7.3 离散型随机变量的数字特征 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容为离散型随机变量的数字特征，具体包括期望、方差和标准差等概念及其计算方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系紧密，与高一上学期的概率统计知识相关联。通过本节课的学习，学生可以加深对概率统计中随机变量概念的理解，为后续学习更复杂的统计模型打下基础。教材内容涉及人教A版《数学选择性必修第三册》中的相关章节。二、核心素养目标培养学生数据分析能力，通过计算离散型随机变量的数字特征，提高学生运用概率统计知识解决实际问题的能力。增强数学抽象思维，使学生能够理解和应用随机变量及其分布的概念。提升逻辑推理能力，通过推导期望和方差的公式，发展学生的数学推理技能。三、重点难点及解决办法重点：

1.理解离散型随机变量的期望、方差和标准差的概念。

2.掌握期望、方差和标准差的计算公式。

难点：

1.期望、方差和标准差公式的推导与应用。

2.复杂随机变量分布的期望和方差的计算。

解决办法：

1.通过实例讲解和练习，帮助学生理解概念，加深记忆。

2.结合具体案例，引导学生推导公式，并讲解公式的适用条件。

3.设计多样化的练习题，包括基础题和应用题，帮助学生巩固计算技巧。

4.采用小组讨论和合作学习，鼓励学生互相解答问题，共同突破难点。四、教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，首先通过讲解离散型随机变量的基本概念，然后引导学生参与讨论，加深对概念的理解。

2.设计“随机事件模拟”实验，让学生通过实际操作，体验期望、方差和标准差的计算过程。

3.利用多媒体教学，展示随机变量分布的图表，帮助学生直观理解分布特征。

4.组织“案例分析”活动，让学生分析实际问题，应用所学知识解决具体问题，提高应用能力。五、教学过程设计**导入环节（用时5分钟）**

1.**创设情境**：展示一组生活中的随机事件，如掷骰子、抽签等，提问学生如何描述这些事件的结果。

2.**提出问题**：引导学生思考如何量化这些随机事件的结果，引出随机变量的概念。

3.**师生互动**：询问学生是否了解离散型随机变量，简要回顾相关概念。

4.**用时**：5分钟

**讲授新课（用时20分钟）**

1.**介绍离散型随机变量**：讲解离散型随机变量的定义，举例说明。

2.**期望**：介绍期望的概念，通过实例解释其意义，讲解期望的计算方法。

3.**方差和标准差**：讲解方差和标准差的概念，解释它们与期望的关系，展示计算公式。

4.**公式推导**：通过具体案例，引导学生推导期望和方差的公式。

5.**师生互动**：在讲解过程中，适时提问，检查学生对概念的理解。

6.**用时**：20分钟

**巩固练习（用时15分钟）**

1.**基础练习**：分发练习题，包括计算期望、方差和标准差的题目，要求学生在规定时间内完成。

2.**小组讨论**：将学生分成小组，讨论练习中的问题，鼓励互相解答。

3.**展示答案**：每组派代表展示解题过程，全班共同核对答案。

4.**用时**：15分钟

**课堂提问（用时5分钟）**

1.**回顾重点**：提问学生关于期望、方差和标准差的关键概念，确保学生掌握。

2.**实际应用**：提出一个实际问题，要求学生运用所学知识解决。

3.**师生互动**：鼓励学生提出问题，教师给予解答或引导他们找到答案。

4.**用时**：5分钟

**总结与拓展（用时5分钟）**

1.**总结本节课的主要内容**：回顾离散型随机变量的数字特征，强调其重要性。

2.**布置作业**：布置相关的练习题，巩固所学知识。

3.**拓展思考**：提出与随机变量相关的生活或科学问题，引导学生思考。

4.**用时**：5分钟

**总用时**：45分钟

注意：以上教学过程设计为示例，实际教学过程中可能需要根据学生的反应和课堂情况做出适当调整。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.**概念理解**：学生能够准确理解离散型随机变量、期望、方差和标准差等基本概念，并能区分它们之间的区别和联系。

