2025年山东威海市高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若，则（

）A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或12．若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，则（

）A．40 B．45 C．50 D．554．某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（

）A．87.5 B．85 C．82.5 D．805．已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1:2:3，高为4，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．7．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数的部分图象如图所示，则（

）A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为C．在上单调递增 D．的图象关于原点对称10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，则（

）A．过A作的垂线，垂足为，若，则B．若直线BO与交于点，则直线AP平行于轴C．以线段BF为直径的圆上的点到的最小距离为1D．以线段AB为直径的圆截轴所得弦长的最小值为11．已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量满足，则与的夹角为．13．有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．14．在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在中，角所对的边分别为．(1)求；(2)若是边BC上一点，，求的面积．16．如图，在直平行六面体中，点在棱上．(1)若平面，证明：；(2)若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为为上两点，线段AB中点的横坐标为，当轴时，．(1)求的方程；(2)当AB不垂直轴时，设线段AB的中垂线与轴的交点为，求．18．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围；(3)设为非负实数，为正实数，若，证明：．19．设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表．(1)写出该数表第4行各项的数；(2)求；(3)设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解.【详解】由，得，因为，所以，因为集合，所以或，解得或（不合题意舍去），所以或2.故选：B.2．B【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果.【详解】，，故选：B.3．D【分析】由等差数列下标和的性质可得，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，即，则.故选：D4．C【分析】由中位数的定义，列出方程计算可得到结果.【详解】成绩落在的频率为，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为，因为，，所以中位数落在内，设中位数为，则，解得，故选：C.5．C【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以当时，单调递增，则，又函数的值域为，所以时，函数的值域要取到的所有实数，所以，当时，即时，函数单调递增，时，，当时，，即，所以，即的取值范围是.故选：C6．B【分析】设上底面的半径为，根据题设条件求出后可求圆台的体积.【详解】设上底面的半径为，则下底面的半径为，母线长为，故，故，故圆台的体积为，故选：B.7．B【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可.【详解】求导可得，由题意有解，即有解，即有解，令，因为，易知在单调递增，此时，所以，又，，所以，解得：，所以的取值范围是.故选：B.8．C【分析】利用双曲线的定义和余弦定理可求答案.【详解】设，则，；因为，所以，在中，，解得；在中，，解得，所以离心率为.故选：C9．AD【分析】通过图象确定函数解析式，再结合对称性、单调性、值域逐个判断即可.【详解】由图象可知：，，得，所以，即，再由五点作图法可得：，得，所以，对于A，当时，，故的图象关于直线对称，正确；对于B，当时，，则，错误；对于C：当时，，正弦函数在不单调，故C错误；对于D，，易知是奇函数，D正确，故选：AD10．BCD【分析】对于A，由抛物线定义结合题意可得为等边三角形，，据此可得答案；对于B，设A，将直线AB方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得，然后可得，说明A，P两点纵坐标相同可判断选项正误；对于C，取中点为，过B，做准线垂线，垂足为J，K，则线段BF为直径的圆上的点到的最小距离为，然后由抛物线定义结合梯形中位线定理可判断选项正误；对于D，设以线段AB为直径的圆，与轴交于，由可得为两根，然后由韦达定理可表示，据此可判断选项正误.【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为.对于A，如图，设准线与y轴交于l，由抛物线定义可得，结合，则为等边三角形，又由题可得，，则，故A错误；对于B，设A，因直线过F，设直线，将直线与抛物线联立，有，由韦达定理，，则，又，令，则，注意到，因，则，则A，P两点纵坐标相同，则直线AP平行于轴，故B正确；对于C，取中点为，过B，做准线垂线，垂足为J，K，则线段BF为直径的圆上的点到的最小距离为.注意到，又为中点，则为LJ中点，则，结合，则，故C正确；对于D，设以线段AB为直径的圆，与轴交于，注意到，化简后可得，则为两根，则，则,当且仅当，即AB垂直于x轴时取等号.