广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题（有解析）

阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试高二数学注意事项：1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。2试卷第2页，共6页A．4B．-4C．1y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数fg(x)=[f(x)]，则下列叙述中A．g(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数D．g(x)的值域是{-1,0,1}试卷第4页，共6页(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x时，f(x)的最小值为4，求m的值．(1)计算样本的平均数x和方差s2；18(17分)．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN//平面ABCD；(2)求证：CD丄平面PAD；(3)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．试卷第6页，共6页xy小值.阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试高二数学试题解析版2025年9月12日一、单选题【答案】D【详解】因为集合B是所有非正整数组成的集合，所以A∩B={-1,0}．2．已知f(x)=ax2+bx是定义在[2a-3,4a]上的偶函数，那么a+b的值是()【答案】D【详解】因为f(x)=ax2+bx是定义在[2a-3,4a]上的偶函数，所以2a-3+4a=0，解得a=，所以定义域为[-2,2]又f(-x)=f(x)，所以a(-x)2+b(-x)=ax2+bx，所以2bx=0，又x∈[-2,2]，所以b=0，所以3．若复数z（i为虚数单位则z=()【答案】B【详解】由3-4i=(323225．已知3sinx-4cosx=0，则cos2x=()【答案】A【详解】因为3sinx-4cosx=0，且sin2x+cos2x=1，所以cos2x+cos2x=1，cos2x，则A．4B．-4C．1试卷第2页，共6页7．一组不全相等的数据x1,x2,…,xn(n≥4)，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是()A．极差B．中位数C．平均数D．众数【答案】C【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误；B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误；C，设原平均数为S=，假设去掉最大值xn后平均数不变，则S，所以S解得S=xn，由原数据不全相等，可得S<xn，矛盾，所以平均数一定改变，C正确；D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误．8．已知α,β为锐角，且sin则tanβ的最大值.sinα=，:cosαsinα=(sin2α+2)tanβ,Qα为锐角，:tanα>0，:tan1，当且仅当3tanα=，即tanα=tanα时取等号，:tanβ最大值为．二、多选题A．若复数z为实数，则z=0B．若复数z为纯虚数，则m=±2C．当m=1时，|z|=·、/10D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限【答案】ACD【详解】对于A，依题意可得m一2=0，即m=2，则z=0，故A正确；10．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则()A．这组数据的极差为4B．这组数据的方差为2C．这组数据的众数等于平均数D．这组数据的第70百分位数为2025【答案】ACD【详解】A：由数据知，极差为2026一2022=4，对；B：平均数为=2024，则方差6s2C：众数为2024，即与平均数相等，对；D：由6×70%=4.2，则数据的第70百分位数为2025，对.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[3.5]=4，[2.1]=2.已知函数f，g(x)=[f(x)]，则下列叙述中正确的是()A．g(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数D．g(x)的值域是{—1,0,1}【答案】BC【详解】依题意，函数f的定义域为R，对于A，gg(1)≠g(—1)，函数g(x)不是偶函数，A错；对于B，f则函数f(x)是奇函数，B正确；对于C，函数y=1+2x在R上单调递增，则函数f在R上是增函数，C正确；三、填空题12．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长【答案】8【详解】设圆柱的母线长为l，则圆柱的侧面积为2πrl=2πl，314．已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为【答案】4【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径R=3，设正三棱锥的底面边长为2、a，高为h，则正三角形的外接圆的半径为2a，所以(2a)2+(h—R)2=R2，即4a2+(h—3)2=9，所以4a2222h2h所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4.四、解答题试卷第4页，共6页(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x∈「|L0,|时，f(x)的最小值为4，求m的值．2π∴T==π.........................................................................................................................................................................4分；2π2由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤:函数的单调递增区间为「|Lkπ-,kπ+|(k∈Z)．.........................................................................................................7分；,16(15分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：(1)计算样本的平均数x和方差s2； 2(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若|x-10|>3.25s，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标【详解】（1）x==9.9，...............................................s2=0.04.................................................................7分；（2）因为|x-10|2=0.12=0.01，.................10分.....................................13分；2所以x-10<3.25·,故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．.........................................................................15分.217(15分)．记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且asinC=c(1+cosA).(1)求A；(2)若a=2,△ABC的周长为6，求VABC的面积.即sin(|(A-),=...................................................................................................................................................................6分；因为A∈(0,π)，所以A=....................................................................................................................................................7分；（2）由（1）得A=.由a=2,△ABC的周长为6，得b+c=4.......................................................................................9分；由cosA..................................................................................................................................................11分；，........................................................................................................................13分；故bc=4，所以S△ABCbcsinA...........................................................................................................15分.18(17分)．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN//平面ABCD；(2)求证：CD丄平面PAD；(3)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【详解】（1）在△PAB中，M，N分别是PA，PB的中点，:MN//AB，................................................................................................................2分；又MN丈平面ABCD，AB平面ABCD，:MN//平面ABCD．......................4分；（2）四边形ABCD是正方形，:AD丄CD，......................................................5分；又PA丄平面ABCD，CD平面ABCD，:PA丄CD，............................6分；又PA∩AD=A，且PA,AD平面PAD，...........................................................9分；（3）由（2）知，CD丄平面PAD，:PD为斜线PC在平面PAD上的射影，上CPD为直线PC与平面PAD所成的角．.....................................................................12分；:PC=·\=·、，....................................................................