2025年中考数学总复习《锐角三角函数》通关考试题库附参考答案详解【夺分金卷】

中考数学总复习《锐角三角函数》通关考试题库考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某人沿坡度的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）A．5米 B． C． D．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A． B． C． D．3、式子sin45°+sin60°﹣2tan45°的值是（）A．22 B． C．2 D．24、的值为（）A．1 B．2 C． D．5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（）

A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、_______．2、如图,小明沿着坡度的坡面由到直行走了13米时,他上升的高度_______米．3、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，OC=_________．4、如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝，则sin∠ACB的值为_____．5、在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）20212、平面直角坐标系中，过点M的⊙O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N．（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式．（2）如图①，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）如图②，连接MD、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，，，，，，）4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求⊙O的半径．5、如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设与重叠部分的面积为S，点P运动的时间为秒．（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到的两个顶点的距离相等时t的值．6、为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习，如图所示，学校在B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（32＋32）km处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是32km/h，哪组学生先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．-参考答案-一、单选题1、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+AC2=AB2，∴x2+(2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．2、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝＝，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．3、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】解：sin45°+sin60°﹣2tan45°故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，

由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．

所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．

∴cos∠ASB＞cos50°，

故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题1、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算求解即可．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算法则是解题关键．2、【解析】【分析】根据坡度的定义求得，即可求得的长【详解】解：∵∴设，则根据勾股定理可得故答案为：5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键。3、或6．【解析】【分析】先求出，分三种情况，利用⊙O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可．【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵AC=15cm，∴∴，∵CD为AB边上中线，∴，∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，①当⊙O与AB相切时，过点O作OE⊥AB于E，如图1，在Rt△ODE中，∠BDC=60°，OE=3，∴，∴；∴；②当⊙O与BC相切时，过O作OE⊥BC，如图2，在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，∴∴；③当⊙O与AC相切时，过O作OE⊥AC于E，如图3，在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，∴，∴．故答案为或6．【点睛】此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解．4、##0.8【解析】【分析】连接OI，BI，作OE⊥AC，可证△AOD是等腰三角形，然后证明OD∥BC，进而∠ADO＝∠ACB，解三角形AOD即可．【详解】解：如图，连接OI并延长交AC于D，连接BI，∵AI与⊙O相切，∴AI⊥OD，∴∠AIO＝∠AID＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，∵AI＝AI，∴△AOI≌△ADI（ASA），∴AO＝AD，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠OIB＝∠CBI，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C，作OE⊥AC于E，∵tan∠BAC＝＝，∴不妨设OE＝24k，AE＝7k，∴OA＝AD＝25k，∴DE＝AD﹣AE＝18k，∴OD＝＝30k，∴sin∠ACB＝＝＝．故答案是：【点睛】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、等腰直角三角形【解析】【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状．【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，即cosA＝，tanB＝1，所以∠A＝45°，∠B＝45°，所以所以△ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提．三、解答题1、-3【解析】【分析】根据特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，化简二次根式的计算法则求解即可．【详解】解：原式==-3．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，二次根式的化简，熟知相关近计算法则是解题的关键．2、（1）；（2）直线EN与⊙O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）∵⊙O过点M∴∵⊙O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），∴∴，∴经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：∵⊙O交OM的反向延长线于点N∴设经过A、N、B三点的抛物线为：∴经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：∴∴∴∴∴经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：∴当时，抛物线取最小值，即∴，∵∴∵∴∴∴直线EN与⊙O相切；（3）∵∴∴如图，当点P纵坐标大于0时，直线交⊙O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K∴∴∵，，∴∴∴∴设直线DP的解析式为：∴∴∴；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交⊙O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K∴∵，，∴∴∴∴设直线DP的解析式为：∴∴∴；∴直线DP的解析式为：或．【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．3、126米/分钟【解析】【分析】过作于，则米，由解直角三角形求出AD和BD的长度，则求出AB的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过作于，则米，∴，∴，∴，同理：速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD和BD的长度．4、（1）见详解；（2）4．【解析】【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH=BC=2，∴OA==4，⊙O的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）；（2）；（3）当，；当时，（4），，．【解析】【分析】（1）根据∠C=90°，AB=5，AC=4，得cosA=，即，又因为AP=4t，AQ=5t，即可得答案；（2）由AQPM，APQM，可得，证△CQM∽△CAB，可得答案；（3）当时，根据勾股定理和三角形面积可得；当，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形；当时，由S=S△PQB-S△BPH计算得；（4）分3中情况考虑，①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，在Rt△APF中，cosA=，解得t=，②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，同理解得t=，③当N到B、C距离相等时，可证明AP=BP=AB=，可得答案．【详解】（1）如下图：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴cosA=∵PQ⊥AB，∴cosA=∵动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t(t>0)秒，∴AP=4t，∴∴AQ=5t，∴CQ=AC-AQ=4-5t，故答案为：4-5t；（2）∵AQPM，APQM，∴四边形AQMP是平行四边形．∴．当点M落在BC上时，∵APQM，∴．∵，∴△CQM∽△CAB，∴．∴．∴．∴当点M落在BC上时，；（3）当时，此时△PQM与△ABC的重合部分为三角形，由（1）（2）知：，，∴PQ=AQ∵∠PQM=∠QPA=90°∴S=1当Q与C重合时，CQ=0，即4-5t=0，∴t=当，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，当时，如下图：∵AP=4t，∴PB=5-4t，∵PMAC∴PHAC=∴PH=4(5−4t)∵ACBC∴43∴PQ=4(5−4t)∴S=S△PQB-S△BPH，==1=512综上所述：当，；当时，（4）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，如图：∵N到A、C距离相等，NE⊥AC，∴NE是AC垂直平分线，∴AE=AC=2，∵N是PM中点，∴PN=PM=AQ=52t∴AF=AE-EF=2-5在Rt△APF中，cosA=∴45解得t=②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，如图：∴AG=AB=∴PG=AG-AP=-4t∴cos∠NPG=cosA=∴PGPN而PN=PM=AQ=t∴52解得t=③当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：∵PMAC，AC⊥BC∴PM⊥BC，∴N到B、C距离相等，∴N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，∴PB=PC