正弦定理的教学设计研究

“正弦定理（第1课时）”教学设计贵州师范大学胡荣教学背景（一）教学内容分析本节内容安排在人教版A版必修五第一章中的第一节，是在高一学生学习了三角形等知识之后，进而深入对三角形角边量化关系的学习；它是初中解直角三角形的直接延伸，同时作为普遍运用于三角形中的一个定理，因而正弦定理具有十分广泛的应用。实际教学中，“正弦定理”这部分内容共分为四个层次，教师引导学生对实际问题进行探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，引导学生运用“做高法”将一般三角形转化为特殊三角形解决，并启发学生从“等积法”、“向量法”等多种方法考虑证明；第三层次带领学生对已证明得到的正弦定理进行深入本质的分析，正弦定理的三项联立式可拆分为三个等式的形式，通过迁移已学的方程思想从而得到解三角形需已知的条件；第四层次利用正弦定理解决引例，最后处理简单的解三角形问题。学生在探索正弦定理过程中，通过发现、猜想、证明、应用这一数学思维方法，培养了学生大胆猜想、严谨证明、善于思考的求真精神。（二）学情分析高一学生已学过解直角三角形、平面几何、向量等知识，具有一定的观察分析、解决问题的能力，但对于他们来说前后知识的联系、理解、应用有一定难度，因此教师应恰当引导激发学生前后知识的联系和思维灵活运行，带领学生参与发现问题、解决问题的过程。（三）设计思想本节课堂采用讲授—探究式课堂教学模式，即在课堂过程中，教师启发诱导学生思考发现、带领学生体验严谨的证明过程。以问题为导入设计教学情境，以学生独立思考探索发现正弦定理，以正弦定理的发现和教师对证明的引导为学生提供充分思考、质疑、探究的机会。逐步培养学生发现问题、探究问题、解决问题的能力。（四）教学目标（1）知识技能目标：发现及证明正定理；运用正弦定理处理简单的解三角形问题。（2）过程与方法：以生活中的问题作为情境引入，以此引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。通过参与正弦定理的探究过程，尝试应用“观察—猜想—证明—应用”等思想处理问题。（3）情感、态度与价值观目标：通过探索和处理实际问题，让学生体验数学学习的意义及重要性，同时增强数学学习兴趣和主动性。通过对正弦定理的严谨的推理证明，培养学生合情合理探索数学规律的严谨的数学态度。（五）教学重点与难点教学重点：正弦定理证明；正弦定理的简单运用。教学难点：正弦定理的猜想、发现提出过程。教学过程（一）情境引入激发兴趣教师展示情境图：如图1，学校为了提供学子们参观浏览校园风光的机会，准备在学校后山修建缆车，须从甲山到乙山搭建揽绳，如果你是设计师，只有测角仪和皮尺等测量工具，你能计算出揽绳长度吗？师：若已知测得,,并用皮尺测出AC的长度为600m，要计算A、B两点的距离，你有办法解决吗？预想学生情况：想不出方法，摇头困惑。师引题：回忆我们之前与三角形有关的知识，我们知道三角形内角和是，还有，三角形内部大角对大边，小角对小边；我们仅仅知道边与角的大小关系，如果我们能找出边与角的量的关系表达，我们便能将该问题解决，那现在我们还须更进一步学习三角形，一起探索边与角的量化关系表达。（写标题“正弦定理”）（二）特殊探索大胆猜想师：回忆一下我们学过特殊三角形中边与角有哪些关系？生：直角三角形内部边与角有正弦、余弦关系。AcbaCB师：我们一下子得到一般三角形内部的边角关系是不容易的，那我们就从我们已学的特殊三角形探索起。那我们一起来看这样的直角三角形。为了方便研究，给三个角标上A、B、C;对应边标为a,b,c。AcbaCB图1师：该直角三角形内部正弦关系有哪些？师：观察（1）（2）两个试着发现有什么相同之处？常试将这两个式子联系起来。生：分母都是b;则能化成师：观察我们得到的这一联立式子，分母为角A，分子对应的为角A的对应边a，分母为角B，分子对应的为角C的对应边c；我们这堂课主要探索三角形内部的边角关系，唯一我们没有考虑角B，我们大胆猜想一下将改为什么样的形式，使得式子包含三个角、三条边。生：我们可以写成;在直角三角形中，则，从而我们的猜想正确。师：很棒！那么任意三角形ABC中是否有呢？设计意图：通过对特殊三角形内部的正弦关系猜想正弦定理表达式。（三）证明猜想得出定理教师引导：我们知道直角三形内部边与角的正弦关系，接下来我们一起探索一般三角形内部边与角的正弦关系，显然我们不知道，那我们怎样联系我已学的知识呢？思考我们构造辅助线。下面我们一起证明在锐角三角形、钝角三角形中是否都成立？若都成立，从而我们得到在三角形内部非常普遍的规律。来我们看图2。cbaDBACacbABCcbaDBACacbABC图2图3生：我们可以通过做高，将锐角分成两个直角三角形，从而可以运用直角三角形内部的正弦关系得到锐角三角形的正弦关系，即可证明;师板书：在锐角三角形中，如图三，做,垂足为D在中，;在中，;由此得：因为：所以：同理，在做高BE垂直AC,可以得到从而证得在锐角三角形中也成立。师：对于钝角三角形，同样的我们可以运用做高法去证得，请同学们下来证明，并作为家庭作业。今天我们主要是应用做高法将特殊情况推广到一般情况，请同学们联系以往向量、面积等知识来证明正弦定理成立。通过探索、证明，我们得到一个在三角形内部普遍应用的规律正弦定理。即（角A、B、C的对应边为a、b、c）设计意图：通过分类、证明正弦定理，培养学生处理问题的思维方式由特殊到一般，有简单到复杂，有已知到未知的去探索发现。（四）理解正弦定理的表达含义了解解三角形概念师：同学们观察正弦定理的表达式：，这是一个三项联立的等式，我们可以将其拆分为几个等式？生：我们可以拆为:三个等式。师：从方程的角度思考，要求得一条边和一个角我们至少需要知道哪些量？生：求一个角，须知道其对边和另一个角及其对边；求一条边，需要知道其对角和另一条边及其对角。师：运用正弦定理，我们可以通过一些角和一些边来求解另一些角和边的过程叫做解三角形。设计意图：通过分析正弦定理表达式，让学生明白正弦定理的应用方式以及解三角形的概念。（五）回顾情境现学现用师：在课堂开始留得问题是你能测出揽绳长吗？经过我们的探索，求证，这一问题能解决吗？请一位同学上台展示。生展示：已知,,AC=b=600m,由正弦定理得：则例1在三角形ABC中，已知，解三角形例2在三角形ABC中，已知，解三角形设计意图：通过不同类型的例子，培养学生灵活运用的能力。（六）尝试小结教师提示引导学生总结本节课的主要内容。培养学生思考交流，归纳总结的能力。让学生尝试总结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想；（2）正弦