《信号、系统分析与控制》课件第12章　线性系统的校正

第12章线性系统的校正

所谓系统的校正，就是为了达到一定的控制效果，在调整放大器增益后，仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，在原系统特性的基础上加入一些可以根据需要而改变参数的机构或装置，将原特性加以修正，使系统整个特性发生变化，以达到设计要求。使用MATLAB，不仅可以解决控制系统的分析问题，还能解决控制系统的设计问题，在控制分析的基础上对系统性能进行校正改善，并使设计过程大大简化，大大提高设计效率。本章主要介绍基于bode图的系统串联校正设计方法。12.1相位校正的原理在给定受控对象数学模型和系统性能指标的条件下，设计一个能够达到给定性能指标的控制器，又称为校正器或者调节器，也就是确定控制器的结构与参数。受控对象的数学模型主要是指传递函数形式或状态空间表达式，本章是指传递函数形式。在MATLAB中，校正前系统的截止频率（即剪切频率wc）用Wp1表示，校正后系统期望的截止频率（即剪切频率wc’）用Wp2表示。校正前、后的相角裕度g和g’用Pm1、Pm2表示。系统性能指标主要包括频域指标：增益裕量Gm、相位裕量Pm、-180°相位穿越频率Wg和剪切频率Wp等；时域指标：稳态误差、静态误差系数K、超调量、峰值时间、调节时间等。12.1.1系统校正的概念所谓的校正（或称补偿），就是在原系统中加入一些可以根据需要而改变参数的、具有某种典型环节特性的电子网络机构或装置等，靠这些机构或装置的配置来有效地改善整个系统的控制性能，使整个系统特性满足给定的各项性能指标。这一附加的装置称为校正元件或校正装置，它们通常是一些无源或有源微积分电路，以及速度、加速度传感器等。加入校正装置后使原来未校正系统的缺陷得到补偿，这就是校正的作用。常用的校正方式有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种。在线性控制系统设计中，常用的校正方式为串联校正和反馈校正两种。究竟选用哪种校正方式，取决于系统中的信号性质、技术实现的方便性、可供选用的元件、抗扰性要求、经济性要求、环境使用条件以及设计者的经验等因素。它们的特点如下：串联校正：串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串接于系统前向通道之中。装置简单，调整灵活，成本低。反馈校正：反馈校正装置接在系统局部反馈通道之中。其输入信号直接取自输出信号，校正装置费用高，调整不方便，但是可以获得高灵敏度与高稳定度。12.1.2设计方法在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法有时域分析法、根轨迹设计方法和频率特性设计方法。

1.时域分析法

时域分析法有分析法和综合法两种：分析法又称试探法。用分析法设计校正装置比较直观，在物理上易于实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程带有试探性。综合法又称期望特性法。这种设计方法从闭环系统性能与开环系统特性密切相关这一概念出发，根据性能指标要求确定出希望开环特性的形状，然后与系统原有开环特性相比较，从而确定校正方式、校正装置的形式和参数。综合法有广泛的理论意义，但希望的校正装置传输函数可能相当复杂，在物理上难以实现。应当指出，不论是分析法或综合法，其设计过程一般仅适用于最小相位系统。时域分析法的缺点是不能直观显示出系统的结构和参数与性能之间的关系，显然用时域法去设计校正装置是困难的。2.根轨迹设计方法

根轨迹设计方法分析系统很方便，因为系统结构已定，但设计的盲目性很大。主要问题是采用何种控制规律的选择和分析过程较复杂。3.频率特性设计方法频率特性设计方法是基于bode图的设计方法，是一种间接设计方法，因为设计结果满足的是频域指标，而不是时域指标。然而，在频域内进行设计又是一种简便的方法，在bode图上虽然不能严格定量地给出系统的动态性能，但却能方便地根据频域指标确定校正装置的参数，特别是对已校正系统的高频特性有要求时，采用频域法校正较其它方法更为简便。按照传统方法，改变原系统的bode图使之成为希望的形状，即满足要求的性能指标就属于控制系统的频域校正内容。频率特性设计方法具有以下特点：当采用串联校正时，校正后系统的Bode图即为原有系统Bode图和校正装置的Bode图直接相加。频率特性图可以清楚表明系统改变性能指标的方向。对于某些数学模型推导起来比较困难的元件，如液压和气动元件等，通常可以通过频率响应实验来获得其Bode图。频域设计通常通过Bode图进行，处理起来十分简单，是一种最常用的方法。在涉及到高频噪声时，频域设计法的优势更明显，比其他方法更为方便。12.1.3频域的串联校正原理

