《课题学习：最短路径问题（第一课时）》课件

第1课时13.4课题学习最短路径问题八年级上册初中数学如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？依据“两点之间，线段最短”可知，路线（3）是最近的.知识回顾如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最短的？依据“垂线段最短”可知（2）是最短的.l(1)(2)(3)A如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？ABlC依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”知，

AC=BC.1.利用轴对称,平移等变化解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想.学习目标相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.lBA课堂导入这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A，B

两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.BlA知识点1两点一线型你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？新知探究如图：点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？BlA作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短．如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.如图，点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？BlAC你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？BlA如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？B′容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.ABlC你能证明这个结论吗证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.CB′ABlC′如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.ABaB′P跟踪训练新知探究知识点

两线一点型如图,牧马人从A地出发,先到草地边某处牧马,再到河边饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？A新知探究这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象为两条直线.l1l2A你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.l1l2Al1l2A作法：过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.A1NA2M如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.l1l2AA1NA2M解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△AMN周长的最小值为AM+MN+AN=A1A2.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后去B地开会，最后回到A地，应该怎样走才能使路程最短？B知识点3两线两点型A新知探究这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象为两条直线.l2l1BA你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.l2l1BA作法：分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.B1MA1N如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形AMNB的周长的最小值为AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依据的是两点之间，线段最短.l2l1BAB1MA1N1.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.∙CABO随堂练习解：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；（2）作点C关于OB的对称点C2；（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.所以小明先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.∙CABOC1EC2D2.如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？∙Al1l2B∙解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；（2）作点B关于直线l2的对称点B′；（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.∙Al1l2B∙B′A′CD1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.随堂练习解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.分析：点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.ACDBE解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求.ACDD′BE2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.ACBADBEPCBP+EP的最小值CP+EP的最小值CE的长最短路径问题两线一点型点在直线同侧两线两点型两点一线型点在直线异侧BlACB′ABlCl1l2AA1NA2Ml2l1BAB1MA1N课堂小结如图,牧童在A处放牛,家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD中点距离为600,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短距离为多少？ACDB分析：本题可以转化为“点A，B均在河岸CD的同侧，请在河岸CD上找一点E，使得AE+BE的值最小”.拓展提升ACDBEA′.解：延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E.∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.

∠A′CE=∠BDE，在△A′CE和△BDE中,

∠A′EC=∠BED，

A′C=BD，∴△A′CE≌△BDE（AAS），∴CE=DE，A′E=BE.∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.学前温故新课早知1.两点的所有连线中,

最短.

2.连接直线外一点与直线上各点的所有连线中,

最短.

线段

垂线段

学前温故新课早知1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为

问题.

2.在解决最短路径问题时,我们通常利用

、

等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.

最短路径

轴对称

平移

利用轴对称求最短路径【例题】

如图,在△ABC中,BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D,EF垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P使PB+PD最小,则这个最小值为(

).A.3 B.4

C.5 D.6分析:根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出结论.解析:

∵BC=5,S