金融工程经典例题(带答案)

金融工程经典例题(带答案)利率互换例题某公司A和公司B面临如下的利率：||固定利率|浮动利率||---|---|---||公司A|10%|LIBOR+0.3%||公司B|11.2%|LIBOR+1%|假设A公司希望以浮动利率借款，B公司希望以固定利率借款。一家金融机构计划安排A、B公司之间的利率互换，并要得到0.2%的利差，且使A、B公司平分互换带来的额外收益。问题分析首先，我们需要计算出两家公司在固定利率和浮动利率市场上的比较优势。公司A在固定利率市场上有比较优势，因为其固定利率比公司B低（10%<11.2%）；公司B在浮动利率市场上有相对劣势，因为其浮动利率比公司A高（LIBOR+1%>LIBOR+0.3%）。总的互换潜在收益是两家公司在固定利率和浮动利率市场上的利差之差，即(11.2%-10%)-((LIBOR+1%)-(LIBOR+0.3%))=1.2%-0.7%=0.5%。金融机构要拿走0.2%的利差，那么留给A、B公司平分的额外收益就是0.5%-0.2%=0.3%，每家公司可获得0.3%÷2=0.15%的额外收益。具体方案设A公司支付给金融机构的浮动利率为LIBOR，金融机构支付给A公司的固定利率为x；金融机构支付给B公司的浮动利率为LIBOR，B公司支付给金融机构的固定利率为y。对于A公司，原本以浮动利率借款需支付LIBOR+0.3%，通过互换，其实际支付为LIBOR+x-LIBOR=x，要获得0.15%的额外收益，则x=10%-0.15%=9.85%。对于B公司，原本以固定利率借款需支付11.2%，通过互换，其实际支付为y+LIBOR-LIBOR=y，要获得0.15%的额外收益，则y=11.2%-0.15%=11.05%。金融机构的利差为y-x=11.05%-9.85%=1.2%，刚好符合金融机构拿走0.2%利差的要求。答案总结A公司与金融机构的互换安排：A公司向金融机构支付LIBOR，金融机构向A公司支付9.85%的固定利率。B公司与金融机构的互换安排：B公司向金融机构支付11.05%的固定利率，金融机构向B公司支付LIBOR。这样，A公司实际支付的利率为LIBOR+9.85%-LIBOR=9.85%，比直接以浮动利率借款节省了0.15%；B公司实际支付的利率为11.05%，比直接以固定利率借款节省了0.15%；金融机构获得了0.2%的利差。期权定价例题假设股票当前价格为50元，无风险利率为5%（连续复利），股票波动率为30%，期权期限为6个月，执行价格为52元。使用布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型计算欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格。布莱克-斯科尔斯模型公式欧式看涨期权价格公式：$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$欧式看跌期权价格公式：$P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)$其中：$d_1=\frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$$S_0$为股票当前价格，$K$为执行价格，$r$为无风险利率，$\sigma$为股票波动率，$T$为期权期限，$N(x)$为标准正态分布的累积分布函数。具体计算过程已知$S_0=50$元，$K=52$元，$r=0.05$，$\sigma=0.3$，$T=\frac{6}{12}=0.5$年。首先计算$d_1$：\[\begin{align}d_1&=\frac{\ln(\frac{50}{52})+(0.05+\frac{0.3^{2}}{2})\times0.5}{0.3\sqrt{0.5}}\\&=\frac{\ln(0.9615)+(0.05+0.045)\times0.5}{0.3\times0.7071}\\&=\frac{-0.0397+(0.095)\times0.5}{0.2121}\\&=\frac{-0.0397+0.0475}{0.2121}\\&=\frac{0.0078}{0.2121}\approx0.0368\end{align}\]然后计算$d_2$：$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}=0.0368-0.3\times0.7071=0.0368-0.2121=-0.1753$查标准正态分布表可得：$N(d_1)=N(0.0368)\approx0.5147$$N(d_2)=N(-0.1753)=1-N(0.1753)\approx1-0.5695=0.4305$$N(-d_1)=1-N(d_1)\approx1-0.5147=0.4853$$N(-d_2)=1-N(d_2)\approx1-0.4305=0.5695$计算欧式看涨期权价格$C$：\[\begin{align}C&=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\\&=50\times0.5147-52\timese^{-0.05\times0.5}\times0.4305\\&=25.735-52\times0.9753\times0.4305\\&=25.735-22.04\\&=3.695\end{align}\]计算欧式看跌期权价格$P$：\[\begin{align}P&=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)\\&=52\timese^{-0.05\times0.5}\times0.5695-50\times0.4853\\&=52\times0.9753\times0.5695-24.265\\&=29.04-24.265\\&=4.775\end{align}\]答案总结欧式看涨期权的价格约为3.695元，欧式看跌期权的价格约为4.775元。