基于bode图的系统校正方法（即频域校正法）主要有3种：相位“超前”校正和相位“滞后”校正，这两种校正方法都是在系统串联校正的基础上实现的。还有一种相位“滞后-超前”校正是基于相位“超前”校正和相位“滞后”校正的基础上实现的。“超前”、“滞后”和“滞后-超前”校正器的Bode图设计，主要就是根据开环系统传递函数G、剪切频率Wp及其相位裕量Pm、-180°相位穿越频率Wg及其增益裕量Gm来进行设计。单位负反馈闭环控制系统的基本结构如图12-1-1所示，控制器G(s)就是要设计的控制器的传递函数，它可以是超前、滞后校正器或者是PID控制器，H(s)就是要被控制设备的传递函数。串联校正原理就是将校正器G(s)串联到被控制设备的网络中，串联连接的系统函数相当于两个传递函数直接相乘G(s)H(s)，根据系统要求设计G(s)的形式，使G(s)H(s)满足系统要求。12.1.4控制系统的性能指标分析在设计之前，首先要对原系统进行性能分析：一个系统，根据给定的元部件参数，分析它能达到什么指标，能否满足所要求的各项性能指标；然后进行校正分析：若系统不能全面地满足所要求的性能指标，就要考虑对原系统增加些必要的元件或环节，使系统能够全面地满足所要求的性能指标。最后对校正后的系统综合分析，能否满足所要求的各项性能指标和实际性能。1.控制系统的稳态性能指标控制系统的时域稳态性能指标主要是误差ess和开环增益K，以及系统的型别（0型、I型或II型）等。2.控制系统的暂态性能指标控制系统的暂态性能指标包括：（1）以系统的单位阶跃响应为基础的时域性能指标：上升时间tr、超调量Mp、调节时间ts和峰值时间tp。（2）以系统闭环频率特性为基础的频域性能指标：谐振峰值Mr、谐振频率wr、带宽（闭环截止频率）wb。（3）以系统开环频率特性为基础的频域性能指标：系统开环伯德图的剪切频率wc，系统的增益裕度Gm、相角裕度g。3.相角裕度γ与各频段参量的关系、期望的系统开环频率特性

期望的系统开环频率特性，如图12-1-2所示。（1）开环频率特性的低频段：第一个转折频率w1之前的频段，表征了闭环系统的稳态性能。因此要求低频段增益充分大，以保证稳态误差要求，但要注意不要影响系统的稳定性。在Bode图上，低频段斜率越大，则相角裕度g减小越多，w1离wc越远，影响越小。低频段和高频段都可以有更大的斜率，低频段斜率大，可提高稳态性能。

wc的大小取决于系统的快速性要求。wc大快速性好，但抗扰能力下降。（2）开环频率特性的中频段：w1~w4，表征了闭环系统的动态性能。中频段斜率：–60dB/dec：肯定不稳定；–40dB/dec：可能稳定，但稳定裕量g较小；–20dB/dec：一般稳定，且稳定裕量g较大。因此在Bode图上，中频段的斜率以-20dB为宜；但中频段必须有足够的带宽以保证系的相位裕量，带宽B=w3/w2越大，相位裕量g越大。（3）开环频率特性的高频段：w4（取10wc）以后的频段，表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能，影响系统抗干扰性。高频增益要尽快减小，以削弱噪声的影响。因此，在Bode图上高频段斜率大，排除干扰能力强。但高频段有较大的斜率，同样会导致相角裕度g减小，w3离wc越远，影响越小。4.控制系统的带宽频率的确定控制系统的带宽受很多因素影响，对系统性能有重要影响。系统带宽与带宽频率，如图12-1-3所示。（1）信号复现能力和噪声干扰。考虑的主要问题是尽可能无失真地复现有用信号，减少干扰。确定方法：有用信号带宽：干扰信号带宽：（2）机械谐振频率的限制。考虑的主要问题是避免激起机械振荡，甚至共振。确定方法：注意：wb和wm数值靠得比较近时会降低相对稳定性，开环伯德图的剪切频率和距离尽可能远些。其中：wb为自然频率，wm为机械系统的谐振频率。5.期望频率特性的确定

基于频率响应法（频率法）对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：（1）低频段的增益满足稳态精度的要求；由稳态特性确定K和积分环节个数，由此确定低频段。（2）中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec，并具有较宽的频带，以便系统具有满意的动态性能：按给定的时域频性能指标确定剪切频率wc；过wc点作-20dB/dec的直线；确定中频渐近线的长度，或w2起点和终点w3

。（3）高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。所以，用频率法设计控制系统的实质，就是在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，以使开环系统频率特性形状变成所期望的形状。需要注意的是，上述性能指标并不是完全各自独立的，有些指标相互之间有一定的关系，这些指标可以混合使用，但不能互相矛盾!12.2相位滞后无源校正网络串联滞后校正应用于对系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的场合。12.2.1相位滞后无源校正的原理相位滞后校正，通过压缩频带宽度使校正系统获得希望的相位裕度。滞后校正器的等效RC网络图如图12-2-1所示。滞后校正器实际是一个低通滤波器，基本原理主要是利用其滞后网络的高频衰减特性，以降低系统的开环截止频率，从而使已校正系统获得足够的相角裕度。滞后校正器的基本特性，是相频曲线具有负相移（滞后相位角）。实际设计中不是使用校正装置的相频特性，而是利用其高频衰减特性。因此无源滞后网络一般不放在中频段，否则对稳定性不利，主要利用其高频幅值衰减的特性，对高频噪声起削弱作用，同时降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。（1）最大滞后角，发生在交接频率的几何中心，该点对应的频率称为最大滞后角频率：，如图12-2-2所示。零极点分布如图12-2-3所示，极点总是位于零点之右，二者的距离由常数b决定。（2）滞后网络对信号的影响：滞后网络在时，对信号没有衰减作用。在时，对信号有积分作用，呈滞后特性。在时，对信号衰减作用为，其b值越大，高频衰减越厉害。

