14.2三角形全等的判定课件人教版八年级数学上册-1

14.2三角形全等的判定课时1用“SAS”判定三角形全等第十四章

全等三角形02掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能进行简单的运用，并知道不能用“边边角”来判定两个三角形全等.01探索判定三角形全等的条件.思考：一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.ABCDEF①AB=DE③

CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F任务一：探索判定三角形全等的条件.活动：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的△A′B′C′和△ABC一定全等吗？尝试1：满足一个条件可以吗？(1)一条边相等:AB=DEABCDEF(2)一个角相等:∠BAC=∠EDFABCDEF尝试2：满足两个条件可以吗？(1)两条边相等：AB=DE，AC=DFABCDEF(2)一边一角相等:∠A=∠D，AB=DEABCDEF(3)两个角相等根据三角形内角和定理，可推出这两个三角形三个角都相等.但三个角都相等仍然无法保证两个三角形全等，如下图.E点为AB边上一点，作EF∥BC交AC于F；△ABC与△AEF三个角都相等，但△ABC与△AEF不全等.ABCEF结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.(1)三个角相等(2)三条边相等(3)两条边和一个角相等(4)两个角和一条边相等思考：如果给出三个条件画三角形，你能给出几种可能的情况？今天我们先来探究两个角和一条边相等是否能保证两个三角形全等.任务二：利用“SAS”判定三角形全等.活动1：如图，直观上，如果∠A，AB，AC

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果∠A'=∠A，A'B'=AB，A'C'=AC，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？CABC'A'B'①如图，由∠A'=∠A

可知，如果使点A'

与点A

重合，并使射线A'B'

与射线

AB

重合，那么射线A'C'

与射线

AC

重合.②由A'B'=AB，A'C'=AC，点B'，C'

分别与点B，C

重合.(A')(B')(C')活动1：如图，直观上，如果∠A，AB，AC

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果∠A'=∠A，A'B'=AB，A'C'=AC，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？CABC'A'B'(A')(B')(C')△A'B'C'

的三个顶点与△ABC

的三个顶点分别重合.△A'B'C'

与△ABC

能够完全重合.△A'B'C'≌△ABC“边角边”判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写为“边角边”或“SAS”）几何语言：在△ABC和△DEF中，ABCDEF

AB=DE，

∠A=∠D，

AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）.在下列图中找出全等三角形.ر8cm9cmر8cm9cmر8cm5cmⅢر8cm8cm8cm5cmر（1）（2）（3）（4）（5）解：全等三角形有：(1)和(4)，(2)和(5).30°30°30°30°30°例1如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D.ABCD①先找现有条件：②再找隐含条件：③最后找准备条件：公共边ABAC=AD分析：可以证明△ABC≌△ABD.∠CAB=∠DABAB平分∠CAD由分析可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.例1如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D.ABCD证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB.在△ABC和△ABD中，∴△ABC

≌△ABD

（SAS）AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB∴∠C=∠D.小结：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.证明的书写步骤：活动2：先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？结论：两边和其中一边的对角相等(边边角)不能判定两个三角形全等.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E

B．∠BAD＝∠EAC

C．∠BAC＝∠EAD

D．BC＝EDA方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．

边角边内容两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边

应用1.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用“边角边”证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（）A．∠A＝∠D B．AC∥DF

C．BE＝CF D．AC＝DFC2.下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DFC

证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.

在△AEF和△BCD中，

AE＝BC,∵∠A＝∠B,AF＝BD,∴△AEF≌△BCD(SAS)．14.2三角形全等的判定课时2用“ASA”或“AAS”判定三角形全等第十四章

全等三角形01理解三角形全等的判定方法——“ASA”和“AAS

”.02会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等.思考：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？任务一：三角形全等的判定方法——“ASA”．活动：如图，直观上，AB，∠A，∠B

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？CABC'A'B'①如图，由A'B'=AB可知，如果使点A

与点A'

重合，点B'

在射线

AB

上，那么点B'

与点

B

重合.(A')(B')(C')②由∠A'=∠A，∠B'=∠B，可知射线A'C'

与射线

AC

重合，射线B'C'

与射线

BC

重合，于是射线A'C'，B'C'的交点C'与射线

AC，BC的交点C重合.活动：如图，直观上，AB，∠A，∠B

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？CABC'A'B'(A')(B')(C')△A'B'C'

的三个顶点与△ABC

的三个顶点分别重合.△A'B'C'

与△ABC

能够完全重合.△A'B'C'≌△ABC几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，

∠A=∠A'，

AB=A'B'，∠B=∠B'，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.“角边角”判定方法：两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等.（简写为“角边角”或“ASA”）ABCA′B′C′