2.**计算能力**：通过课堂练习和作业，学生能够熟练运用公式计算期望、方差和标准差，提高了解决实际问题的计算能力。

3.**问题解决**：学生能够将所学知识应用于解决实际问题，如分析生活中的随机事件，预测可能的结果，并评估其不确定性。

4.**逻辑推理**：学生在推导期望和方差的公式过程中，培养了逻辑推理能力，学会了如何从具体实例抽象出一般规律。

5.**数据分析**：学生通过学习离散型随机变量的数字特征，提高了数据分析的能力，能够从数据中提取信息，做出合理的推断。

6.**数学建模**：学生学会了如何构建离散型随机变量的数学模型，为后续学习更复杂的统计模型打下基础。

7.**合作学习**：在小组讨论和合作学习中，学生学会了与他人交流想法，共同解决问题，提高了团队合作能力。

8.**自主学习**：学生通过课堂学习和课后练习，培养了自主学习的能力，能够独立查阅资料，解决学习中的问题。

9.**批判性思维**：学生在面对不同观点和问题时，能够进行批判性思考，不盲目接受信息，而是通过分析得出结论。

10.**情感态度**：学生对数学学科的兴趣和自信心得到提升，能够以积极的态度面对数学学习中的挑战。七、重点题型整理1.**计算期望**：

题型示例：掷一枚公平的六面骰子，定义随机变量X为掷得点数，求X的期望E(X)。

解答过程：X可以取1到6的任意值，其概率均为1/6。计算E(X)如下：

E(X)=(1/6)×1+(1/6)×2+(1/6)×3+(1/6)×4+(1/6)×5+(1/6)×6

=21/6

=3.5

2.**计算方差**：

题型示例：袋中有5个红球和5个蓝球，随机取出一个球，定义随机变量X为取出红球的概率，求X的方差Var(X)。

解答过程：X的可能值为0和1，取出红球的概率为5/10，即1/2。计算Var(X)如下：

Var(X)=(1/2)×(0-1)²+(1/2)×(1-1)²

=(1/2)×1+(1/2)×0

=1/2

3.**计算标准差**：

题型示例：某商店的日销售额Y服从均值为10000元，标准差为500元的正态分布，求Y落在9500元到10500元之间的概率。

解答过程：首先标准化Y，得到Z值：

Z=(Y-μ)/σ

对于Y=9500，Z=(9500-10000)/500=-1

对于Y=10500，Z=(10500-10000)/500=1

使用标准正态分布表查找Z=-1和Z=1对应的概率，计算P(-1≤Z≤1)。

4.**期望的线性性质**：

题型示例：有两人分别独立地掷两次公平的六面骰子，定义随机变量X为他们掷得点数之和，求X的期望E(X)。

解答过程：掷一次骰子的期望为3.5（如题型1所示），因此两次掷骰子的期望之和为7。由于两次掷骰子是独立的，E(X)=7。

5.**方差的线性性质**：

题型示例：已知两个随机变量X和Y，X的均值为5，方差为4，Y的均值为3，方差为9，且X和Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的方差Var(Z)。

解答过程：由于X和Y相互独立，Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=4+9=13。八、内容逻辑关系①离散型随机变量

-定义：随机变量只能取有限个或可数个不同的值。

-常见分布：二项分布、几何分布、泊松分布等。

②随机变量的数字特征

-期望（E）：随机变量的平均值，表示随机变量取值的集中趋势。

-方差（Var）：随机变量取值与其期望的偏差平方的平均值，表示随机变量的波动大小。

-标准差（σ）：方差的平方根，表示随机变量取值的离散程度。

③期望的性质

-线性性质：若X和Y是随机变量，则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)，其中a和b是常数。

-独立性：若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。

④方差的性质

-线性性质：若X和Y是随机变量，则Var(aX+bY)=a²Var(X)+b²Var(Y)，其中a和b是常数。

-独立性：若X和Y相互独立，则Var(XY)=Var(X)Var(Y)。

⑤标准差的性质

-与方差的对应关系：σ=√Var(X)。

-独立性：与方差性质相同，独立随机变量的标准差乘积等于各自标准差的乘积。

⑥计算方法

-期望：通过列出所有可能取值及其概率，计算加权平均值。

-方差和标准差：先计算期望，然后使用公式计算方差和标准差。教学评价与反馈1.**课堂表现**：

-学生在课堂上的参与度：观察学生在课堂上的提问、回答问题和参与讨论的积极性，评估他们对新知识的兴趣和接受程度。

-学生对概念的理解：通过提问和回答问题，检查学生对离散型随机变量、期望、方差和标准差等概念的理解程度。

-学生计算能力：通过课堂练习，评估学生运用公式计算期望、方差和标准差的能力。

2.**小组讨论成果展示**：

-学生在小组讨论中的表现：观察学生在小组讨论中的合作精神、沟通能力和解决问题的能力。

-小组讨论的成果：评估小组讨论后得出的结论是否正确，是否能够将所学知识应用于解决实际问题。

-学生展示成果的质量：评估学生的展示技巧、表达能力和逻辑性。

3.**随堂测试**：

-学生对知识点的掌握：通过随堂测试，评估学生对离散型随机变量数字特征的理解和计算能力。

-测试题目的设计：测试题目应涵盖重点知识点，包括概念理解、计算方法和实际应用。

-测试结果的反馈：根据测试结果，给予学生及时的反馈，指出他们的错误和不足，并提供改进建议。

4.**课后作业**：

-学生完成作业的情况：检查学生是否按时完成作业，作业的质量如何。

-作业中的问题类型：分析作业中出现的错误类型，是否集中在某个知识点或计算方法上。

-作业反馈：对学生的作业进行批改，给出详细的评语，帮助学生发现和纠正错误。

5.**教师评价与