（3）滞后校正器传递函数中的T。根据自动控制理论，距离剪切频率越远，滞后校正器的滞后特性对系统影响越小，所以1/T选得越小越好；但如果1/T太小，滞后校正器对剪切频率的相位滞后量的影响又不大。因此，在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率附近。这一点与超前校正不同，超前校正是把截止频率选在最大超前相角处。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率1/T远小于，一般选择1/T为（12.2.5）此时，迟后网络在处产生的相角迟后角为

6

。（4）求滞后校正器传递函数中的b。因为经串联滞后校正后的系统在剪切频率处的对数幅值等于0，即：（12.2.6）是校正前的系统，是校正系统，是校正后的系统

由于分度系数b总是大于1，>>1，故根据（12.2.4）式，（12.2.7）而，故：即未校正系统的对数幅频特性在剪切频率处的幅值为：由此得：（12.2.8）因此求出剪切频率wp2，即可根据原系统函数确定b，求出b和T后，根据即可求出串联滞后校正系统的转移函数。如图12-2-4所示，串联滞后校正后对系统性能的影响如下：（1）低频段重合，校正后对系统的稳态误差没有影响。（2）中频段：<（即

c<

c），Pm2>Pm1，校正后系统平稳性好，响应速度慢。（3）高频段向下平移，校正后高频滤波性能好。12.2.2相位滞后校正器的设计相位滞后校正器设计的关键技术是选择参数b和T以及校正装置放置的位置。（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K。（2）根据已确定的开环增益，画出待校正系统的对数频率特性曲线，并计算待校正系统的稳定裕度（增益裕量Gm1、相位裕量Pm1）和截止频率Wp1。（3）根据期望的相角裕度Pm2选择已校正系统的截止频率Wp2。要考虑滞后网络在新的截止频率Wp2处会产生一定的相角滞后，即（12.2.9）式中，是指标要求值，是待校正系统的相位裕量，是滞后的相角，一般在确定Wp2前可取为

6

。于是，可求出相应的Wp2值。（4）根据下述关系式确定滞后网络参数b和T：，（12.2.10）（5）由b和T求出校正器的函数形式，并验证已校正系统的相角裕度和幅值裕度是否满足要求。例12-2-1滞后校正器的Bode图设计已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为：，试设计系统的滞后校正器G(s)，使之满足：（1）在斜坡信号作用下，系统的稳态误差ess≤0.02v0；（2）校正后系统的相位裕量Pm范围为：43°～50°。（3）校正后系统的剪切频率Wp2≥3.6rad/s。解：滞后校正器的Bode图设计步骤如下：1.根据参数分析受控对象在给出受控对象传递函数和性能指标：稳态误差指标、相位裕量或者剪切频率的要求下，超前校正器的Bode图设计步骤如下：（1）根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益K。由于要求系统在斜坡信号作用下的稳态误差：ess=v0/K≤0.02v0所以系统开环增益：K≥50，取K=50。则被控对象的传递函数为：（2）根据求得的开环增益K，画出系统校正前的Bode图，并计算校正前系统的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切频率Wp1。检验这些性能指标是否符合要求。程序如下：

s=tf('s');H=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));

[Gm1,Pm1,Wg1,Wp1]=margin(H)上述程序运行后，得到校正前系统的参数为：增益裕量Gm1=2.1000（即6.44dB）。相位裕量Pm1=9.3528°。剪切频率Wp1=15.3274rad/s。显然校正前系统的相位裕量Pm1=9.3528°＜43°，不满足系统要求。绘制开环系统的Bode图和单位阶跃响应曲线：

s=tf('s');H=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));figure(1);margin(H);figure(2);step(feedback(H,1));开环系统的Bode图，如图12-2-5所示。校正前闭环系统单位阶跃响应曲线，如图12-2-6所示，系统在动态响应中不稳定，处于振荡衰减状态。图12-2-5滞后校正前的Bode图图12-2-6滞后校正前的单位阶跃响应曲线2.计算校正参数

