2025年北京市中考数学试卷真题(含答案解析)

2025年北京市中考数学试卷练习题(含答案解析)一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1.实数-√5，0，2，-3中，最小的数是（）A.-√5B.0C.2D.-3答案：D解析：比较各数大小，-3≈-3，-√5≈-2.236，故-3＜-√5＜0＜2，最小数为-3。2.2024年北京新能源汽车产量约为1250000辆，将1250000用科学记数法表示为（）A.1.25×10⁶B.12.5×10⁵C.1.25×10⁵D.0.125×10⁷答案：A解析：科学记数法形式为a×10ⁿ（1≤|a|＜10），1250000=1.25×10⁶。3.若代数式√(x-3)有意义，则x的取值范围是（）A.x＞3B.x≥3C.x＜3D.x≤3答案：B解析：二次根式有意义需被开方数非负，即x-3≥0，得x≥3。4.已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m＞1C.m≤1D.m≥1答案：A解析：判别式Δ=(-2)²-4×1×m=4-4m，当Δ＞0时方程有两个不等实根，即4-4m＞0，解得m＜1。5.如图，直线AB∥CD，∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为（）（注：图中AB与CD平行，直线EF交AB于点E，交CD于点F，∠1为∠AEF，∠2为∠CFE的邻补角，∠3为△EFG的一个内角，G为AB上方一点）答案：80°解析：由AB∥CD，得∠AEF=∠EFD=50°（内错角相等）。∠2=30°，则∠CFE=180°-30°=150°，故∠EFG=∠CFE-∠EFD=150°-50°=100°。在△EFG中，∠3=180°-∠EFG-∠FEG（∠FEG=∠1=50°）=180°-100°-50°=30°？（此处可能描述有误，根据常见题型调整：若∠2为∠EFC=30°，则∠EFD=∠AEF=50°，∠3为△EFG的外角，等于∠EFD+∠2=50°+30°=80°。正确解析应为：AB∥CD，∠AEF=∠EFD=50°（内错角）。∠EFC=∠2=30°，则∠3为△EFG中∠EGF，由三角形外角定理，∠3=∠EFD+∠EFC=50°+30°=80°。）6.反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k的值为（）A.6B.-6C.1/6D.-1/6答案：B解析：将(2,-3)代入得-3=k/2，解得k=-6。7.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5答案：C解析：总球数5个，红球3个，概率为3/5。8.如图，△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（）（注：相似三角形周长比等于相似比）答案：18解析：相似比为2:3，周长比等于相似比，设△DEF周长为x，则12:x=2:3，解得x=18。9.二次函数y=(x-1)²+2的顶点坐标是（）A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)答案：A解析：顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，故顶点(1,2)。10.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）（注：垂径定理，OC为弦心距，连接OA，OA=5，AC=AB/2=4）答案：3解析：由垂径定理，AC=AB/2=4。在Rt△AOC中，OC=√(OA²-AC²)=√(25-16)=3。二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）11.因式分解：x³-4x=________。答案：x(x+2)(x-2)解析：提取公因式x得x(x²-4)，再用平方差公式分解为x(x+2)(x-2)。12.计算：(1/2)⁻¹+√8-2sin45°=________。答案：2+√2解析：(1/2)⁻¹=2，√8=2√2，sin45°=√2/2，故原式=2+2√2-2×(√2/2)=2+2√2-√2=2+√2。13.某班5名学生的数学测试成绩（单位：分）为：85，90，95，90，100，这组数据的中位数是________。答案：90解析：将数据从小到大排列：85，90，90，95，100，中间数为90。14.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的高，则AD的长为________。答案：4解析：等腰三角形底边高AD平分BC，BD=3。在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(25-9)=4。15.函数y=√(x+2)/(x-1)的自变量x的取值范围是________。答案：x≥-2且x≠1解析：分子中√(x+2)要求x+2≥0即x≥-2；分母x-1≠0即x≠1，故x≥-2且x≠1。16.按一定规律排列的单项式：a，-2a²，4a³，-8a⁴，16a⁵，…，第n个单项式是________。答案：(-2)ⁿ⁻¹aⁿ解析：系数依次为1，-2，4，-8，16…即(-2)⁰，(-2)¹，(-2)²，(-2)³，(-2)⁴…；字母部分为a¹，a²，a³，a⁴，a⁵…，故第n项为(-2)ⁿ⁻¹aⁿ。三、解答题（共8小题，共68分）17.（5分）解不等式组：{3x-1≤2(x+1){(x+4)/2＞x}解：解第一个不等式：3x-1≤2x+2，3x-2x≤2+1，x≤3；解第二个不等式：x+4＞2x，4＞2x-x，x＜4；∴不等式组的解集为x≤3。18.（5分）解方程：(x-1)/(x-2)+1/(2-x)=3解：方程两边同乘(x-2)得：(x-1)-1=3(x-2)展开：x-1-1=3x-6整理：x-2=3x-6移项：-2x=-4解得：x=2检验：当x=2时，分母x-2=0，故x=2是增根，原方程无解。19.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连接BE，DF。求证：BE=DF。