（高考数学）2025年山东省菏泽市一模试题【附答案】

/2025年山东省菏泽市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为A． B． C． D．2．已知集合，0，，，则A． B． C．， D．，0，3．已知△的三个角，，的对边分别为，，，且，则A． B．3 C． D．4．已知是无穷数列，，则“对任意的，，都有”是“是等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若，，则A． B． C． D．6．曲线在，，，两点处的切线互相垂直，则的值为A． B．0 C．1 D．7．已知△的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点的坐标为A． B． C． D．8．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为A．若的周期为1，则满足性质（1） B．若，则不满足性质 C．若且满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知平面向量，，则下列说法正确的有A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为10．（6分）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为，，，，则直线与所成的角不可以为11．（6分）已知曲线的方程为，下列说法正确的有A．曲线关于直线对称 B．， C．曲线被直线截得的弦长为 D．曲线上任意两点距离的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为．13．已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则．14．如图，在△中，，，是的中点，是边上靠近的四等分点，将△沿翻折，使到点处点在平面上方），得到四棱锥．则①的中点运动轨迹长度为；②四棱锥外接球表面积的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：喜欢不喜欢男性4010女性2030（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值．17．（15分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，存在，，使得，求的取值范围．18．（17分）定义正方形数阵满足，其中，．（1）若，求数阵所有项的和；（2）若，，，，求证：也是数阵中的项；（3）若，，2，3，，，且，求的值为奇数的概率．19．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）如图，过双曲线右支上一点作圆的切线交双曲线左支于，右支于，直线与圆切于点．①求证：、两点关于原点对称；②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围．

2025年山东省菏泽市高考数学一模试卷参考答案与试题解析题号12345678答案DCDACABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为A． B． C． D．解：由已知可得，，，则，可得向量对应的复数为．故选：．2．已知集合，0，，，则A． B． C．， D．，0，解：集合，0，，，故，．故选：．3．已知△的三个角，，的对边分别为，，，且，则A． B．3 C． D．解：因为，所以由正弦定理可得：，所以，所以，又，且，所以，又，所以，．故选：．4．已知是无穷数列，，则“对任意的，，都有”是“是等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：对任意的，，都有，令，可以得到，因此是公差为的等差数列；若，则，，，可得，故“对任意的，，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件．故选：．5．若，，则A． B． C． D．解：因为，所以，又因为，所以，所以，即，解得，所以，所以．故选：．6．曲线在，，，两点处的切线互相垂直，则的值为A． B．0 C．1 D．解：因为，又的导数为；的导数为，所以由对称性不妨设，则根据题意可得，因为曲线在，，，两点处的切线互相垂直，所以，所以，所以，所以．故选：．7．已知△的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点的坐标为A． B． C． D．解：设，，，则，同理，，由，可得，即，又，可得，故选：．8．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为A．若的周期为1，则满足性质（1） B．若，则不满足性质 C．若且满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称解：对于，已知的周期为1，则，则，不一定恒等于0，例如表示不超过的最大整数），它是周期为1的函数，但恒成立，所以不一定满足性质（1），选项错误；对于，取，则恒成立，所以满足性质（1），故错误；对于，若且满足性质，则对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，因为对任意实数恒成立，所以，即，因为，所以，则，选项错误；对于，因为满足性质，所以，即，又因为是偶函数，所以，即，所以图象关于直线对称，选项正确．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知平面向量，，则下列说法正确的有A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为解：由题意，，，因为，当时，向量，垂直，故错误；若，则有，即，显然不成立，故，不可能共线，故正确；，当时，，故正确；若，则，，则在上的投影向量为，故正确．故选：．10．