（人教A版）必修一高一数学上册期中复习训练第三章 函数的概念与性质 典型例题讲解（解析版）

第三章函数的概念与性质典型例题讲解一、基本概念回归知识回顾1：函数的定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识回顾2：数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).知识回顾3：求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。知识回顾4：函数的图象4.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.4.2、函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；4.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）知识回顾5：函数的单调性5.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).5.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).知识回顾6：函数的奇偶性6.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.6.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.知识回顾7：函数奇偶性的判断7.1定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：①若是奇函数②若是偶函数③若既是奇函数又是偶函数④若既不是奇函数也不是偶函数7.2图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若的图象关于轴对称是偶函数（3）若的图象关于原点对称是奇函数7.3性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数知识回顾8：幂函数的图象与性质8.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当时，我们得到五个幂函数：；；；；8.2、五个幂函数的性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在上单调递增在上单调递减在单调递增在上单调递增在单调递增在上单调递减在上单调递减定点二、重点例题（高频考点）高频考点一：求函数的定义域角度1：求常规函数的定义域1．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意且，所以函数的定义域是．故选：B．2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】使得函数的表达式有意义，则且，解得故选：D3．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：依题意可得，即，即，解得，即函数的定义域为；故选：A4．函数的定义域是______.【答案】【详解】由题意可得，解得或.故答案为：角度2：求抽象函数、复合函数的定义域1．已知函数，则函数的定义域是（

）A．[-5，4] B．[-2，7] C．[-2，1] D．[1，4]【答案】D【详解】由，则，解得，所以函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为[1，4].故选：D2．函数的定义域是（

）A．[－1，4] B．（－1，4] C．[2，4] D．（2，4]【答案】D【详解】解：由，解得，所以所以函数的定义域为故选：D3．已知函数定义域为，则函数的定义域为_______.【答案】【详解】因的定义域为，则当时，，即的定义域为，于是中有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：4．已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】【详解】因为函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.5．求下列函数的定义域：(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域.【答案】(1)；(2)；(3).(1)令－2≤－1≤2得－1≤≤3，即0≤≤3，从而－≤≤，∴函数的定义域为.(2)∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈，∴的定义域为.(3)由题得，，∴函数的定义域为.高频考点二：函数的值域角度1：一次、二次、反比例函数的值域1．下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于,，故A不正确；对于，，故B正确;对于，故C不正确；对于，，故D不正确；故选：B2．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，故函数的值域.故选：C.3．已知函数，则的值域是_________.【答案】【详解】，，的值域为,故答案为：4．当时，则函数的值域为______．【答案】【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】令，因为，所以，当时，，函数单调递减，故，当时，即，所以，所以函数的值域为：，故答案为：角度2：根式型值域1．函数的值域是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【详解】因为所以所以，即函数的值域为故选：D2．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，且，则，函数转化为由，则，即值域为故选：A.3．函数的最小值_______．【答案】【详解】令，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，故在时，取得最小值，故答案为：4．求函数的值域．【答案】【详解】设，则，，所以原函数可以化为所以，所以原函数的值域是．角度3：分式型值域1．函数的值域是__________．【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以，故答案为：2．函数的值域是___________.【答案】【详解】解：，因为所以函数的定义域为令，整理得方程：当时，方程无解；当时，不等式整理得：解得：所以函数的值域为.故答案为：3．求下列函数的最值.(1)的最大值.【答案】(1)，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是.4．函数；①的值域是__________；②的值域是__________．【答案】