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（平行四边形对边平行且相等）。又AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF。又ED∥BF（由AD∥BC），∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BE=DF（平行四边形对边相等）。20.（7分）为了解某校学生每周参加课外体育活动的时间，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果分为A（0＜t≤1小时）、B（1＜t≤2小时）、C（2＜t≤3小时）、D（3＜t≤4小时）四个等级，绘制了如下不完整的统计图（注：条形图显示A:5人，B:10人，C:15人，D:20人；扇形图显示各等级百分比）。（1）求本次调查的学生总数；（2）求扇形统计图中等级C对应的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，估计每周参加课外体育活动时间超过2小时的学生人数。解：（1）总数=5+10+15+20=50（人）；（2）C等级占比=15/50=30%，圆心角度数=360°×30%=108°；（3）超过2小时的为C、D等级，共15+20=35人，占比35/50=70%，估计人数=1200×70%=840（人）。21.（8分）某社区计划购买甲、乙两种树苗共60棵绿化环境，甲种树苗每棵80元，乙种树苗每棵100元。若购买树苗的总费用不超过5600元，求最多可以购买乙种树苗多少棵？解：设购买乙种树苗x棵，则甲种树苗(60-x)棵，总费用=80(60-x)+100x≤5600，展开：4800-80x+100x≤5600，20x≤800，x≤40。答：最多可购买乙种树苗40棵。22.（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连接CD，过点C作CE⊥CD交AB于点E（注：图中CD为斜边中线，CE⊥CD）。（1）求证：△ACD∽△CEB；（2）若AC=3，BC=4，求DE的长。（1）证明：∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴CD=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴∠A=∠ACD。又CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，即∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB，故∠ACD=∠ECB，∴∠A=∠ECB。又∠B=∠B（公共角），∴△ACD∽△CEB（两角对应相等，两三角形相似）。（2）解：AB=√(AC²+BC²)=5，故CD=5/2，AD=BD=5/2。由△ACD∽△CEB，得AC/CE=CD/CB，即3/CE=(5/2)/4，解得CE=24/5。在Rt△CDE中，DE=√(CD²+CE²)=√((25/4)+(576/25))=√((625+2304)/100)=√(2929/100)=√2929/10（此处计算有误，正确方法应为利用相似比或坐标法：以C为原点，AC=3在x轴，BC=4在y轴，则A(3,0)，B(0,4)，D(1.5,2)。CD的斜率为(2-0)/(1.5-0)=4/3，CE⊥CD，故CE斜率为-3/4，CE方程为y=-3/4x。AB方程为x/3+y/4=1，即4x+3y=12。联立CE与AB方程：4x+3(-3/4x)=12，解得x=48/7，y=-36/7，即E(48/7,-36/7)。D(3/2,2)=(21/14,28/14)，E(48/7,-36/7)=(96/14,-72/14)，DE=√[(96/14-21/14)²+(-72/14-28/14)²]=√[(75/14)²+(-100/14)²]=√[(5625+10000)/196]=√[15625/196]=125/14≈8.93。但根据实际图形，E应在AB上，可能坐标设定有误，正确DE应为5/2-12/5=25/10-24/10=1/10？需重新计算：由面积法，CD=5/2，CE=(AC×BC)/AB=12/5（CE为高？不，CE是垂线）。正确步骤：由勾股定理AB=5，D为中点，AD=5/2。设AE=x，EB=5-x。由△ACD∽△CEB，得AC/CB=AD/EB，即3/4=(5/2)/(5-x)，解得5-x=10/3，x=5-10/3=5/3。DE=|AD-AE|=|5/2-5/3|=5/6。）23.（10分）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)。（1）求二次函数的解析式；（2）点P在抛物线上，且位于直线BC上方，求点P的纵坐标的最大值。（1）解：由A(-1,0)、B(3,0)，设解析式为y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得3=a(1)(-3)，解得a=-1，故解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）解：直线BC的解析式：B(3,0)，C(0,3)，斜率k=(0-3)/(3-0)=-1，方程为y=-x+3。设P(m,-m²+2m+3)，P到直线BC的距离为d=|-m²+2m+3-(-m+3)|/√(1²+1²)=|-m²+3m|/√2。因P在BC上方，故-m²+3m＞0，即0＜m＜3。点P纵坐标为y=-m²+2m+3=-(m²-2m)+3=-(m-1)²+4，当m=1时，y最大值为4。24.（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点M(x,y)和图形G，若存在图形G上的点N(x',y')，使得|x-x'|+|y-y'|≤1，则称点M为图形G的“邻域点”。已知图形G为线段AB，其中A(0,0)，B(2,2)。（1）判断点C(1,1)是否为G的“邻域点”，并说明理由；（2）若点D(t,0)为G的“邻域点”，求t的取值范围。（1）解：取N为AB上的点(1,1)（即AB中点），则|1-1|+|1-1|=0≤1，故C是G的邻域点。