如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?解：带碎片1到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具.理由：有两角且夹边相等的两个三角形全等.321例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE.ABCDE①先找现有条件：②再找隐含条件：公共角∠AAB=AC，∠B=∠C分析：可以证明△ACD≌△ABE.由分析可知，△ACD与△ABE.具备“角边角”的条件.证明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B

（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE.例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE.ABCDE

如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出△ABC≌△EDC.根据哪个判定？CEADB（1）条件（

），根据（

）.（2）条件（

），根据（

）.AB=ED两边及其夹角分别相等的两个三角形全等∠ACB=∠ECD两角及其夹边分别相等的两个三角形全等活动1：若一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与其他组员画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？60°45°任务二：三角形全等的判定方法——“AAS”．问题：这里的条件与ASA中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为ASA中的条件吗？60°45°75°活动2：如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，比如在△ABC和△A'B'C'中，使得BC=B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'.此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？C'A'B'CAB提示：选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等.C'A'B'CAB证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°–∠A–∠B.同理∠C'=180°–∠A'–∠B'.又∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∠C=∠C'.在△ABC

和△A'B'C'中，∠B=∠B′，BC=B'C'，∠C=∠C'，∴△ABC≌△A′B′C′

（ASA）“角角边”判定方法：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”

).∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙甲

ac50°ABCacb70°60°50°乙

b70°50°丙

c70°60°B如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形.问题：有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？思考：能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边把夹边相等写在两角相等的中间由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化AAS“S”是其中一角的对边把两角相等写在一起，边相等放在最后“ASA”和“AAS”的区别与联系ASA两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等.（简写为“角边角”或“ASA”）三角形全等的判定AAS两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”).联系1.如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：

能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC．∠A＝∠D2.如图，B，C，E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠B＝∠D.

求证：AB＝CD.

3.如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．证明：∵AB＝BD+CF，又AB＝BD+AD，∴CF＝AD∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）．∠A=∠ACF，

CF=AD,∠ADF＝∠F，

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E.

求证：(1)△BCE≌△CAD；14.2三角形全等的判定课时3用“SSS”判定三角形全等第十四章

全等三角形01会利用“边边边”判定两个三角形全等，并能进行简单的应用.02能用尺规作图：已知三边作三角形.我们知道三角形具有稳定性，那为什么木架的形状、大小不会改变呢？任务一：三角形全等的判定方法——“SSS”．活动：如图，直观上，AB，BC，CA

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果A'B'=AB，B'C'=BC，C'A'=CA，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？CABC'A'B'①如图，由A'B'=AB可知，如果使点A

与点A'

重合，点B'

在射线

AB

上，那么点B'

与点

B

重合.(A')(B')②使点C'

落在直线AB

的含有点C

的一侧.CABC'A'B'③点C

是以点A

为圆心、AC

为半径的圆和以点B

为圆心、BC

为半径的圆的交点；点C'

是以点A'

为圆心、A'C'为半径的圆和以点B'

为圆心，B'C'为半径的圆的交点.(A')(B')A'C'=AC

，

B'C'=BC

，于是点C'与点C重合.(C')活动：如图，直观上，AB，BC，CA

的大小确定了，△ABC

的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'

与△ABC

中，如果A'B'=AB，B'C'=BC，C'A'=CA，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗？△A'B'C'

的三个顶点与△ABC

的三个顶点分别重合.△A'B'C'

与△ABC

能够完全重合.△A'B'C'≌△ABCCAB(A')(B')(C')“边边边”判定方法：三边分别相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）几何语言：在△ABC和△

DEF中，

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，∴△ABC≌△DEF（SSS）.ABCDEF思考：为什么三角形具有稳定性？解：三角形的三边确定一个三角形的形状和大小.用三根木条钉成一个三角形后，三条边的长度已经固定，就相当于确定了一个唯一的三角形.例3：在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD

是连接点A

与BC

中点D

的支架.求证AD⊥BC.ABCD①先找现有条件：②再找隐含条件：③最后找准备条件：公共边ADAB=AC分析：如果△ACD≌△ABE，那么∠ADB=∠ADC，于是AD⊥BC.D是BC中点由分析可知，△ACD与△ABE具备“边边边”的条件.BD=CD例3：在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD

是连接点A

与BC

中点D

的支架.求证AD⊥BC.ABCD证明：∵点D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABC和△A'B'C'中，AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.∴∠ADB=∠ADC.又∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.