故D正确故选：BCD11．ABD【分析】根据为奇函数可得及，求导后可判断AC的正误，对于B，由求导后可判断其正误，对于D，可证，故可得，由的单调性及对称性可判断D的正误.【详解】因为为奇函数，故，令则，因为故，故，故A正确.对于B，因为，则，故，故B正确.对于C，因为，，故，故，故C错误.对于D，因为为上的增函数，故，而，故当时，，当时，，故当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，而，故为图象的对称轴，故，设，其中，故为上的增函数，故，故，故，故，故即，故D正确.故选：ABD.12．##【分析】利用垂直向量的数量积为0可求得，然后由向量夹角公式可解.【详解】因为，所以，得,因为，所以与的夹角为.故答案为：13．##0.4【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解.【详解】由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球1个红球.①从甲袋中取出2个白球的概率为，放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为；②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为，放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为，综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球为红球的概率为.故答案为：14．##【分析】由三棱锥的体积最大确定的位置及到的中点的距离，再由的值，求出的值，从而确定的轨迹，进而求解即可.【详解】在三棱锥中，平面，当该三棱锥的体积最大时，底面的面积必须最大，由于为直角三角形，且，的轨迹是以的中点为圆心，的长为直径的圆，故当，的面积最大，此时为等腰直角三角形，，三棱锥的体积最大值为.又平面，平面，，又，，平面.为侧面内的动点，平面，，，，点在以为圆心，为直径的圆上，的轨迹与所围成区域为以为圆心，2为半径的个圆和一个以为直角边的等腰直角三角形，所围成区域的面积为.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）根据二倍角公式及两角差的余弦可得，故可得，从而可求得.（2）法1：，在、中分别利用余弦定理可得的关系，从而求得故可求面积；法2：利用向量的线性运算可得，平方后可得的关系，再结合余弦定理可得的值，从而可求面积.【详解】（1）由题设有即即.因为，所以，即，所以，又，所以或，所以（舍）或，因为，所以（2）法一：设，则，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由，可得，在中，由余弦定理可得，所以可得所以法二：设，则，而，故，故，所以，可得，在中，由余弦定理可得，所以可得，所以．16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质定理可得，结合为的中点，得证；（2）由题可得，在中，由勾股定理求得，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，结合平面与平面所成角的正弦值为，求解得到答案.【详解】（1）连接交于点，连接，因为平面平面，平面平面，所以，因为为直平行六面体，所以为平行四边形，可得为的中点，所以为的中点，即.（2）因为，所以平行四边形为菱形，所以，由直平行六面体，可得平面，所以，又，所以平面，所以为直线与平面所成的角，故，因为，可得为等边三角形，设，则，所以，在中，由勾股定理可得，所以，取的中点，连接，则，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，设平面的一个法向量为，则，可得，令，则，又是平面的一个法向量，因为平面与平面所成角的正弦值为，所以平面与平面所成角的余弦值为，则，解得，所以．17．(1)(2)【分析】（1）先由离心率求出a,b的关系，再由题干关于A,B两点的条件求出其坐标，代入椭圆方程，联立两个方程即可求得结果.（2）利用点差法得到点Q的坐标，再根据垂直斜率互为负倒数得到等式即可求得结果.【详解】（1）由题意知，离心率，可得，①因为轴且线段AB中点的横坐标为，所以直线AB的方程为，因为，所以A，B的坐标分别为，代入的方程，可得，②联立①②解得，所以的方程为（2）设，线段AB中点为，直线AB的斜率为，因为，所以，可得，即，所以，可得，因为线段AB的中垂线与轴的交点为，设，所以，所以，解得，所以18．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，通过和讨论函数单调性，即可求解；（2）设切点为，求的切线方程，代入，问题转换成方程有三个根，构造函数，则有3个零点，进而求解即可；（3）不妨设，通过或时，或，三种情况分类讨论即可.【详解】（1）当时，，当时，，所以在上单调递增，所以无极值；当时，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以的极大值为，综上可知，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．（2）设切点为，因为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，因为曲线有三条过点的切线，所以关于的方程有3个解，令，则有3个零点，因为，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以，可得，所以（3）不妨设，当时，左边，右边，所以左边右边，当时，左边，右边，所以左边=右边，当时，因为s，t为正实数，，所以，要证，即证，即证，即证，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，即，综上可知，19．(1)17，18，20，24(2)(3)【分析】（1）由图中规律，直接得到结果；（2）由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果；（3）由等比数列的求和公式可得数表第行所有项的和，再