由于原系统不稳定，要对系统进行滞后校正。根据（12.2.1）式可知，求滞后校正器的传递函数，需求出T和b。（1）根据对滞后校正后系统的期望相位裕量Pm2，确定一个新的剪切频率wp2。先由期望相位裕量Pm2（单位：角度），计算进行校正前原系统在处的相位角wp2，即（12.2.11）式中，Pm2是校正后期望的相位裕量，5°～10°是在校正后剪切频率的移动所带来的原系统相位的滞后量。校正后系统的相位裕度Pm2范围为：43°～50°，取=46°。（2）确定系统滞后校正后的剪切频率wp2。确定新的剪切频率wp2的一般方法可形象理解为：在原系统的Bode图上，将原剪切频率wp1向左移，移到使相位裕量Pm达到期望的相位裕量Pm2，这时的剪切频率便是新的剪切频率wp2。根据该剪切频率，可设计合适的滞后校正器，使校正后的系统达到期望的相位裕量，从而使系统控制性能更好。根据校正系统的相位角计算出对应的频率，就是要求的期望剪切频率的值。即在原系统的Bode图上，求出相频关系，在处的频率，就是要求的期望剪切频率wp2的值。求剪切频率可采用MATLAB中的插值函数spline()来计算。即Wp=spline(phi,w,max(phi))找出相位角函数在自己最大值发生处的值w，即。其MATLAB程序如下：phim=-180+P0+5;[mu,phi,w]=bode(H);Wp2=spline(phi,w,phim);（3）根据（12.2.5）式，一般选择：（4）求滞后校正器传递函数中的b。根据（12.2.8）式，选择：（5）求滞后校正器的传递函数。滞后校正器的传递函数为：按滞后校正器设计步骤，编写的MATLAB程序如下：s=tf('s');K=50;H=K/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));Pm2=46;phim=-180+Pm2+5;[mu,pu,w]=bode(H);Wp2=spline(pu,w,phim);Hw=K/(j*Wp2*(0.2*j*Wp2+1)*(0.01*j*Wp2+1));b=abs(Hw)%频率特性的幅值T=10/Wp2G=tf([T1],[b*T1])上述程序运行后，得到滞后校正器的参数b=10.6678，T=2.6682，传递函数G(s)：下列程序绘制出该滞后校正器的Bode图，如图12-2-7所示，和零极点图如图12-2-8所示。num1=[2.6681];den1=[28.461];bode(num1,den1);gridon;figure[p,z]=pzmap(num1,den1)pzmap(num1,den1);该滞后校正器的零极点值为：p=-0.0351，z=-0.3748

图12-2-7该滞后校正器的Bode图图12-2-8该滞后校正器的零极点图3.检验滞后校正结果校正后系统的开环传递函数为，根据该开环传递函数绘制Bode图，其MATLAB程序如下：figure(1);margin(G*H);holdon;margin(H);holdoff;h=legend('(a)','(b)',2,'Location','NorthEast');set(h,'Interpreter','none');figure(2)step(feedback(G*H,1))[Gm2,Pm2,Wg2,Wp2]=margin(G*H)

程序运行后，比较校正前后系统的Bode图，如图12-2-9所示。可见，采用滞后校正器，原剪切频率左移，将使校正后系统的剪切频率比校正前小，系统的快速性能变差，但稳定性能得以提高，这意味着滞后校正是以牺牲系统的快速性来换取系统稳定性的。如果滞后校正器采用RC无源网络，虽无增益损失，但有负载效应之弊，故工程上常采用由集成运算放大器构成的有源滞后校正器。

Gm2=20.8022，Pm2=45.7385，Wg2=21.5476，Wp2=3.7613校正后系统的相位裕量由Pm1=9.3528提高为Pm2=45.74，满足校正后系统的相位裕量Pm范围为43°～50°的设计要求。剪切频率为Wp2=3.7613，满足校正后系统的剪切频率Wp2≥3.6rad/s的设计要求。校正后系统的单位阶跃响应曲线如图12-2-10所示，经过滞后校正后系统是稳定的。图12-2-9滞后校正前后系统的Bode图图12-2-10滞后校正后系统的单位阶跃响应曲线

12.3相位超前无源校正网络相位超前校正网络的应用：一般用于稳态精度基本满足要求，但动态性能较差的系统。12.3.1相位超前校正的原理和方法相位超前校正，通过超前校正装置的相位超前特性使校正系统获得希望的相位裕度。超前校正器，实际上是利用了RC微分电路的高通特性进行超前校正的，其等效电路如图12-3-1所示。该电路的传递函数为：式中，为分度系数，可见a总是小于1；阻抗。时间常数：。

由于采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降a倍，这样就满足不了稳态误差的要求，因此需要提高放大器增益1/a倍加以补偿。现假设网络对开环放大系数的衰减已由提高放大器增益所补偿，则相位超前无源校正器的传递函数可写为：（12.3.1）相位超前校正器的幅频特性为：（12.3.2）幅值取常用对数再乘以20，得到对数幅频特性（单位用分贝dB表示）为：（12.3.3）相频特性为：（12.3.4）因a总是小于1，则总是大于0，所以为超前网络。对（12.3.4）式求导，并令其导数等于0，得最大超前角处的频率为：（12.3.5）相位超前校正网络的2个交接频率为一个极点和一个零点：，，（12.3.6）相位超前校正网络的零极点分布，如图12-3-2所示。零点总是位于极点之右，二者的距离由常数a决定。零点的作用大于极点，故为超前网络。由（12.3.3）式和（12.3.5）式得：（12.3.7）用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统期望的截止频率（剪切频率）处，即“最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即：”。当时，原系统被超前网络完全补偿，如图12-3-3所示。完全补偿成立的条件是系统在该点的幅频特性值为0。即：（12.3.8）式中，Adb是补偿后系统的幅频特性，Ahdb是原系统的幅频特性，Acdb是超前补偿器的幅频特性。在频率范围内的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，所以把该校正器称为相位超前校正器。在最大超前角频率wm处具有最大超前角：（12.3.9）上式表明，fm仅与a有关。1/a值选得越大，则超前网络的微分作用越强。但为了保持较高的系统信噪比，实际选用的1/a值一般不大于20。

