（人教A版）选择性必修一数学高二上学期期中考试解答题压轴题专练（原卷版）

高二上学期期中考试解答题压轴题专练1．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.(1)AG+(2)122．已知a⊥b，c与a、b的夹角都是60∘，并且a=1，(1)3a(2)a+23．已知M1,−1，N2,2，(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．4．给定空间三点A0,2,3，B−2,1,6，(1)求以向量AB、AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量AB、AC都垂直，且a=3，求向量5．已知坐标平面内三点A−2,−4(1)求直线AB的斜率和倾斜角；(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；(3)若Em,n是线段AC上一动点，求n6．已知向量a=(1)若（a+kb(2)若向量a+kb与2a7．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD8．过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点．

(1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程；(2)当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程.9．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.10．如图（1），在△ABC中，∠ACB=60∘，CD为∠ACB的平分线，AC=4，BC=2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE=120

11．已知四棱锥T−ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，TA，TC分别交于点P，Q，R且APAD=TQTA=CRCT=x，点M在直线TB上，（1）设TA=a，TB=b，TC=（2）证明，四面体T−ABC中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为5212．在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，

(1)当k=34时，试用AB,(2)证明：E,F,G,H四点共面；(3)判断直线D1C1能否是平面D13．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)用向量AA1，(2)求证：D，M，B(3)当AA1AB14．已知向量a=(1)求a−2(2)当c=22时，若向量ka+b与c(3)若向量c与向量a,b共面向量，求15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60∘，我们将这种坐标系称为“斜60∘坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60∘坐标系”下向量的斜60∘坐标：i,j,k分别为“斜60∘坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量n=xi+yj(1)若a=1,2,3，b=[−1,1,2]，求a(2)在平行六面体ABCD−ABC1D1中，AB=AD=2,AA1=3，∠BAD=∠BAA16．已知A(3,3),B(−4,2),C(0,−2)．(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．17．已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形.18．如图直线l过点(3，4)，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△AOB的面积为24.点P为线段AB上一动点，且PQ//OB交OA于点Q.（1）求直线AB斜率的大小；（2）若△APQ的面积S△APQ与四边形OQPB的面积SOQPB满足：S△APQ=13S（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.19．已知直线l:2m+1x+m−1（1）求证：不论m为何实数，直线l过定点P；（2）分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；（3）针对S的不同取值，讨论集合l直线l经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为S中的元素个数.20．直线l过点P3,2且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B

(1)若直线与直线2x+3y−2=0的法向量平行，求直线l的方程；(2)如图，若AP=2PB，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线21．已知圆C经过A0,1，B(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A关于直线y=x−3的对称点A′也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求BM22．已知P是圆C:(x−5)2+(y−5)2=r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q，O为原点，线段OP23．已知圆C过点A(4,0),B(0,4)，且圆心C在直线l:x+y−6=0上．(1)求圆C的方程；(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l24．平面上有两点A−1,0,B1,0，点P在圆周x−32+25．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P12,14是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点P的一条直线MN，将三角板铝成△AMN

26．如图，已知A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，直线(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程；(3)若P(2,23)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线27．设Ax1,y1，Bx2,y2是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离(1)若点Cx,y是平面xOy上的点，试证明：ρ(2)在平面xOy上是否存在点Cx,y，同时满足：①ρA,C+ρ28．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,(1)求椭圆C的标准方程；(2)求S△PO29．已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N，点Pn,4n∈R,n≠0，若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点30．圆O:x2+y2=1，A(0,1),P(−2,1)，过P直线l交圆O于(1)记三角形ABP与三角形ABC的面积分别为S1与S2，求(2)若直线AB，AC分别交x轴于M,N两点，MN=4，求直线l31．已知圆C过点O0,0，A−1,3(1)求圆C的标准方程；(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线x=5上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.32．已知圆C过点1,1，且与y轴相切于坐标原点，过直线l:x−y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，(1)求圆C的标准方程；(2)若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求MCMO33．已知在平面直角坐标系xOy中，A(0,1),B(0,4),平面内动点P满足2PA(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l:x=4上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求1MQ34．已知直线l：y=kx+t与双曲线C：x24−y25=1相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线分别与x(1)若t=1，且点M，N都在双曲线的右支上，求k的取值范围；(2)若△AOB（O为坐标原点）的面积为812，且k≠0，求k35．已知点A为圆C:x2+y2−210x−6=0上任意一点，点B的坐标为(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹E与x轴分别交于A1,A2两点（A1在A2的左侧），过R3,0的直线l与轨迹E交于M,N两点，直线A36．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)(1)求双曲线的方程；(2)若直线y=kx+1k(0<k<1)与曲线C有两个不同的交点A、B,O37．已知双曲线C：x22−y2(1)求双曲线C的方程；(2)过点2,0的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得NA⋅NB为定值？如果存在，求出点38．已知F为抛物线Γ：y2=4x的焦点，O为坐标原点.过点Pp,4且斜率为1的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，与x(1)若点P在抛物线Γ上，求PF；(2)若△AOB的面积为22，求实数p(3)是否存在以M为圆心、2为半径的圆，使得过曲线Γ上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线Γ交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切？若存在，求出此时p的值；若不存在，请说明理由.39．已知直线2x−y−1=0与抛物线C:x2=2pyp＞(1)求p的值；(2)设F为抛物线C的焦点，M,N为抛物线C上两点，FM⋅FN=040．已知抛物线C:y2=2px经过点2,−26，直线l1:y=kx+m(km≠0)与C交于(1)若OA⋅OB=0(2)已知k=2，直线l2在直线l1的右侧，l1//l2，l1与l2之间的距离d=5，l2交C于41．如图，在棱长为2的正方体ABCD−EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M−BCGF绕直线CG逆时针旋转α(0<α<π)后，得到四棱锥

(1)若α=π2，求证：平面MCG//平面(2)是否存在α，使得直线M′F′⊥平面42．已知抛物线C：y2=2pxp>0上一点Aa,aa≠0(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点，直线OP,OQ与圆E：x−22+y2=4的另一交点分别为M,N,O43．如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在

(1)证明：EF//平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D−AO−C的正弦值.44．在△PF1F2中，已知点F1−3,0，F23,0(1)求C的方程；(2)若圆O：x2+y2=1，E0,−1，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点A，B，直线EA，EB与曲线C的另一个交点分别是点45．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2，(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F1，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB46．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2,D,E

(1)求证：A1C⊥平面(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F(3)若点F为线段B1C147．已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1、l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1、l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1:y=2x（1）已知l1、l2是一组“O−3共轭线对”，且知直线l（2）如图，已知点A(0,1)、点B(−1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ、QR、RP上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直线RP、RQ是“R9（3）已知点Q(−1,−2)，直线l1、l2是“Q−2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点48．如图，已知四棱锥E−ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠DAB=π3，AD=2AB=2,BE=PE,P是线段AD的中点，(1)求证：PC⊥平面BPE；(2)下列条件任选其一，求二面角P−EC−B的余弦值.①AE与平面ABCD所成的角为π4②D到平面EPC的距离为34注：如果选择多个条