【详解】，其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下：当时，当时，所以的值域是，因为当时，当时，所以的值域是，故答案为：；角度4：根据值域求参数1．若函数的值域为的子集，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】解：解析式要有意义，有；①当时，定义域为，，此时的值域为满足值域为的子集；②当时，定义域为，则所以，满足值域为的子集；③当时，在略大于时，有，不符合题意；④当时，有在，上恒成立，在，上恒成立，要使的值域为的子集，，．综上可得：实数的取值范围是.故答案为：.2．已知函数，，若在上的值域为，求的值；【答案】3【详解】因为函数，，对称轴，且，，，当时，函数在上单调递增，所以，即，此时无解；当时，函数在上单调递减，所以，即，解得；当，即时，函数在取得最小值，所以，即，化简得，解方程可得，又所以方程在上无解，综上得：.3．已知函数.(1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值；(2)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.（可能用到的不等关系参考：若，且，则有）【答案】(1)2；(2).(1)易知的对称轴为直线，故在上为减函数，∴在上单调递减，即，，代入解得或（舍去）.故实数的值为2.(2)∵在是减函数，∴.∴在上单调递减，在上单调递增，又函数的对称轴为直线，∴，，又，∴.∵对任意的，总有，∴，即，解得，又，∴，即实数的取值范围为.高频考点三：求函数的解析式角度1：待定系数法：1．已知函数是一次函数，满足，则__________．【答案】或【详解】设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故答案为：或.2．已知是一次函数，且，则解析式为___________．【答案】【详解】是一次函数，设，，，，即，，，，．故答案为：3．已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式.【答案】【详解】设，，关于对称，即；又，，，解得：.4．设是一次函数，且，求的解析式.【答案】或【详解】设，则,所以，解得或，所以函数的解析式为或.5．（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知是二次函数，且满足，求.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）设，则因为，所以所以解得或所以或（2）设由，得由得整理，得所以所以所以角度2：换元法：1．已知，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，，则，，，所以函数的解析式为，．故选：B.2．（多选）若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．3．已知，则___________.【答案】##【详解】，设，解得，，，解得.故答案为：.4．已知，则的值域为______.【答案】【详解】解：令，则，所以，所以，故的解析式为，其值域为.故答案为：.5．已知，则的解集为______.【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}【详解】，令，则，，，由，得，解得或，的解集为．故答案为：.角度3：配凑法：1．已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：方法一（配凑法）∵，∴.2．已知函数，且，则（

）A．7 B．5 C．3 D．4【答案】A【详解】,.,解得．故选：A.3．已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以．故选：A角度4：方程组（消去）法：1．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【详解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故选：B2．已知函数满足，则___________.【答案】##【详解】解：因为①，所以②，②①得，．故答案为：．3．若，则______．【答案】【详解】由①，将用代替得②，由①②得.故答案为：.4．根据下列条件，求的解析式已知满足【答案】解：因为①，所以②，②①得，所以.5．若对任意实数，均有，求.【答案】.【详解】利用方程组法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案为：.6．已知满足，求的解析式.【答案】.【详解】因为满足，则，联立方程组解得，即为所求.角度5：赋值法求抽象函数的解析式1．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．【答案】【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，令，得，即，，．故答案为2．已知，对于任意实数，等式，求的解析式.【答案】【详解】对于任意实数等式恒成立，不妨令则有再令得函数解析式为：3．对任意实数，，都有，求函数的解析式．【答案】【详解】方法一：对任意实数,都成立,令,得,再令,得,方法二：在已知式子中,令,得,,,令,得高频考点四：函数图象识别与应用1．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（

）x123230A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】由题图可知，由题表可知，故．故选:D．2．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，，故排除BD再代入，，排除A故选：C3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A．故选：D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，由，，故C错误，故选：A.5．函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C6．画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较，，的大小；(2)求不等式的解集．【答案】(1)画图见解析，(2)（1）二次函数，即的图象如图所示：由图象，可知．（2）不等式，当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时；不等式的解集为．7．已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】(1)(2)函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；（1）解：的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，，，所以；（2）解：由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；高频考点五：求复合函数的单调区间1．函数的单调增区间是______．【答案】【详解】，解得，所以的定义域为.的对称轴为，开口向下，在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.故答案为：2．已知函数的单调递增区间为________．【答案】##【详解】由，得，所以或，所以函数的定义域为或.令，则，因为在内单调递减，在内单调递增,在内单调递增，所以的单调递增区间为.故答案为：.3．求函数的单调递增区间.【答案】单调递增区间为.【详解】函数的定义域是，设，则函数在上是单调递减的，因为函数在时单调递减，于是得函数在上是单调递增的，所以函数的单调递增区间为.4．