fm正好处于频率的几何中心，该点频率为最大超前角频率，如图12-3-4所示。

图12-3-3原系统被超前网络完全补偿图12-3-4最大超前角最大超前角可根据期望的相位裕量求出：（12.3.10）式中，Pm2是校正后期望的相位裕量，Pm1是校正前的相位裕量，求出Pm1即可求出。另外增加补偿量5°～10°，补偿系统在校正后剪切频率的移动所带来的原系统相位的滞后量。根据（12.3.7）式，得：

（12.3.11）相位超前校正的基本原理总结如下：利用超前网络或PD控制器的相角超前特性，将超前网络的交接频率1/aT和1/T位于待校正系统截止频率的两旁。用fm来补偿系统的相位裕度。超前校正后对系统性能的影响：（1）低频段重合，校正后对系统的稳态误差没有影响。（2）中频段：

m>

c

，Pm2>Pm1，校正后系统平稳性好，响应速度快。（3）高频段抬高，校正后高频滤波性能差。12.3.2相位超前校正器的设计相位超前校正器设计的任务是求出超前网络参数a和T，然后求出转移函数。基本步骤如下：（1）设计指标：稳态误差与相角裕度g

（或截止频率wp2）。根据系统对稳态误差要求，确定开环增益K。（2）根据已确定的开环增益，画出待校正系统的对数频率特性曲线，并计算稳定裕度和截止频率；（3）超前校正原则是将超前校正网络的最大超前角频率wm正好位于校正后系统的截止频率wp2处。根据截止频率的要求，计算超前网络参数a和T。

因此在本步骤中，关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。此时，原系统被超前网络完全补偿。显然，根据（12.3.6）和（12.3.7）式，得：（12.3.12）由此可求得a。

如果系统指标没有给出截止频率wp2，而给出相角裕度g

（即Pm），可根据（12.3.10）式和（12.3.11）式求出a。

根据（12.3.5）式得：由此即可求出串联超前校正的系统函数。（4）验证已校正系统的相角裕度和幅值裕度是否满足要求。下面以2个实例介绍超前校正器的Bode图设计法步骤。例12-3-1设计超前校正器1已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为设计系统的超前校正器Gc(s)，使之满足：（1）在斜坡信号作用下，系统的稳态误差ess≤0.001v0；（2）校正后系统的相位裕量Pm范围为：43°～50°。解：1.根据参数分析受控对象:在给出受控对象传递函数和性能指标：稳态误差指标、相位裕量的要求下，超前校正器的Bode图设计步骤如下：（1）根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益K。由于要求系统在斜坡信号作用下的稳态误差：ess=v0/K≤0.001v0所以系统开环增益：K≥1000，取K=1000。则被控对象的传递函数为：（2）根据求得的开环增益K，画出系统校正前的Bode图，并计算校正前系统的增益裕量Gm1、相位裕量Pm1、剪切频率Wp1。检验这些性能指标是否符合要求。绘制系统校正前Bode图：

s=tf('s');

H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));margin(H)

[Gm1,Pm1,Wg1,Wp1]=margin(H)Gm1=0.5005，Pm1=-1.2771，Wg1=15.8114，Wp1=22.3459校正前的增益裕量Gm1=0.5005，即20lg(0.5005)=-6dB、相位裕量Pm1约-1.28°，开环系统的增益裕量Gm1和相位裕量Pm1图12-3-5系统校正前的Bode图图12-3-6系统校正前的单位阶跃响应曲线均为负值，显然系统不稳定。系统校正前的Bode图如图12-3-5所示。2.计算校正参数由于原系统不稳定，要对系统进行超前校正。根据（12.3.1）式可知，求超前校正器的传递函数，需求出T和a。（1）校正后系统的相位裕度范围为：43°～50°，取=45°。根据（12.3.8）式，计算需要增加的最大相位超前量,根据求出的Pm1即可求出：（2）在系统中串联一个增益为的放大器，可补偿超前校正器引入带来的增益损失。由最大相位超前量，根据（12.3.9）式，求超前校正器中的a：（3）确定系统超前校正后的剪切频率wp2。在Bode图中，校正后的剪切频率wp2就是对应产生期望相位裕量Pm2的频率wm。由于wp2在处的增加量为10lga，或者说未校正系统在wp2处增加量为10lga时系统为0dB，即。所以wp2应该选在未校正系统的处，当被a补偿后，则。也就是说，在未校正系统对数幅频特性的对数幅值为10lga处所对应的频率，就是系统超前校正后的剪切频率wp2。求剪切频率可采用MATLAB中的插值函数spline()来计算。即Wp=spline(Adb,w,max(Adb))找出在自己最大值发生处的值，即wp2。（4）根据（12.3.5）式，求超前校正器传递函数中的T，即

