2025中考数学总复习《锐角三角函数》及一套参考答案详解

中考数学总复习《锐角三角函数》考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某山坡坡面的坡度，小刚沿此山坡向上前进了米，小刚上升了（）A．米 B．米 C．米 D．米2、在中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，则下列式子一定成立的是（）A． B． C． D．3、如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（）A．米 B．米 C．米 D．米4、计算的值等于（）A． B．1 C．3 D．5、如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（）

A． B． C． D．130m第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝45°，则MN＝_____．2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______．3、若点在反比例函数的图象上，则的值为__________．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝，则sin∠DEB的值为___．5、在矩形ABCD中，BC＝3AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为__________________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出等腰，点在小正方形的顶点上，的面积为；（2）在方格纸中画出以为斜边的，点在小正方形顶点上，，连接，并直接写出的长．2、计算：3、抛物线与轴相交于两点(点在点左侧),与轴交于点,其顶点的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求的正切值；（3）点在线段的延长线上,且,求的长．4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求⊙O的半径．5、如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛C在北偏东和北偏东方向上，已知小岛C周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．6、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了米，则水平前进了米．根据勾股定理可得：．解得．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B．【点睛】考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度垂直高度水平宽度是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：，则，A选项错误，不符合题意；，则，B选项正确，符合题意；，则，C选项错误，不符合题意；，则，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝即可解决．【详解】：解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，∴tan65°＝，∴BO＝30•tan65°米．故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边．4、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：．故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．5、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到＝＝，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB．【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF，DF＝CE，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝＝tan53°，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝tan53°，∵tan53°≈，∴＝＝，∴AF＝CF，CE＝BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB＝＝30．故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．二、填空题1、3【解析】【分析】根据题意作辅助线，构建三角形相似，先证明△DMC∽△DNO，得DMDC=DNDO，由夹角是公共角得：△DMN∽△DCO，得【详解】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC＝6，∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠DMC＝∠DNO＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DMC∽△DNO，∴DMDN=DC∵∠D＝∠D，∴△DMN∽△DCO，∴MNCO∵CN⊥OB，∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝DNOD∴MNOC∵OC＝6，∴MN6∴MN＝.故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠B和∠A的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出△ACB和扇形ACD、扇形BDE的面积，最后求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，∴由勾股定理得：AB=4，∴，∴∠B＝30°，∠A＝60°，由题意，AC=AD=2，则BD=AB-AD=2，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形ACD﹣S扇形BDE，故答案为：．【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．3、【解析】【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，则=．【详解】∵点P在反比例函数的图象上∴故P点坐标为（12，5）故OH=12，PH=5在中满足勾股定理∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键．4、【解析】【分析】由题意可得，∠DEB=∠EBC，求得CE、的边即可求解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴，∠DEC=90°∴∠DEB=∠EBC，DEBC又∵D是斜边AB的中点，∴AB=2AD，∴DEBC=AD在Rt△CDE中，CD=13，DE=2，∴CE=在中，BE=BC∴sin∠DEB=故答案为：．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，涉及了平行线分线段成比例的性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．5、或14##14或【解析】【分析】由题意可知当P在AB上时，P是AB的中点，即AB=BP；当P在AB延长线上时，BP=3AB，在直角三角形中由正切公式求出即可．【详解】解：（1）如图1所示，∵BC=3AB，PC=AB，∴BP=2PC，又∵四边形ABCD是矩形，∴tan∠APB=ABBP（2）如图2所示，∵BC=3AB．PC=AB，∴BP=4AB，∴tan∠APB=ABBP综上所述∠APB的正切值为或14．故答案为：或14．【点睛】本题主要考查矩形性质和三角函数的定义，注意分类讨论思想的运用，解题的关键是分两种情况求出AB与BP的关系．三、解答题1、（1）见详解；（2）图见详解，.【解析】【分析】（1）由题意根据点在小正方形的顶点上，的面积为即可得到点的位置；（2）由题意根据以为斜边的，点在小正方形顶点上，，即可得到点的位置，进而依据勾股定理即可得出的长．【详解】解：（1）如图，等腰即为所画，由勾股定理可得,的面积为，当AB为底边可得高为5，以为直角作即可，因为所以又因为,所以；（2）如图，即为所画，由勾股定理可得,并且,所以，所以.【点睛】本题主要考查应用与设计作图，熟练掌握勾股定理及其逆用以及三角函数的定义和等腰三角形定义和全等三角形判定性质是解题的关键，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．2、【解析】【分析】对式子的中各项分别化简，然后利用实数的加减运算法则，即可得到正确答案．【详解】解：==【点睛】本题主要是考查了实数的运算，包括了去绝对值、0次幂、负整数幂、锐角三角函数值、二次根式以及乘方运算，熟练掌握以上每项的运算法则，是求解该题的关键．3、（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标；（2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出的正切值；（3）过点D作轴，过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度．【详解】解：（1）把点代入得：当时，顶点的纵坐标为4．故抛物线的表达式为（2）过点B作交于E点，令则故，（3）过点D作轴，过点A作，当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题．4、（1）见详解；（2）4．【解析】【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH=BC=2，∴OA==4，⊙O的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、有触礁的危险，见解析【解析】【分析】从点C向直线AB作垂线，垂足为E，设CE的长为x海里，根据锐角三角函数的概念求出x的值，比较即可．【详解】解：有触礁的危险．理由：从点C向直线AB作垂线，垂足为E，根据题意可得：AB=20海里，∠CAE=30°，∠CBE=45°，设CE的长为x海里，在Rt△CBE中：∵∠CBE=45°，∴BE=CE=x海里，∴AE=AB+BE=（20+x）海里，在Rt△CAE中：∵∠CAE=30°，∴tan30°=，解得：x=10+10，∵10+10＜30，∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．6、（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，，可得BE=DG，FC=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四边形EFGH