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时需满足，即，解得，综上可知故答案为：高频考点六：函数的单调性+奇偶性的应用1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A2．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）【答案】C【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以函数在上单调递减，且，所以当，，，满足，当，，，不满足，当，，，不满足，当，，，满足，综上：的解集为.故选：C3．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．4．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，所以当或时，，当时，．所以等价于或，解得或，所以不等式的解集为，故选：B．5．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.【答案】或【详解】因为为奇函数，且在上是增函数，，所以，且在上也是增函数，因为，即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.故答案为：或.6．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．【答案】【详解】∵是定义在上的奇函数，∴对任意，，，且，等价于，∴在上单调递增．∵，∴．故答案为：高频考点七：二次函数的最值问题角度1：不含参数的二次函数最值问题1．已知函数，当上时的最小值是________【答案】-2【详解】，则二次函数在上单调递增，在上单调递减，在上，当时有最小值－2，故答案为：-2.2．二次函数的最小值为______【答案】【详解】解：∴当时，有最小值，最小值为，故答案为：.3．二次函数，当时，的取值范围为_________【答案】【详解】二次函数对称轴为，且开口向下，所以当时，在处取得最大值，，由二次函数的对称性可得在处取得最小值，，故的取值范围为故答案为：角度2：含参数的二次函数最值问题1．二次函数的最大值为，则的值为________.【答案】##-1.5【详解】∵二次函数的最大值为，∴a<0，且二次函数取得最大值时，此时.∴.∴.故答案为：.2．二次函数的最小值是-1，则的值是____________.【答案】0【详解】∵二次函数的对称轴为直线，∴当时，，∴，解得.故答案为：.3．若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____．【答案】或【详解】∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1，∴该二次函数的对称轴是直线，开口向上，当时，即时，y在时取得最大值31．∴．解得，（舍）．当时，即时，y在时取得最大值31．∴．解得（舍），．综上所述，的值为或.故答案为：或4．二次函数的最小值为2，则的值为___．【答案】3【详解】，∵二次函数所对应的抛物线的开口向上，对称轴为x=1，∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故答案为：35．已知二次函数，在时，有最大值6，则______．【答案】【详解】二次函数的开口向上，对称轴为时，当时取得最大值6．即.故答案为：6．已知函数，当时，函数的最大值是2，则实数的取值范围是_____．【答案】【详解】函数的图象是开口向下，且以为对称轴的抛物线，当且仅当时，函数取最大值2，∵函数，当时，函数的最大值是2，∴，故答案为：．7．已知关于的函数(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，若函数最小值为2，求的值．【答案】(1)答案见解析(2)（1）解：因为，对称轴为，开口向上，若，则当时，函数有最大值为，若，则当时，函数有最大值为（2）解：若，则当时函数有最小值为，即，，不符合条件；若，则当时函数有最小值为，可得，符合条件；若，则当时函数有最小值为，即，解得，不符合条件；综上，的值为8．如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当时，函数有最小值，求的值．【答案】(1)(2)或（1）依题意可知是方程的两个根，所以，解得，所以.（2），对称轴为直线，开口向上.依题意，当时，函数的最小值为，若，则当时，函数取得最小值，即，解得或（舍去）.若，即，函数的最小值（舍去）.若，即，则当时，函数取得最小值，即，解得或（舍去）.综上所述，的值为或.9．已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．【答案】(1)抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）(2)（1）方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），∴抛物线的对称轴为直线，∴（－1，0）的对称点为（3，0），即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得，解得，∴抛物线的表达式为，令得，，解得，，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．（2）∵，∴，，∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，∵，∴，令得，，解得（舍去），，∴．高频考点八：利用函数奇偶性求解析式1．设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.故选：B.2．若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，则函数f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝【详解】∵f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.即f(x)＝，又，∴.∴a＝1，∴函数f(x)＝.，经检验符合题意.故答案为：f(x)＝.3．已知是定义在R上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；【答案】(1)(1)解:（1）当时，所以；因为为R上的偶函数，所以；又，所以4．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．(1)当时，求的解析式；(2)若，求的值．【答案】(1)当时，；(2)或.解：（1）当时，，所以，又是偶函数，∴，∴，所以当时，；（2）解：当时，当时，，即，解得（舍去），当时，，∴.（舍去），综上，或.5．已知函数f（x）的图像关于原点对称，当时，.(1)求函数f（x）的解析式；【答案】(1)(1)∵函数f（x）的图像关于原点对称.∴.当时，，又时，，∴当时，.∴高频考点九：分段函数的单调性问题1．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故在上单调递减，由题意得解得，故选：B2．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，解得；解得；当时解得.综上得实数的取值范围为.故选：D.3．