（5）求超前校正器的传递函数。超前校正器的传递函数为：根据上述步骤，设计该超前校正器的程序如下：

s=tf('s');H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));[mag,phase,w]=bode(H);[Gm1,Pm1]=margin(H);Pm2=45;phim=Pm2-Pm1+5;phim=phim*pi/180;a=(1-sin(phim))/(1+sin(phim))Adb=20*log10(mag);Adbmax=10*log10(a);Wp2=spline(Adb,w,Adbmax);T=1/(Wp2*sqrt(a))Gc=tf([T1],[a*T1])上述程序运行后，得到a=0.1235，T=0.0756，超前校正器的传递函数Gc：3.检验超前校正结果校正后系统的开环传递函数为，根据该开环传递函数绘制Bode图，其MATLAB程序如下：s=tf('s');H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);margin(Gc*H)

[Gm2,Pm2,Wg2,Wp2]=margin(Gc*H)Gm2=13.7526，Pm2=47.7297，Wg2=214.1555，Wp2=37.6654由此结果可知，校正后系统的相位裕量Pm2为47.73°，满足本题目相位裕量Pm范围为43°～50°的设计要求。12.4相位“滞后-超前”无源校正网络采用“滞后-超前”复合校正方法比单独使用超前或滞后校正方法能满足更多的性能要求。“滞后-超前”校正器不仅能提高系统的稳定性能，还可以减少超调量、加快系统响应速度。12.4.1相位“滞后-超前”校正器的原理

串联滞后与串联超前校正两种方法的不同点有：（1）超前校正是利用超前网络的相角超前特性，滞后校正是利用滞后网络的高频幅值衰减特性。（2）为满足稳态性要求，采用无源校正网络时，超前校正一定的附加增益1/a，而滞后校正一般不需要附加增益。（3）对于同一系统，超前校正系统带宽大于滞后校正的系统的系统带宽。从提高响应速度方面看，带宽越大越好，但带宽越大，则系统越易受噪声干扰影响，因此如果系统输入噪声电平高，不宜选用超前。（4）超前网络校正使系统的截止频率增大，滞后校正使系统的截止频率减小。（5）串联超前校正的特点和局限性：超前校正利用其PD网络的相位超前特性，可以增大系统的稳定裕度，提高动态响应的平稳性和快速性；超前校正对提高系统稳态精度作用不大，系统抗干扰能力有所下降（一般用于稳态精度已基本满足要求，但动态性能差的系统）；若在未校正系统的截止频率附近相位下降迅速，导致单个超前网络的相角超前量不足以补偿到要求的数值时（一般：）。闭环带宽要求。由于串联超前网络会使截止频率比原先增大，当需补偿相角超前量过大时，会使1/a取的很大，截止频率过高，对于有些系统克服高频噪声不利。若采用两个超前网络串联，会使系统结构复杂，同时进一步降低了抗干扰能力，此时可考虑采用串联滞后校正或其它校正装置。对于固有系统频率特性在截止频率附近相角迅速减小系统，不宜用串联超前校正。（6）串联滞后校正器的应用：串联滞后校正基本原理主要是利用其PI网络相位滞后的高频衰减特性，以降低系统的开环截止频率，从而使已校正系统获得足够的相角裕度。用于对系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的场合。若待校正系统已具备满意的动态特性，而稳态性能不满足指标要求，也可采用串联滞后校正来提高稳态精度，同时保持其动态特性基本不变。“滞后-超前”校正“滞后-超前”校正包含PI和PD这两种控制，其对系统性能的影响是上述两种控制对系统作用的综合，这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，因此可以取长补短，进行合理的应用以期取得更好的校正效果。“滞后-超前”校正装置一般用在校正响应慢且稳态精度低的系统中。即已校正系统响应速度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。当未校正系统不稳定，且对校正后的系统的动态和静态性能（响应速度、相位裕度和稳态误差）均有较高要求时，显然仅采用上述超前校正或滞后校正，均难以达到预期的校正效果。此时宜采用串联“滞后-超前”校正。“滞后-超前”校正利用超前部分增加系统相角裕度，PD部分发生在中频段，以改善系统的动态性能。利用滞后部分改善稳态性能，应使PI部分发生在低频段，以提高系统的稳态性能。因此相位“滞后-超前”校正器（PID）是PI和PD校正器组成，既有“滞后”又有“超前”校正作用的校正器，两者分工明确，相辅相成。如图12-4-1所示。“滞后-超前”校正器的传递函数为：（12.4.1）