求证△ACD≌△CBE.DABCE证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD和△CBE中，AD=CE，CD=BE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE（SSS）.任务二：尺规作图：已知三边作三角形．

活动：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形.如图，已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为a，b，c.abc作法：如图(1)作线段AB=c；AB(2)分别以点A，B

为圆心，线段b，a

为半径作弧，两弧相交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC

就是所求作的三角形.Cabc思考：三角分别相等的两个三角形全等吗？总结：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.思考：我们已知的三角形全等的判定方法有哪些？判定方法简称图示ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'三边分别相等两边和它们的夹角分别相等两角和它们的夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等SSSSASAASASASSS三边分别相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）三角形全等的判定尺规作图已知三角形的三边作三角形.1.如图，已知AB=DC，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．A．AO=BOB．∠ACB=∠DBC

C．AC=DBD．BO=COC2.如图，C是BF的中点，AB=DC，AC=DF.求证：△ABC

≌△DCF.证明：∵C是BF中点，∴BC=CF.在△ABC

和△DCF中，AB=DC，(已知)(已证)AC=DF，(已知)BC=CF，∴△ABC≌△DCF.DBCAF3.如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.

求证：DF∥EC.

14.2三角形全等的判定课时4用三角形全等的判定解决尺规作图问题第十四章

全等三角形01利用三角形全等，能够作一个角等于已知角.02能够用尺规作图，过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.作一条线段等于已知线段：a任务一：作一个角等于已知角．

活动：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素.如图，已知∠AOB，如何用直尺和圆规作一个角与其相等.OAB思路：一个三角形的三条边、三个角是确定的.如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等，就能得到与∠AOB

一样大小的角.问题1：如何构建含有∠AOB的三角形呢？如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点C，D，连接CD，得到△COD.∠AOB就是△COD的一个内角.CDOABC‘D’O’

SSS已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'=∠AOB.作法：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；ODBCO'D'B'A'AC'2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．任务二：过直线外一点作这条直线的平行线．例4：如图，已知直线AB

及直线AB

外一点C，利用直尺和圆规过点C

作直线AB

的平行线CD.CAB分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.

为此需要先作出截线，再作出相等的同位角，CAB作法：(1)过点C

作一条直线，与直线AB

相交于点E；(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；EFDCABEFD(3)反向延长CD，得直线CD，则直线CD//AB.还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图.任务三：已知两边及其夹角作三角形．例5：如图，已知线段a，b

和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α.ab问题：如何构建△ABC？思路：先作一个角等于已知角，再在角的两边上截取指定长度的边，从而确定三角形.ααabAED作法：(1)作∠DAE=∠α；αabAEDB作法：(2)在射线AD

上作AB=a，在射线AE

上作AC=b；αabAEDCB作法：(2)在射线AD

上作AB=a，在射线AE

上作AC=b；αabAEDCB作法：(3)连接BC，则△ABC

就是所求作的三角形.尺规作图依据：SSS依据：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”作一个角等于已知角过直线外一点作这条直线的平行线已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形.1.如图，已知∠AOB，以点O

为圆心，以任意长为半径作弧①，分别交OA，OB

于点E，F，再以点E

为圆心，以EF

长为半径作弧，交弧①于点D，画射线OD.若∠AOB=28°，则∠BOD

的度数为（

）A.34° B.62° C.56° D.124°C

D14.2三角形全等的判定课时5用“HL”判定直角三角形全等第十四章

全等三角形01探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.02会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.我们已经学过的判定全等三角形的方法有哪些？“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ABCA'B'C'任务一：直角三角形全等的判定方法“HL”．活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？①一条直角边(或斜边)和一锐角分别相等ASAA'B'C'ABCA'B'C'AAS活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？②两直角边分别相等SASA'B'C'ABC活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？问题：如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？?ABCA'B'C'活动2：如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，∠C=∠C′=90°，A′B′=AB，B′C′=BC.这两个三角形全等吗？C'A'B'CABC'A'B'CAB如图，由∠C=∠C′=90°可知：①点C

与点C'

重合，射线C'A'

与射线

CA

重合，那么射线C'B'

与射线

CB

重合.②由B'C'=BC

，可知点B'与点B重合.(C')(B')CAB(C')(B')

为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.①设点M

在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA

＞∠C，∠BMA是钝角．②若过点M

且垂直于BM

的直线与线段AB

相交于点M′，则有AB

＞BM′＞BM．M外角的性质M'垂线段最短CAB(C')(B')

为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.③设点N

在线段CA

的延长线上，连接BN，同理可得

BN＞

BN′＞

AB．NN'CAB(C')(B')

为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.④

因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.NM在点A

下方时，长度<AB；在点A

上方时，长度>AB.⑤再由点A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合．(A')CAB(C')(B')(A')活动2：如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，∠C=∠C′=90°，A′B′=AB，B′C′=BC.这两个三角形全等吗？△A'B'C'

的三个顶点与△ABC

的三个顶点分别重合.△A'B'C'

与△ABC

能够完全重合.△A'B'C'≌△ABC斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简写成“斜边、直角边”或