江苏省丹徒区世业实验学校2026届数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省丹徒区世业实验学校2026届数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．过反比例函数图象上一点作两坐标轴的垂线段，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为（）A．－6 B．－3 C．3 D．62．如图，空地上（空地足够大）有一段长为10m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m1．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（60﹣）x＝900 B．（60﹣x）x＝900 C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝9003．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm5．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为A．1或 B．-或 C． D．16．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）A． B． C． D．7．如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是（）.A． B． C． D．1＜x＜28．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误9．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B． C． D．10．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A． B．C． D．11．边长为2的正六边形的面积为（）A．6 B．6 C．6 D．12．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位． B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位．C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位． D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．14．如果，那么_____．15．如图，直线l1∥l2∥l3，A、B、C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝3，且，则m＋n的最大值为___________．16．已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab的值为_____．17．边长为4cm的正三角形的外接圆半径长是_____cm．18．对于为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝ab-b-1，那么x☆（2☆x）=0中x值为____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．20．（8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴对折，点落到点处，过点、的抛物线与直线交于点、．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积最大，求出点坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以、、为项点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点.二次函数的图像经过点，与轴交于点，与一次函数的图像交于另一点.（1）求二次函数的表达式；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）平移，使点的对应点落在二次函数第四象限的图像上，点的对应点落在直线上，求此时点的坐标.22．（10分）为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠元，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求的值．23．（10分）如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设∆OCD的面积为S，且kS+8=0.（1）求b的值.（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.24．（10分）为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；（2）请将两个统计图补充完整；（3）若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人.25．（12分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上（点不与点重合），连接.（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形是平行四边形.26．如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA；（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，即可得出答案．【详解】设B点坐标为（x，y），由函数解析式可知，xy＝k＝－6，则可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，故选：D．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是理解图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．2、B【分析】若AD＝xm，则AB＝（60−x）m，根据矩形面积公式列出方程．【详解】解：AD＝xm，则AB＝（100+10）÷1−x=（60−x）m，由题意，得（60−x）x＝2．故选：B．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3、C【解析】试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，∴22+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故选C．考点：一元二次方程的解4、C【解析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，

由题意得，，

解得，x=75，

则x+40=115，故选C．5、D【解析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=-=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a-6=0，∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．故选D．本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．6、D【分析】先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可．【详解】设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：＝，解得：x＝4，则随机摸出一个球是蓝球的概率是＝；故选：D．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7、C【分析】先把A点代入y＋kx＋b得b＝3，再把P（1，m）代入y＝kx＋3得k＝m−3，接着解（m−3）x＋3＞mx−2得x＜，然后利用函数图象可得不等式组mx＞kx＋b＞mx−2的解集．【详解】把P（1，m）代入y＝kx＋3得k＋3＝m，解得k＝m−3，解（m−3）x＋3＞mx−2得x＜，所以不等式组mx＞kx＋b＞mx−2的解集是1＜x＜．故选：C．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．8、C【解析】试题分析：甲的作法正确：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACN．∵MN是AC的垂直平分线，∴AO=CO．在△AOM和△CON中，∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴MO=NO．∴四边形ANCM是平行四边形．∵AC⊥MN，∴四边形ANCM是菱形．乙的作法正确：如图，∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠2=∠1．∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠2．∴∠1=∠3，∠5=∠1．∴AB=AF，AB=BE．∴AF=BE．∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形．故选C．9、B【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【详解】x2+6x+m=0，x2+6x=-m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x=36，4x=6，x=，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．故选：B．此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．10、A【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），∴所得抛物线的解析式为．故选A．本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．11、A【解析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝0C，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝2，∴它的半径为2，边长为2；∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，∴边心距是：；∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．故选：A．本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12、D【分析】把抛物线解析式配方后可以得到平移公式，从而可得平移方法．【详解】解：由题意得平移公式为：，∴平移方法为向右平移1个单位，再向下平移2个单位．故选D．本题考查二次函数图象的平移，经过对前后解析式的比较得到平移坐标公式是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、20°．【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．【详解】解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．故答案为：20°本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．14、2【解析】∵,∴x=,∴=.15、【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，，，，，，，，，即，，，，，即，，，，，当最大时，，，当时，，，的最大值为．故答案为：．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m的函数解析式是解题的关键．16、-2【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．【详解】解：由点A（a，1）与点B（-2，b）关于原点对称，得