式中，，，a=1/b、b＞1、a＜1。分别为超前和滞后校正器传递函数。

图12-4-1无源“滞后-超前”网络“滞后-超前”校正器Bode图，如图12-4-2所示。“滞后-超前”校正后的幅频特性曲线，如图12-4-3所示。在校正后的系统的开环截止频率Wp2处，“滞后-超前”网络的最大幅值衰减量：（12.4.2）图12-4-2“滞后-超前”校正器Bode图图12-4-3“滞后-超前”校正前后的幅频特性曲线12.4.2“滞后-超前”校正器的设计“滞后-超前”校正器的Bode图设计方法和步骤，是先计算滞后校正器的参数，然后计算超前校正器的参数，最后绘制原系统与“滞后-超前”校正器串联后的开环传递函数的Bode图，以及构成单位负反馈控制系统的单位阶跃响应曲线。串联“滞后-超前”校正的设计步骤如下：（1）根据稳态性能要求，确定开环增益K；（2）绘制未校正系统的对数幅频特性，求出未校正系统的截止频率Wp1、相位裕度Pm1及幅值裕度Gm1。（3）根据系统对相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率Wb。（4）对于“滞后-超前”校正装置而言，要将滞后效应设置在低频段，超前效应设置在中频段，以发挥滞后校正和超前校正的优势，从而全面提高系统的动态和稳态精度。使中频段斜率为-20dB/dec，确定Wa。

通常，在未校正系统对数幅频特性上，选择斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率Wa。这种选法可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为-20dB/dec，并占据较宽的频带。（5）根据响应速度要求，选择校正后系统的开环截止频率Wp2。（6）根据等式求出衰减因子1/a。（7）校验已校正系统的各项性能指标。例12-4-1“滞后-超前”校正器的Bode图设计已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为：设计系统的“滞后-超前”校正器，使之满足：（1）在斜坡信号作用下，v0=1，系统的速度误差系数Kv=10s-1；（2）校正后系统的相位裕量Pm范围为：50°～60°。（3）校正后系统的剪切频率Wp2≥1rad/s。解：1.求出系统开环增益、检验原系统性能指标（1）给出受控对象传递函数和性能指标：稳态误差指标、相位裕量或者剪切频率。根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益K。由速度误差系数Kv定义并有：所以，原系统开环增益K=10。则被控对象的传递函数为（2）根据求得的开环增益K，画出系统校正前的Bode图和阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量Gm1、相位裕量Pm1、剪切频率Wp1。检验这些性能指标是否符合要求。程序见课本。

