微积分 （经济管理）第3版 课件 第十一章 无穷级数 （上）

1、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散一、主要内容1性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上或减去有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质2级数发散.3习题11-14.根据级数收敛与发散的定义，判别解:故原级数收敛,其和为下列级数的敛散性：4解定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法56(2)比较审敛法的极限形式78等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)时,等比级数收敛,时,等比级数发散

.其和为调和级数发散

.p-级数:9（1）.判别级数的敛散性.而级数发散，所以级数发散.1.利用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性：习题

11-210(2).解:根据比较审敛法知原级数收敛.收敛，(7).解:根据比较审敛法知原级数收敛.收敛，11推论：设为正项级数,⑴如果⑵如果则：其中则：自测题A1.判别下列级数的敛散性.(3).解:所以原级数发散.(6).解:所以原级数发散.12(7).解:所以原级数收敛.自测题B方法类似.1314解:

故原级数收敛.收敛，解:

故原级数收敛.收敛，习题

11-215(3).

解:

所以根据比较审敛法知收敛，不是p–级数故原级数发散.发散，解:

16(4).判别级数的敛散性.所以原级数收敛;所以原级数发散.自测题A

1.判别下列级数的敛散性.(2).解:所以原级数发散.(4).解:所以原级数发散.17(16).解:所以原级数发散.(9).解:所以原级数收敛.18(4)根值审敛法(Cauchy判别法)设则为正项级数,

且1920习题11-2.2.利用比值判别法判断下列级数的敛散性.解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数发散.由正项级数的比值判别法可知原级数收敛.21解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛.22解：由正项级数的比值判别法可知原级数发散.23解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛.由正项级数的比值判别法可知原级数发散.24自测题B25解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛.26自测题A方法类似.解：定义

正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法27定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级数及其审敛法2829习题11.2.3.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。证:

(2)而收敛,收敛因此绝对收敛.30(4)

令因此收敛,绝对收敛.发散.31判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。收敛，,且发散，例1.解:根据级数收敛的必要条件，原级数发散．32例2.解：根据比较判别法，原级数收敛。33例3.解即原级数非绝对收敛．由莱布尼茨定理：34所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．3536例4.

设则数列有界是数列收敛的（

）；充分必要条件；充分非必要条件；必要非充分条件；非充分也非必要条件。，所以数列单调递增，若有界，则存在，即数列有界是数列收敛的充分条件，反之收敛，则不一定有界，例如取则收敛且无上界，故选择解:因为A、B、C、D、37例5.

设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛?说明理由。解:由于正项数列单调减少有下界,故存在若a=0,则由莱布尼兹法则知收敛,与题设矛盾,故a

>0.因由根值判敛法知所问级数收敛。38例6.

已知级数绝对收敛，条件收敛，则的取值范围为（

）；解:考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论，绝对收敛可知,条件收敛可知，故选择A、B、C、D、39例7.设为正项数列，下列选项正确的是（）、若，则收敛；、若收敛，则、若收敛，则存在常数使得存在；、若存在常数使得存在，则解:因为收敛.由比较判别法知收敛。收敛;存在，40例8.

若级数收敛，则级数（）收敛；收敛；收敛；收敛。解:利用排除法，取故选D.排除A,B,C，解：41因单调递减,且但对即条件收敛

.由Leibniz审敛法知级数收敛

;且发散,发散，即原级数条件收敛

.