微专题五四大常考三角形全等模型

第十四章全等三角形微专题五四大常考三角形全等模型模型解读模型一

平移型(1)特征：沿同一直线平移可得两三角形重合.条件：AE＝BF，CB∥DF，AC∥DE；结论：△ABC≌△EFD.

(2)解题思路：①加(减)公共部分，得某一对应边相等；②利用平行线得到对应角相等.

1.

如图，已知MA＝NC，∠M＝∠N，添加下列条件不能判定

△ABM≌△CDN的是(

C

)A.

∠A＝∠NCDB.

BM＝DNC.

AB＝CDD.

BM∥DNC模型训练

证明：∵点C是AE的中点，∴AC＝CE.

∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCE.

在△ABC和△CDE中，

∴△ABC≌△CDE(SAS).2.

如图，点C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD.

求证：△ABC≌△CDE.

模型二

翻折型(1)特征：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.(2)解题思路：①找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等；②找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等.模型解读3.

如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交

于点D，则下列结论中不正确的是(

D

)A.

△ABE≌△ACFB.

点D在∠BAC的平分线上C.

△BDF≌△CDED.

点D是BE的中点D模型训练4.

在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是

E，F，BE＝CF.

求证：(1)DE＝DF.

证明：(1)∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).∴DE＝DF.

4.

在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是

E，F，BE＝CF.

求证：(2)AD平分∠BAC.

证明：(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠BAC.

模型三

旋转型(1)特征：①共顶点：绕该顶点旋转可得两三角形重合；模型解读②不共顶点：绕某一点旋转后，再平移可得到两三角形重合.(2)解题思路：①共顶点：加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对应角

相等；②不共顶点：由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF；利用平

行线的性质找对应角相等.

5.

如图，AE∥DF，AE＝DF.

添加下列的一个选项后，仍然不能证明

△ACE≌△DBF的是(

B

)A.

AB＝CDB.

EC＝BFC.

∠E＝∠FD.

EC∥BFB模型训练6.

如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD.

求证：△ABC≌△BED.

证明：∵DE∥AC，∴∠D＝∠ACB.

在△ABC和△BED中，

∴△ABC≌△BED(SAS).模型四

一线三等角特征：同一直线上有3个相等的角.(1)普通一线三等角：条件：∠B＝∠1＝∠E，AC＝DC；结论：∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，△ABC≌△CED，BE＝BC＋CE＝DE＋AB.

模型解读(2)一线三垂直型：条件：∠B＝∠1＝∠C＝90°，AE＝DE；结论：∠2＝∠4，∠3＝∠5，△ABE≌△ECD，BC＝BE＋EC＝AB＋CD.

特征：同一直线上有3个相等的角.7.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的

一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点

E，求证：BD＝DE＋CE；模型训练解：(1)证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∵∠ABD＋∠BAE＝90°，∠CAE＋∠BAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.

∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD＝AE，AD＝CE.

∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.

7.(2)若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置时(BD＜CE)，其余条件不

变，问BD与DE，CE的关系如何？请给予证明.

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

∴BD＝DE－CE.

解：(2)BD＝DE－CE.

证明如下：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∴∠ABD＋∠DA