若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图，作出函数和的大致图象.，得，解得，，注意到点A是二次函数图象的最低点，所以若，则当时，单调递减，不符合题意；当时符合题意；当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；当时，符合题意.所以m的取值范围为：或.故选：D3．（多选）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题意，，解得，∴整数的取值为或或．故选：ABC高频考点十：分段函数的值域问题1．函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：,当，，当，，所以，故选：A2．函数的值域是______________（用区间表示）【答案】【详解】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以，当时，，为单调递减函数，所以，综上：，即的值域为.故答案为：3．求函数在－的最值.【答案】最大值是，最小值是.【详解】在上递增，对称轴是，在上递减，在上递增，，，，，所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.4．已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】要使是函数的最小值，则当时，函数应为减函数，那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即．当时，，当且仅当时取等号，则，解得，所以．故选：A.5．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【详解】解：图象的对称轴方程为，①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；②当，时，有最大值，当时，在单调递减，所以，所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，综上，当时，有最大值，故选：BCD．6．设函数若存在最小值，a的取值范围___________.【答案】【详解】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：高频考点十一：恒成立与能成立问题1．若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，所以，设，，函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，因为，，所以函数在时，最大值为，要想不等式在区间上有解，只需，故选：C2．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】依题意，，当时，，当且仅当，即时取等号，于是得，解得，当时，恒成立，即恒成立，因此有恒成立，而，则，所以实数的取值范围是.故答案为：3．已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【详解】由题意，函数，当时，，只需恒成立，即恒成立，因为时，的最大值为，所以；当时，，只需恒成立，即恒成立，因为时，的最小值为2，所以．故a的取值范围为．故答案为：．4．若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】【详解】，，令，，依题意，，，而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：5．已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．【答案】【详解】令，则问题可转化为在，上有，易知在上单调递增，故，①当时，在上单调递增，则，所以，可得；②当时，则，符合题意；③当时，在上单调递减，则，所以，可得．综上所述，．故答案为：.6．已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______．【答案】【详解】，设，∵，∴，∵在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，∴在上的最大值为5，又在上的最大值是或，由的开口向上，对称轴为，可得，，整理得，解得即，或，整理得，解得，所以故答案为：．7．已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围；(3)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)；(3)(1)由，可得，即当时，由，可得或当时，由，可得当时，由，可得或综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或(2)当时，，若对∀，都有恒成立，即对∀，都有恒成立，又由可得则有，且成立，解之得，故实数t的取值范围为(3)当时，，①当时，在单调递增，在区间上的值域为；若对∀，都有恒成立，则有，解之得②当时，在上单调递减，在上单调递增，在区间上的值域为；若对∀，都有恒成立，则有，解之得③当时，在上单调递减，在上单调递增，在区间上的值域为；若对∀，都有恒成立，则有，解之得；④当时，在单调递减，在区间上的值域为；若对∀，都有恒成立，则有，解之得综上，实数t的取值范围为8．已知函数.(1)请判断函数在和内的单调性，并证明在的单调性；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在上递减，在递增，证明见解析(2)（1）在上递减，在递增，证明：任取，且，则因为，所以，，所以，即，所以在上单调递增，（2）由存在，使得成立，得存在，使得成立，由（1）可知在上递减，所以当时，取得最大值，即，所以，即实数的取值范围为9．已知函数对一切实数都有成立，且(1)求的解析式；(2)，若存在，使得，有成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)∵函数对一切实数都有成立，且，令y＝1，则，．.(2)由题意，有，则，对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，当时，，设，则在（0，1）单调递减，在单调递增，在x＝1处取到最小值，所以，所以，综上，，当且仅当x＝1时取到，所以；设，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：当时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故，∴，即；2）当时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故，∴，即；综上，．10．已知函数．(1)求函数的解析式；(2)已知．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)（1）令，则，∴，∴．（2）由第一问知：当时，单调递减，，所以∵在上单调递增，∴当时，．因为对任意，总存在，使得成立所以只需由题意，得，解得．故实数a的取值范围是．高频考点十二：函数性质综合应用1．已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？【答案】(1)(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费