必须进行必要的修正。第六节完全气体的一维等熵流动

显然，对于不可压缩流体，有

(8-93)

而对于可压缩流体

用二项式定理展开上式，得则(8-94)第六节完全气体的一维等熵流动

又因为(8-95)

则式(8-94)可写成

(8-96)

由式(8-96)可写出可压缩流体低马赫数流动的速度公式

(8-97)

由式(8-95)可以看出，马赫数M越大，其修正系数ε之值越高。因此，若按不可压缩流体的速度公式(8-93)来计算可压缩流体的流速时，将会产生很大的误差。第六节完全气体的一维等熵流动

当k=1.4时，

(8-98)

图8-10绘出了(8-98)的计算结果。同时为了计算方便起见，将式(8-98)所表示的ε与M数的关系列于表8-5中。

图8-10修正系数ε随马赫数M的变化曲线(k=1.4)第七节可压缩流体经收缩形喷管

的流动特征内容提要

喷管各截面上流动参量的变化规律

壅塞现象第七节可压缩流体经收缩形喷管的流动特征

图8-11a所示的为收缩形喷管，它连通着两个具有不同压力的空间，喷管进口前的压力为p0(滞止压力)，喷管出口后的压力为pb，通常称作背压。我们以pe表示喷管出口截面上的压力。若已知喷管截面的变化规律及流体的滞止状态参量p0，T0,ρ0和背压pb，则由上节所讨论的公式不难确定整个喷管各截面上的各种流动参量。图8-11b、c中的曲线，表示在不同的背压条件下管内压力分布曲线和流体流动速度(M数)的分布曲线。若pb/p0=1，则喷管中的压力为常数，如图中曲线“Ⅰ”所示，此时管内并无流体流动，各截面上的马赫数都为零。若背压pb稍有下降，则喷管内将有流体流过，喷管各截面上第七节可压缩流体经收缩形喷管的流动特征

图8-11收缩形喷管工作特性

第七节可压缩流体经收缩形喷管的流动特征

的压力和马赫数都随之发生变化。利用式(8-55)，由p0/pb可求出喷管出口马赫数Mb，即

(8-99)

利用式(8-83)，由Mb可求出质量流量G，即

(8-100)

质量流量G对于pb/p0的变化曲线如图8-11d所示。喷管中各截面上的马赫数M可由式(8-67)得到

(8-101)第七节可压缩流体经收缩形喷管的流动特征

喷管中M对A/Ab的分布曲线如图8-11c所示。喷管中各截面上的压力p的分布可由式(8-55)与式(8-101)中的M解得。p/p0对于A/Ab的分布曲线如图8-11b所示。显然，背压pb越低，管中同一截面上的压力越低，马赫数越大，且喷管中通过的流量越大。在出口流速达到音速之前，上述曲线只有数值上的差别而无本质区别。而且出口的压力pe与背压pb相等。如图8-11b、c中的“Ⅱ”及“Ⅲ”线所示。但是，当背压pb下降到一定的程度时，出口流速达到音速，此时喷管流量达到最大值。我们已知，音速流动只能发生在喷管的最小截面处，故此时喷管出口处为临界状态：ue=u*=a*,pb/p0=pe/p0=p*/p0=。若背压pb/p0继续下降，第七节可压缩流体经收缩形喷管的流动特征

则出口压力pe/p0=p*/p0不会改变，但pb/p0<pe/p0。而管中的压力分布及马赫数分布仍如图8-11b、c中的“Ⅳ”线所示，流体的质量流量G保持为常数。这种现象则为前面所说的壅塞现象，即通过喷管的质量流量是有限制的，这正是可压缩流体在收缩形喷管中流动的重要特性之一。第八节喷管的计算内容提要一、拉瓦尔喷管的计算(一)一般计算法(二)焓—熵图计算法(三)气体等熵流函数表计算法二、收缩形喷管的计算第八节喷管的计算

喷管的计算分两种情况：设计计算和校核计算。

设计计算：是在已知气体的原始参量和气体流出后的参量的情况下，根据要求的流量，计算喷