a=2，b=-1．

ab=（2）×（-1）=-2，

故答案为-2．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．17、．【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a．根据三角函数即可求解．【详解】解：连接中心和顶点，作出边心距．那么得到直角三角形在中心的度数为：360°÷3÷2＝60°，那么外接圆半径是4÷2÷sin60°＝；故答案为：．本题考查了等边三角形、垂径定理以及三角函数的知识，解答的关键在于做出辅助线、灵活应用勾股定理.18、0或2【分析】先根据a☆b＝ab-b-1得出关于x的一元二次方程，求出x的值即可．【详解】∵a☆b＝ab-b-1，∴2☆x=2x-x-1=x-1，∴x☆（2☆x）=x☆（x-1）=0，即，解得：x1=0，x2=2；故答案为：0或2本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）N点的坐标为（0，﹣1）；（4）D点坐标为（3，0）．【解析】试题分析：（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，即可求得点N的坐标；（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．(1)四边形ABMD为损矩形；(2)取BD中点H，连结MH，AH∵四边形OABC，BDEF是正方形∴△ABD，△BDM都是直角三角形∴HA=BDHM=BD∴HA=HB=HM=HD=BD∴损矩形ABMD一定有外接圆(3)∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H∴MAD=MBD∵四边形BDEF是正方形∴MBD=45°∴MAD=45°∴OAN=45°∵OA=1∴ON=1∴N点的坐标为（0，-1）(4)延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥轴于点Q设MG=，则四边形APMQ为正方形∴PM=AQ=-1∴OG=MQ=-1∵△MBP≌△MDQ∴DQ=BP=CG=-2∴MN2ND2MD2∵四边形DMGN为损矩形∴∴∴=2.5或=1(舍去)∴OD=3∴D点坐标为(3，0).考点：本题考查的是确定圆的条件，正方形的性质点评：解答本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，20、（1）；（2）；（3）存在，或．【分析】(1)由直线可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；(2)先求得点D的坐标，作EF∥y轴交直线BD于F，设，利用三角形面积公式求得，再利用二次函数性质即可求得答案；(3)如图1，2，分类讨论，当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；【详解】(1)∵直线AB为，令y=0，则，令，则y=2，∴点A、B的坐标分别是：A(-1，0)，B(0，2)，根据对折的性质：点C的坐标是：(1，0)，设直线BD解析式为，把B(0，2)，C(1，0)代入，得，解得：，，∴直线BD解析式为，把A(-1，0)，B(0，2)代入得，解得：，，∴抛物线的解析式为；(2)解方程组得：和，∴点D坐标为(3，-4)，作EF∥y轴交直线BD于F设∴(0＜＜3)∴当时，三角形面积最大，此时，点的坐标为：；(3)存在．∵点B、C的坐标分别是B(0，2)、C(1，0)，∴，，①如图1所示，当△MON∽△BCO时，∴，即，∴，设，则，将代入抛物线的解析式得：解得：(不合题意，舍去)，，∴点M的坐标为(1，2)；②如图2所示，当△MON∽△CBO时，∴，即，∴MN=ON，设，则M(b，b)，将M(b，b)代入抛物线的解析式得：∴解得：(不合题意，舍去)，，∴点M的坐标为(，)，∴存在这样的点或．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21、（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）先求出A,B的坐标，再代入二次函数即可求解；（2）根据函数图像即可求解；（3）先求出C点坐标，再根据平移的性质得到，设点，则，把D点代入二次函数即可求解.【详解】解：（1）令，得，∴.把代入，解得.把，代入，得，∴，∴二次函数的表达式为.（2）由图像可知，当时，或.（3）令，则，∴.∵平移，∴，∴.设点，则，∴，∴，（舍去）.∴.此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.22、（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）a的值为1【分析】（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x，y盆，根据甲、乙两种绿色植物共1100盆和共花费了27000元列二元一次方程组即可；（2）结合（1）根据题意列出关于a的方程，用换元法，设，化简方程，求解即可．【详解】解：（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x，y盆，由题意知，，解得，，答：该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）由题意知，，令，原式可化为，解得，（舍去），，∴，∴a的值为1．本题考查了二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．23、（1）b=4(b>0)；（2）见解析【分析】（1）根据直线解析式求OC和OD长，依据面积公式代入即可得；（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.【详解】（1）∵D(0,b),C(-,0)∴由题意得OD=b,OC=-∴S=∴k•()+8=0∴b=4(b>0)（2）∵∴∴∴∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.24、(1)200；（2）答案见解析；（3）240人．【分析】（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人；由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%；由10÷5%即可求得总人数为200人；（2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人，由此可得喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，由此在图1中补出表示A的条形即可；②由80÷200×100%可得喜欢A项运动的人所占的百分比；由30÷200×100%可得喜欢D项运动的人所占的百分比；把所得百分比填入图2中相应的位置即可；（3）由1200×20%可得全校喜欢“排球”运动的人数.【详解】解：（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人，由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%，∴这次抽查的总人数为：10÷5%=200（人）；（2）①由图1可知喜欢B、C、D、