2025年全国成人高等学校招生考试（数学（理）-高起点）综合能力测试题及答案

2025年全国成人高等学校招生考试（数学（理）-高起点）综合能力测试题及答案一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合\(A=\{x|-2<x<2\}\)，\(B=\{x|x\geq0\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{x|0\leqx<2\}\)B.\(\{x|x>-2\}\)C.\(\{x|0<x<2\}\)D.\(\{x|x\geq0\}\)答案：A解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合。已知\(A=\{x|-2<x<2\}\)，\(B=\{x|x\geq0\}\)，所以\(A\capB=\{x|0\leqx<2\}\)。2.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)答案：B解析：要使分式\(\frac{1}{x-1}\)有意义，则分母不能为\(0\)，即\(x-1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。所以函数的定义域是\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)答案：C解析：若两个向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，那么\(1\timesm-3\times2=0\)，即\(m-6=0\)，解得\(m=6\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B解析：根据三角函数的平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\)。因为\(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中\(\cos\alpha\lt0\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。5.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.\((0,2)\)B.\((0,-2)\)C.\((2,0)\)D.\((-2,0)\)答案：C解析：对于抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)。在抛物线\(y^{2}=8x\)中，\(2p=8\)，则\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=\frac{4}{2}=2\)，焦点坐标为\((2,0)\)。6.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，则\(a_{10}=\)（）A.\(18\)B.\(20\)C.\(22\)D.\(24\)答案：C解析：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，则\(a_3=a_1+2d=2+2d=6\)，解得\(d=2\)。所以\(a_{10}=a_1+9d=2+9\times2=2+18=22\)。7.函数\(y=2\sinx\cosx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：根据二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，则函数\(y=2\sinx\cosx=\sin2x\)。对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(y=\sin2x\)中\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。8.已知\(\log_{2}x=3\)，则\(x^{\frac{1}{2}}=\)（）A.\(2\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(4\)D.\(8\)答案：B解析：已知\(\log_{2}x=3\)，根据对数的定义可得\(x=2^{3}=8\)。则\(x^{\frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{2}}=(2^{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}\)。9.过点\((1,2)\)且与直线\(2x+y-3=0\)平行的直线方程是（）A.\(2x+y-4=0\)B.\(2x-y=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x-2y+3=0\)答案：A解析：设所求直线方程为\(2x+y+c=0\)（因为两直线平行，斜率相等，直线\(Ax+By+C=0\)的斜率为\(-\frac{A}{B}\)，这里\(A=2\)，\(B=1\)）。因为直线过点\((1,2)\)，将点代入方程可得\(2\times1+2+c=0\)，即\(4+c=0\)，解得\(c=-4\)。所以所求直线方程为\(2x+y-4=0\)。10.已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，且\(f(0)=2\)，\(f^\prime(0)=0\)，\(f^\prime(1)=-3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的值分别为（）A.\(a=-3\)，\(b=0\)，\(c=2\)B.\(a=3\)，\(b=0\)，\(c=2\)C.\(a=-3\)，\(b=3\)，\(c=2\)D.\(a=3\)，\(b=-3\)，\(c=2\)答案：A解析：首先，由\(f(0)=2\)可得：\(f(0)=0^{3}+a\times0^{2}+b\times0+c=2\)，所以\(c=2\)。对\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)求导得\(f^\prime(x)=3x^{2}+2ax+b\)。因为\(f^\prime(0)=0\)，则\(f^\prime(0)=3\times0^{2}+2a\times0+b=0\)，所以\(b=0\)。又因为\(f^\prime(1)=-3\)，所以\(f^\prime(1)=3\times1^{2}+2a\times1+b=3+2a+b=-3\)，把\(b=0\)代入可得\(3+2a+0=-3\)，即\(2a=-6\)，解得\(a=-3\)。综上，\(a=-3\)，\(b=0\)，\(c=2\)。11.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选出\(3\)人参加某项活动，要求至少有\(1\)名女生参加，则不同的选法有（）A.\(35\)种B.\(40\)种C.\(56\)种D.\(96\)种答案：A解析：“至少有\(1\)名女生参加”的对立事件是“没有女生参加”。从\(8\)人中选\(3\)人的选法有\(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)种。从\(5\)名男生中选\(3\)人的选法有\(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)种。所以至少有\(1\)名女生参加的选法有\(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=35\)种。12.已知函数\(y=f(x)\)是偶函数，且在\((-\infty,0)\)上是增函数，则\(f(-2)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)的大小关系是（）A.\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)B.\(f(1)\ltf(-2)\ltf(3)\)C.\(f(-2)\ltf(1)\ltf(3)\)D.\(f(3)\ltf(1)\ltf(-2)\)答案：A解析：因为函数\(y=f(x)\)是偶函数，则\(f(x)=f(-x)\)，所以\(f(1)=f(-1)\)，\(f(3)=f(-3)\)。又因为函数在\((-\infty,0)\)上是增函数，且\(-3\lt-2\lt-1\)，根据增函数的性质，当\(x_1\ltx_2\)时，\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，所以\(f(-3)\ltf(-2)\ltf(-1)\)，即\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)。13.若\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\)（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(-3\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A解析：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)（因为\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，则\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，代入上式可得\(\frac{2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3\)。14.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{7}{4}\)答案：A解析：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。已知渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，则\(e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)。15.已知球的表面积为\(16\pi\)，则该球的体积为（）A.\(\frac{32\pi}{3}\)B.\(\frac{64\pi}{3}\)C.\(32\pi\)D.\(64\pi\)答案：A解析：设球的半径为\(R\)，球的表面积公式为\(S=4\piR^{2}\)。已知球的表面积为\(16\pi\)，则\(4\piR^{2}=16\pi\)，即\(R^{2}=4\)，解得\(R=2\)。球的体积公式为\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}\)，将\(R=2\)代入可得\(V=\frac{4}{3}\pi\times2^{3}=\frac{4}{3}\pi\times8=\frac{32\pi}{3}\)。16.