13.1.1.1勾股定理课件华东师大版数学八年级上册

第17页：12.4.3角平分线主标题：以加粗宋体醒目呈现“12.4.3角平分线”，字体为深蓝色，下方标注“——角的等分割线与距离的等量关联”，突出角平分线的核心要点。背景：淡紫色渐变背景，中心绘制一个∠AOB及其角平分线OC，在OC上取一点P，过P分别向OA、OB作垂线PD、PE，展示角平分线的基础图形，下方添加“生活实例：平分角形区域的划分”小图标，拉近知识与生活的距离。第18页：角平分线的定义标题：“定义：平分角的射线”文字阐述：“从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线就叫做这个角的角平分线”。图形展示：画出∠AOB，作射线OC，使∠AOC=∠BOC，清晰标注出各部分名称（∠AOB、射线OC），并用几何符号表示：“若射线OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB”。着重说明：“角平分线是一条射线，它的端点是角的顶点，关键在于将角精准平分”。思考互动：“判断：①过角顶点的射线是角平分线；②把角分成两个角的射线是角平分线。（答案：①×，缺少平分条件；②×，未表明分成的两个角相等）”，通过思考加深对定义的领悟。第19页：角平分线的性质定理标题：“性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等”推导进程：已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E（绘制对应图形）；求证：PD=PE；证明：∵OC是∠AOB的角平分线（已知），∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义），∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义），在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO（已证），∠AOC=∠BOC（已证），OP=OP（公共边），∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE（全等三角形对应边相等）。符号语言：“如图，若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE”。作用解析：“此性质定理能直接用于证明线段相等，在涉及角平分线与线段长度关系的几何问题中，是极为便捷的工具，能简化证明过程”。实例巩固：“在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=5cm，AC=3cm，△ABD的面积为10cm²，求△ACD的面积”（答案：因为AD是角平分线，根据角平分线性质，点D到AB、AC的距离相等，设距离为h，由△ABD面积为10cm²，AB=5cm，可得1/2×5×h=10，h=4cm，所以△ACD面积=1/2×3×4=6cm²），强化性质定理的运用。第20页：角平分线的判定定理标题：“判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上”推导过程：已知：点P为∠AOB内一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE（绘制对应图形）；求证：点P在∠AOB的角平分线上；证明：连接OP，在Rt△PDO和Rt△PEO中，PD=PE（已知），OP=OP（公共边），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等），即点P在∠AOB的角平分线上。符号语言：“若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则点P在∠AOB的角平分线上”。强调要点：“证明一个点在角的平分线上，只需证明该点到角两边的距离相等，这为确定角平分线的位置提供了有效方法”。拓展延伸：“要证明一条射线是角平分线，可在射线上找两个点，证明它们到角两边的距离都相等，依据是两点确定一条直线”。练习强化：“已知点A（2，3）、B（4，5），在x轴上找一点P，使点P到直线AB与x轴正半轴夹角的两边距离相等，求点P的坐标”（提示：设点P坐标为（x，0），利用点到直线距离公式，结合判定定理求解，答案：P（3，0）），提升判定定理的应用能力。第21页：角平分线的尺规作图标题：“尺规作图：作角的平分线”作图步骤：已知∠AOB；步骤1：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N（强调半径长度任意，但需保证能与角两边相交）；步骤2：分别以点M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C（解释半径大于1/2MN是为了确保两弧能相交）；步骤3：作射线OC；结论：射线OC就是∠AOB的角平分线。动画演示：（若条件允许，可插入动态的尺规作图动画，直观展示每一步操作）原理剖析：“由作图可知，OM=ON，CM=CN，OC=OC，根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△OMC≌△ONC，从而∠MOC=∠NOC，即OC是∠AOB的角平分线”。应用场景：“在实际生活中，如设计角度对称的图案、规划场地的角度划分等，都可借助尺规作图作出角平分线来实现”。学生实践：“请同学们在练习本上用尺规作出∠DEF的角平分线（∠DEF度数自定）”，让学生亲身操作，加深对作图的理解。第22页：角平分线的综合应用标题：“例题：角平分线的多元应用场景”例题1（与三角形结合）：题目：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8cm，BD=5cm，求点D到AB的距离。解题步骤：过点D作DE⊥AB于点E，因为AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），根据角平分线性质，可得DE=DC，又因为BC=8cm，BD=5cm，所以DC=BC-BD=8-5=3cm，则DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm。总结：“在直角三角形中，遇到角平分线，常通过向角的另一边作垂线，利用角平分线性质解决线段长度问题”。例题2（实际生活应用）：题目：某景区要在三条道路围成的三角形区域内修建一个服务中心，使得服务中心到三条道路的距离相等，确定服务中心的位置。解题步骤：分别作三角形三个内角的角平分线，设它们相交于点O；点O即为服务中心的位置（依据：三角形三条角平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等）。总结：“将实际问题转化为数学模型，利用角平分线的性质找到到多条直线距离相等的点，解决位置确定问题”。第23页：课堂总结与归纳标题：“回顾：角平分线的知识要点汇总”知识梳理：定义：从角的顶点引出将角分成两个相等角的射线是角平分线；性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上；尺规作图：用尺规作出角平分线的方法及原理；应用：在几何证明（证明线段相等、角度关系等）和实际生活（角度划分、确定等距离点）中的应用。方法归纳：证明线段相等，若涉及角平分线，优先考虑性质定理；证明点在角平分线上，运用判定定理；解决实际问题，将实际情境抽象为数学问题，借助角平分线知识求解。重点强调：“角平分线在几何知识体系中占据重要地位，它与三角形全等、等腰三角形、直角三角形等知识紧密关联，同学们务必熟练掌握其定义、性质、判定及应用，为后续学习几何知识筑牢根基”。第24页：课堂检测与反馈标题：“课堂小测：角平分线知识大考验”选择题：（1）已知∠AOB，射线OC是∠AOB的角平分线，若∠AOB=60°，则∠AOC=（