期货套期保值例题某航空公司预计在3个月后需要购买200万加仑的航空燃油。当前航空燃油的现货价格为每加仑1.2美元，3个月期的航空燃油期货价格为每加仑1.25美元。为了对冲燃油价格上涨的风险，该航空公司决定进行期货套期保值。问题分析航空公司面临燃油价格上涨的风险，通过买入期货合约可以锁定未来购买燃油的价格。具体操作该航空公司应买入的期货合约数量为：由于每手期货合约的交易规模通常为42000加仑，所以需要买入的期货合约数量$n=\frac{2000000}{42000}\approx47.62$，向上取整为48手。情景分析情景一：3个月后燃油价格上涨假设3个月后，航空燃油的现货价格上涨到每加仑1.35美元，期货价格上涨到每加仑1.4美元。在现货市场上，航空公司购买200万加仑燃油需花费$2000000\times1.35=2700000$美元。在期货市场上，航空公司买入48手期货合约，每手42000加仑，买入成本为$48\times42000\times1.25=2520000$美元，卖出平仓收入为$48\times42000\times1.4=2822400$美元，期货市场盈利为$2822400-2520000=302400$美元。航空公司购买燃油的实际成本为$2700000-302400=2397600$美元，实际每加仑成本为$\frac{2397600}{2000000}=1.1988$美元，接近最初的期货价格1.25美元。情景二：3个月后燃油价格下跌假设3个月后，航空燃油的现货价格下跌到每加仑1.1美元，期货价格下跌到每加仑1.15美元。在现货市场上，航空公司购买200万加仑燃油需花费$2000000\times1.1=2200000$美元。在期货市场上，航空公司买入48手期货合约，买入成本为$48\times42000\times1.25=2520000$美元，卖出平仓收入为$48\times42000\times1.15=2318400$美元，期货市场亏损为$2520000-2318400=201600$美元。航空公司购买燃油的实际成本为$2200000+201600=2401600$美元，实际每加仑成本为$\frac{2401600}{2000000}=1.2008$美元，也接近最初的期货价格1.25美元。答案总结该航空公司应买入48手航空燃油期货合约进行套期保值。通过套期保值，无论3个月后燃油价格上涨还是下跌，航空公司都能将购买燃油的实际成本锁定在接近期货价格的水平，有效对冲了燃油价格波动的风险。二叉树期权定价例题考虑一个2期的二叉树模型，股票初始价格$S_0=50$元，每期的时间间隔$\Deltat=1$年，无风险利率$r=0.05$（连续复利），股票价格上涨因子$u=1.2$，下跌因子$d=\frac{1}{u}=\frac{1}{1.2}\approx0.8333$，执行价格$K=52$元的欧式看涨期权。计算风险中性概率风险中性概率$p=\frac{e^{r\Deltat}-d}{u-d}$$e^{r\Deltat}=e^{0.05\times1}\approx1.0513$$p=\frac{1.0513-0.8333}{1.2-0.8333}=\frac{0.218}{0.3667}\approx0.5945$构建二叉树第1期上涨后的股票价格$S_{u}=S_0\timesu=50\times1.2=60$元下跌后的股票价格$S_{d}=S_0\timesd=50\times0.8333=41.67$元第2期两次上涨后的股票价格$S_{uu}=S_0\timesu^2=50\times1.2^2=72$元一次上涨一次下跌后的股票价格$S_{ud}=S_0\timesu\timesd=50\times1.2\times0.8333=50$元两次下跌后的股票价格$S_{dd}=S_0\timesd^2=50\times0.8333^2\approx34.72$元计算期权到期时的价值$C_{uu}=\max(S_{uu}-K,0)=\max(72-52,0)=20$元$C_{ud}=\max(S_{ud}-K,0)=\max(50-52,0)=0$元$C_{dd}=\max(S_{dd}-K,0)=\max(34.72-52,0)=0$元倒推计算期权价格第1期上涨节点的期权价值$C_{u}=e^{-r\Deltat}(pC_{uu}+(1-p)C_{ud})$$C_{u}=e^{-0.05\times1}(0.5945\times20+(1-0.5945)\times0)\approx0.9512\times11.89=11.31$元第1期下跌节点的期权价值$C_{d}=e^{-r\Deltat}(pC_{ud}+(1-p)C_{dd})$$C_{d}=e^{-0