已知函数\(y=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)的图象过点\((1,1)\)，则\(a=\)（）A.\(2\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A解析：因为函数\(y=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)的图象过点\((1,1)\)，将点\((1,1)\)代入函数可得\(\log_{a}(1+1)=1\)，即\(\log_{a}2=1\)。根据对数的定义，若\(\log_{a}N=b\)（\(a\gt0,a\neq1\)，\(N\gt0\)），则\(a^{b}=N\)，所以\(a^{1}=2\)，即\(a=2\)。17.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangleABC\)的三边，且\(a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab\)，则角\(C=\)（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)答案：B解析：根据余弦定理\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)。已知\(a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab\)，将其代入可得\(\cosC=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)。因为\(0^{\circ}\ltC\lt180^{\circ}\)，所以\(C=60^{\circ}\)。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。18.函数\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定义域是______。答案：\([2,3)\cup(3,+\infty)\)解析：要使函数\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)有意义，则根式内的值须大于等于\(0\)，且分母不为\(0\)。由\(x-2\geq0\)，解得\(x\geq2\)；由\(x-3\neq0\)，解得\(x\neq3\)。所以函数的定义域是\([2,3)\cup(3,+\infty)\)。19.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^{2}+2n\)，则\(a_3=\)______。答案：\(7\)解析：\(a_3=S_3-S_2\)。先求\(S_3\)：\(S_3=3^{2}+2\times3=9+6=15\)。再求\(S_2\)：\(S_2=2^{2}+2\times2=4+4=8\)。所以\(a_3=S_3-S_2=15-8=7\)。20.已知圆\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0\)的圆心坐标为______，半径为______。答案：\((2,-3)\)；\(4\)解析：将圆的方程\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0\)转化为圆的标准方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)的形式，其中\((a,b)\)为圆心坐标，\(r\)为半径。配方可得：\(x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=3+4+9\)，即\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16\)。所以圆心坐标为\((2,-3)\)，半径\(r=4\)。21.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\)______。答案：\(5\)解析：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5\)。三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤。22.（本题满分12分）已知函数\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。解：（1）对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。在函数\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)中，\(\omega=2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）已知\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，则\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)。令\(t=2x+\frac{\pi}{6}\)，函数\(y=\sint\)在\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\)上单调递增，在\([\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]\)上单调递减。当\(t=\frac{\pi}{2}\)，即\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，\(2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)，\(x=\frac{\pi}{6}\)时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)，此时\(f(x)_{max}=2\times1=2\)。当\(t=\frac{7\pi}{6}\)，即\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)，\(2x=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\pi\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\)，此时\(f(x)_{min}=2\times(-\frac{1}{2})=-1\)。23.（本题满分12分）已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=2^{a_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。解：（1）设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，则\(S_3=3\times1+\frac{3\times(3-1)}{2}d=3+3d=9\)，解得\(3d=9-3=6\)，\(d=2\)。根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=1+(n-1)\times2=1+2n-2=2n-1\)。（2）由（1）知\(a_n=2n-1\)，则\(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}\)。\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}=\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}=2^{2n+1-(2n-1)}=2^{2}=4\)，且\(b_1=2^{2\times1-1}=2^{1}=2\)。所以数列\(\{b_n\}\)是以\(2\)为首项，\(4\)为公比的等比数列。等比数列的前\(n\)项和公式为\(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)），这里\(q=4\)，则\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3}\)。24.（本题满分12分）已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值和最小值。解：（1）对函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)求导得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\lt0\)时，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(0\ltx\lt2\)时，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0\)，函数\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt2\)时，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函数\(f(x)\)单调递增。所以函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。（2）计算函数在区间端点和极值点处的值：\(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=0^{3}-3\times0^{2}+2=2\)；\(f(2)=2^{3}-3\times2^{2}+2=8-12+2=-2\)；\(f(3)=3^{3}-3\times3^{2}+2=27-27+2=2\)。比较这些值可得，函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(-2\)。25.（本题满分13分）已知椭圆\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(m\)与\(k\)的关系。解：（1）椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，则\((\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}=a^{2}-b^{2}\)，化简可得\(b^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\)。椭圆过点\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，将点代入椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)得\(\frac{(\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{b^{2}}=1\)，即\(\frac{3}{a^{2}}+\frac{