）A.20°B.30°C.40°D.60°（答案：B）（2）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=3cm，AB=8cm，则△ABD的面积为（

）A.12cm²B.24cm²C.36cm²D.48cm²（答案：A）填空题：（1）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，若AB=4cm，BC=6cm，△ABD的面积为8cm²，则△BCD的面积为______cm²。（答案：12）（2）已知点P到∠MON两边的距离相等，且∠MON=80°，则∠MOP=______。（答案：40°）解答题：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，求证：AC平分∠BAD。（证明：连接AC，因为∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD）反馈讲解：迅速批改学生答案，针对学生出错较多的题目进行详细讲解，强化知识的理解与运用，帮助学生查缺补漏。【2025-2026学年】华东师大版

数学八年级上册

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13.1.1.1勾股定理第13章

勾股定理aiTujmiaNg1、掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.

1955年希腊发行的一枚纪念邮票.

这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.

观察这枚邮票上的图案，数数图案中各正方形中小方格的个数，你有什么猜想？新课学习左讲知识点

探索直角三角形三边的关系例

我们知道直角三角形的两个锐角互余，那么直角三角形三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？【操作发现】

①②

发现图①49____

____,即_____________图②169____

13

25

【探索验证】活动二：

制作4张如图③所示的直角三角形纸片，小明用这4张直角三角形纸片拼成弦图④，试用两种不同的方法计算弦图④(大正方形)的面积，你有什么发现？③④

③④

⑤归纳：

勾股定理：直角三角形两直角边的________等于____________.平方和斜边的平方【计算应用】

右练

DA.4

B.8

C.9

D.16练1-2

下列说法正确的是(

)D

练1-3

补全下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.练1-4

图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.

课堂小测(第1题)

DA.18

B.39

C.194

D.144

(第2题)

知识点1

勾股定理1.

求出下图直角三角形中未知边的长度.10

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