（6分）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为，，，，则直线与所成的角不可以为解：对选项，设正方体棱长为，则当四点是一个顶点出发的三条棱上的点时，该几何体的体积为，而当4个点形成的几何体为正四面体时，该几何体的体积为，所以选项错误；对选项，8个点选4个，再减去共面的情况，即这四点能构成三棱锥的个数为，所以选项正确；对选项，根据对称性可知当这四点能构成的三棱锥的各个面均为正方体的正三角形截面时，其表面积达到最大，所以这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为，所以选项正确；对选项，因为正方体的中任意两条棱都不可能成角，所以若这四点分别记为，，，，则直线与所成的角不可以为，所以选项正确．故选：．11．（6分）已知曲线的方程为，下列说法正确的有A．曲线关于直线对称 B．， C．曲线被直线截得的弦长为 D．曲线上任意两点距离的最大值为解：曲线的方程为，将其中的换为，换为，可得方程不变，则曲线关于直线对称，故正确；由，可得，可设，，，，则，，即有，，故错误；由，代入方程，可得，由韦达定理可得，，则弦长为，故正确；由，，可得，当时，取得最大值2，即曲线上任一点到原点的距离的最大值为，由曲线关于原点对称，可得曲线上任意两点距离的最大值为，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为80．解：将1，3，2，2，9，3，3，10按从小到大顺序排列得1，2，2，3，3，3，9，10，由题设，则该组数据的第75百分位数为．所以，故展开式中的系数为：．故答案为：80．13．已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则或．解：当时，，，，由，方程无解；当，时，，，，，由，得，；当，时，，，，，由，得，，；当，时，，，，，由，得，方程无解；当，时，，，不合题意．综上可知，或．故答案为：或．14．如图，在△中，，，是的中点，是边上靠近的四等分点，将△沿翻折，使到点处点在平面上方），得到四棱锥．则①的中点运动轨迹长度为；②四棱锥外接球表面积的最小值为．解：因为到中点的距离等于，且点在平面上方，所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆，所以的中点运动轨迹长度为；因为四边形的外心为的中点，所以四边形的外接球的半径，所以四棱锥外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面的直线上，设四棱锥外接球的半径为，设球心到四边形的外心的距离为，则，当时，等号成立，所以四棱锥外接球表面积的最小值为．故答案为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：喜欢不喜欢男性4010女性2030（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）补全列联表如下：喜欢不喜欢合计男性401050女性203050合计6040100零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，则，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001；（2）由题意可知，，，所以，其意义为已知观众为男性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率高于已知观众为女性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率，这意味着男性更倾向于喜欢机器人团体舞蹈表演节目．16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由，，，易求，取的中点，连结，为的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由，，所以，所以，又平面平面，所以平面，以为原点，过与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，0，，，2，，，1，，，，，，设平面的法向量为，，，则，，则，所以，取，则，，所以平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．（15分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，存在，，使得，求的取值范围．【解答】（1）解：，当时，恒成立，此时在上单调递减，当时，令，则，，单调递减，，，单调递增，综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为．（2）因为存在，，使得．只需或，因为，所以，所以只需，由（1）知为与（1）中的较大者，所以（1）或，解得或，所以，综上所述，的取值范围为．18．（17分）定义正方形数阵满足，其中，．（1）若，求数阵所有项的和；（2）若，，，，求证：也是数阵中的项；（3）若，，2，3，，，且，求的值为奇数的概率．解：（1）若，则的所有取值情况为：，，，，，，，，，，故数阵共99项，由知：，，所以．（2）证明：，由，，，知，、，故，所以也是数阵中的项．（3），，2，3，，，若，那么，由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数，即与必定一奇一偶，当时，的取值情况有4种，故；当时，的取值情况有8种，故；当时，的取值情况有12种，故；当且为奇数时，，2，3．，中有个奇数，个偶数，故的取值情况有种，故；当且为偶数时，，2，3，，中有个奇数，个偶数，故的取值情况有种，故．综上所述，当且为奇数时，；当且为偶数时，．19．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）如图，过双曲线右支上一点作圆的切线交双曲线左支于，右支于，直线与圆切于点．①求证：、两点关于原点对称；②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围．解：（1）由双曲线的渐近线方程为，知，即，把点代入双曲线的方程得，由，解得，所以双曲线的标准方程为．（2）①证明：由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为，由圆的圆心到直线的距离，所以①，把代入，消得，由题