工程力学45-横截面和斜截面上的应力课件

第7章拉伸与压缩工程力学（材料力学）EngineeringMechanics(mechanicsofmaterials)知识点2：截面上的应力7-2-1横截面上的应力7-2-2斜截面上的应力第7章拉伸与压缩知识点2：截面上的应力7-2-1横截面上的应力轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力—轴力FN，显然是横截面上法向分布内力的合力。

要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s

表示。定义：法向分布内力的集度—

mm截面C点处的正应力s

为：mmC（1）ΔFN是矢量，因而正应力s也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正应力的量纲为[力]/[长度]2。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其中文代号是帕，国际代号是Pa

（1Pa=1N/m2）。mmC受力后受力前由于应力在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得到以内力表示应力的公式。在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。受力前受力后

平面假设：原为平面的横截面A和B，在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。受力后在工程上常假设材料是均匀的，连续的,而且是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可知：（2）式中，FN

为轴力，A

为横截面面积。对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短变形的压应力为负。注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。圣维南原理：}FFFF影响区影响区（3）此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式,即得杆内的最大应力为：一横截面面积A=400mm2的等直杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。20kN20kN30kN.ABCD例题7-

2-1解：此杆的最大轴力为：最大工作应力为：20kN20kN30kNABCDFN（kN）x3020O一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知F=50kN,试求荷载引起的最大工作应力。例题7-2-1370FFF30004000240长度单位:mm解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。50kN150kN370FFF30004000240长度单位:mm比较以上计算结果，得最大工作应力为：50kN150kN370FFF30004000240长度单位:mm

拉、压杆横截面上正应力的计算公式是建立在变形符合平面假设的基础上的，即拉压杆只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下,才能应用该公式。工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓“应力集中”。应力集中处的局部最大应力smax与按等截面杆算得的应力s0之比称为应力集中系数a

。最大应力smax与按等截面杆算得的应力s0之比即应力集中系数a

：7-2-2斜截面上的应力现讨论斜截面上的应力。则kFkFakFFk由图知：仿求正应力的分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。则(A为横截面的面积)kFkFaAp

用两个分量来表示：正应力

，切应力

。则以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随a

角而改变的规律。FF可知：由式拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成±45º

的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。（3）拉（压）杆任意两个互相垂直的截面k-k

和

n-n

上的切应力为：kFFknn切应力互等定理:任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。