程序运行后，得到系统校正前的Bode图，如图12-4-3所示。计算结果为：Gm1=0.2917，Pm1=-29.5911，Wg1=1.4434，Wp1=2.4922校正前系统的增益裕量Gm1=0.2917（即-10.7dB）、相位裕量Pm1=-29.59°、剪切频率Wp1=2.49rad/s。系统的增益裕量Gm1和相位裕量Pm1均为负值，系统是不稳定的，阶跃响应曲线也是发散的。闭环系统单位阶跃响应曲线如图12-4-4所示。图12-4-3校正前的Bode图图12-4-4闭环系统单位阶跃响应曲线在bode图上，根据系统期望相位裕量Pm2的要求值求出期望剪切频率Wp2。求剪切频率可采用MATLAB中的插值函数spline()来计算。其MATLAB程序如下：Pm2=55;phim=-180+Pm2+5;[mu,phi,w]=bode(H);Wp2=spline(phi,w,phim);Wp2=2*Wp2;T1=10/Wp2由于超前网络校正使系统的截止频率增大，滞后校正使系统的截止频率减小。由滞后网络求出的剪切频率往往偏小，不能满足超前网络的要求。因此剪切频率Wp2是一个可调整参数，在许多实例中往往采用凑试法，调节Wp2的值，直到满足系统要求的性能指标为止。在此例中Wp2的值增加1.6～2倍，可以同时满足超前和滞后环节的要求。（3）求b和滞后校正器传递函数在原系统串联滞后校正后再串联超前校正。若原系统串联滞后校正器后的幅频分贝值为G1（dB），那么在经过“滞后-超前”校正后的期望剪切频率Wp2处，应该满足（12.2.7）式：即由此可求出滞后校正器传递函数，其MATLAB程序如下：Hw=K/(j*Wp2*(0.8*j*Wp2+1)*(0.6*j*Wp2+1));b=abs(Hw)G1=tf([T11],[b*T11])3.求超前校正器的传递函数超前校正器传递函数参数的确定。超前校正器传递函数为，a＜1在原系统被串联滞后校正后的传递函数上按照超前校正器的设计步骤，求出超前校正器传递函数，即先求出被串联滞后校正后传递函数的幅频关系，根据（12.3.12）式采用MATLAB中的插值函数spline()来计算Adb(w)在自己最大值10lga发生处的值w，即wm。利用关系求超前校正器传递函数中的T2，MATLAB程序如下：Gc1=H*G1;[mu,pu,w]=bode(Gc1);[mag,phase,w]=bode(Gc1);a=1/b;Adb=20*log10(mag);Adbmax=10*log10(a);Wm=spline(Adb,w,Adbmax);T2=1/(Wm*sqrt(a))G2=tf([T21],[a*T21])4.求“滞后-超前”校正器的传递函数根据求出的“滞后”和“超前”校正器的传递函数，即可求出“滞后-超前”校正器的传递函数，其完整的MATLAB程序参阅课本程序计算结果为：Gm0=4.0542，Pm0=50.2706，wg0=3.5011，wp0=1.4995。即校正后系统的增益裕量Gm0=12.3146dB、相位裕量Pm0=51.4825°、剪切频率wp0=1.4976rad/s，均满足题目设计要求，系统在20s后趋于稳定。“滞后”校正器的传递函数为，“超前”校正器的传递函数为，“滞后-超前”校正器的传递函数为：绘制出经“滞后-超前”校正后的Bode图，如图12-4-5所示。单位阶跃响应曲线，如图12-4-6所示。“滞后-超前”校正器的Bode图，如图12-4-7所示。图12-4-5“滞后-超前”校正后的Bode图图12-4-6单位阶跃响应曲线图12-4-7“滞后-超前”校正器的Bode图12.5控制系统的基本环节无源校正网络常因负载效应的影响而削弱了校正的作用，或使网络参数难以选择，故目前在实际控制系统中，多采用以运算放大器组成的有源校正部件组成控制环节。最常见的调节器控制规律为比例（P）、积分（I）、微分（D）控制，比例积分（PI）、比例微分（PD）和PID控制器。12.5.1比例环节比例（P：Proportion）控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系，即输入误差信号乘以一个固定的比例系数（可以是正或负）就是输出的控制信号。当系统中仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-stateerror）。比例控制环节实际就是一个线性放大器，比例系数就是放大器的放大倍数，其原理图和方框图如图12-5-1所示。系统函数为：（12.5.1）当反相输入单位阶跃信号，即=-1时，则，所以输出响应为：。即输出为K倍的阶跃信号。比例环节的传递函数是一个常数K，特点是输出与输入成比例K，无失真和时间延迟，二者形状相同。对于一个单回路调节系统，在单纯的比例环节作用下，被调量变化多少，输出的调节变化量就是被调量变化量的K倍，输出的波形与被调量的波形完全相似。由于K可正可负，其调节作用就有正调节或负调节：（1）对于正作用的调节系统（K>0），顶点、谷底均发生在同一时刻。被调量的曲线上升，输出曲线就上升；被调量曲线下降，输出曲线就下降，两者趋势完全一样。（2）对于负作用的调节系统（K<0），被调量的顶点就是输出的谷底，被调量的谷底就是输出的顶点。被调量曲线和输出曲线相对应，波动周期完全一致，波动方向相反。如图12-5-2所示。（3）比例环节的作用是放大误差的幅值，只要被调量变化，输出就随着变化；如果被调量不变化，不管静态偏差有多大，输出也不会变化。具有比例控制规律的，或者说具有比例环节的控制器称为比例控制器，简称为P控制器，K是控制器的增益。在串联校正系统中，增大K的值，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度。但会降低系统的相对稳定性，甚至可以造成闭环系统的不稳定。因此，在系统校正中一般很少单独使用P控制。

图12-5-1比例环节原理图和方框图图12-5-2比例环节输入输出波形12.5.2惯性环节惯性环节的特点是，当输入信号ui(t)作阶跃变化时，输出uo(t)不能立刻达到稳态值，瞬态输出以指数规律变化。惯性环节的原理图如图12-5-3所示。其传递函数为：（12.5.2）式中，K=R2/R1，T=R2*C框图如图12-5-4（a）所示。当反相输入单位阶跃信号，即时，，则，所以输出响应为：。其输出波形如图12-5-4(b)所示。例12-5-1惯性环节的一阶单位阶跃响应一阶惯性环节的传递函数求单位阶跃响应。解：>>num=[0,1];>>den=[0.5,1];>>step(num,den)一阶惯性环节的单位阶跃响应的输出波形如图12-5-5所示。图12-5-3惯性环节原理图图12-5-4惯性环节框图和输出波形图12-5-5一阶惯性环节单位阶跃响应12.5.3积分环节与比例积分环节1.积分环节在积分（I：integration）控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。积分环节原理图如图12-5-6（a）所示。当输入为单位阶跃信号时，输出波形为输入对时间的积分，输出随时间呈直线增长。其传递函数为：

，T=R1*C（12.5.3）当输入为单位阶跃信号，输出响应为。在系统校正中一般很少单独使用积分控制。2.比例积分（PI）环节对一个自动控制系统，在进入稳态后如果存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。比例积分（PI）控制，即“比例（P）+积分（I）”控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。比例积分环节原理图如图12-5-7（a）所示。传递函数为：其中，K=R2/R1，T=R2*C（12.5.4）当输入为单位阶跃信号时，