第6课时三角形的内角(2)直角三角形

第十三章三角形第6课时三角形的内角(2)——直角三角形性质图例判定文字语言直角三角形的两个

锐角

⁠.

有两个角

⁠的三角形是

直角三角形.几何语言∵∠C＝90°，∴

⁠

⁠.∵

⁠，∴∠C＝90°.互余

互余

∠A＋∠B＝

90°

∠A＋∠B＝90°

知识点1

直角三角形的性质【例1】在一个直角三角形中，若一个锐角等于75°，则另一个锐角的度

数是(

D

)A.105°B.90°C.25°D.15°【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠A的度数是(

B

)A.150°B.30°C.50°D.60°DB【例2】(人教教材P14例3改编)如图，AD和BC相交于点O，且∠C＝∠D＝90°.求证：∠A＝∠B.

证明：在Rt△AOC中，∠A＝90°－∠AOC.

在Rt△BOD中，∠B＝90°－∠BOD.

∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A＝∠B.

证明：在Rt△AOC中，∠A＝90°－∠AOC.

在Rt△BOD中，∠B＝90°－∠BOD.

∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A＝∠B.

【变式2】(人教教材P14T1改编)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足

为D，则∠1与∠A有什么关系？为什么？解：∠1＝∠A.

理由如下：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BDC＝90°＝∠ACB.

∴∠1＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°.∴∠1＝∠A.

解：∠1＝∠A.

理由如下：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BDC＝90°＝∠ACB.

∴∠1＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°.∴∠1＝∠A.

知识点2

直角三角形的判定【例3】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是(

D

)A.

∠C＝90°B.

∠A＋∠B＝90°C.

∠A＝20°，∠B＝70°D.

∠A＝∠B【变式3】(多维原创)在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②

∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC为直

角三角形的是

.(填序号)D①②

【例4】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C.

求证：△ABD是直角

三角形.证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.∴∠C＋∠D＝90°.∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.∴∠ABD＝90°.∴△ABD是直角三角形.证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.∴∠C＋∠D＝90°.∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.∴∠ABD＝90°.∴△ABD是直角三角形.【变式4】(人教教材P14T2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E

分别在边AB，AC上，且∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：△ADE是直角三角形.理由如下：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADE＝90°.∴△ADE是直角三角形.解：△ADE是直角三角形.理由如下：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADE＝90°.∴△ADE是直角三角形.知识点3

整体思想在直角三角形中的应用【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的角平分线AD，BE

相交于点O，求∠AOB的度数.解：∵∠C＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵AD，BE分别为∠CAB，∠ABC的角平分线，

∴∠AOB＝180°－(∠DAB＋∠EBA)

＝180°－45°＝135°.【变式5】(人教教材P17T10改编)如图，AD∥BE，AC，BC分别平分

∠DAB和∠EBA，试判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是直角三角形.理由如下：∵AD∥BE，∴∠DAB＋∠ABE＝180°.∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，

∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形.课堂总结：直角三角形⇔两锐角互余.1.

把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝50°，则

∠2的度数为

⁠.第1题图40°

2.

如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有

(

B

)A.1个B.2个C.3个D.4个第2题图B3.

如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上的一动点.当

△AOP为直角三角形时，∠A的度数为

⁠.第3题图50°或90°

4.

如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是△ABC的角平分

线，它们相交于点P，已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，求∠BAC的

度数.解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°.∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°－55°＝35°.∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠PCD＝35°.∴∠BAC＝180°－35°－80°＝65°.解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°.∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°－55°＝35°.∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠PCD＝35°.∴∠BAC＝180°－35°－80°＝65°.5.(中考热点·转化思想)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，BE平分∠ABC，分别交

CD，AC

于点

F，E.