2026高三数学一轮复习第53讲　成对数据的统计分析 教师备用习题

第53讲成对数据的统计分析【备选理由】例1是非线性回归模型问题,是对探究点二的补充;例2主要是针对探究点二题型的补充,让这部分内容考查更加全面;例3综合考查了回归方程及独立性检验.1[配合探究点二使用](1)[2024·河南商丘期末]某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本y(单位:万元)进行统计,根据统计数据作出如图所示的散点图.由此散点图,判断下列四个回归模型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1,2,…,13)的回归方程类型的是 (C)A.y=ax2+b(a>0)B.y=ax+b(a>0)C.y=alnx+b(a<0)D.y=ax+b(a<[解析]根据散点图可知,散点大致分布在一条单调递减的函数的图象周围.选项A,B,D中的函数在(0,+∞)上单调递增,选项C中函数在(0,+∞)上单调递减.故选C.(2)[2024·福建南平模拟]设某幼苗从观察之日起,第x天的高度为ycm,变量x,y的一组数据如下表所示.第x度y(cm)0479111213作出这组数据的散点图发现,散点分布在曲线y=bx+a(其中a,b均为常数)附近试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法估计a,b的值,并求出y关于x的回归方程.附:对于一组数据(v1,μ1),(v2,μ2),…,(vn,μn),其经验回归直线μ=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑i=1nvi·μ解:令t=x,则y=bt+a,根据已知数据表得到下表.=x1234567y0479111213则t=1+2+3+4+5+6+77=4,y=0+4+7+9+11+12+137∑i=17tiyi=1×0+2×4+3×7+4×9+5×11+6×12+7×∑i=17ti2=1+4+9+16+25所以b=∑i=17tia=y-bt=-3所以y关于x的回归方程为y=5928x-2[配合探究点二使用]某手机店今年2~6月份某新款手机的销量(单位:部)如下表所示.月份x23456手机销量y(部)425366m109用最小二乘法得到手机销量y关于月份x的经验回归方程为y=16.1x+5.6,且销量y的方差sy2=(1)求m;(2)求样本相关系数r(精确到0.01),并据此判断手机销量y与月份x的线性相关程度的强弱(若r>0.9,则可判断y与x线性相关程度较强);(3)求x=4时的残差e3,已知(y1-y1)2+(y2-y2)2+(y4-y4)2+(y5-y5)2=101.9,求决定系数R2(附:经验回归方程y=bx+a中,b=∑i=1n(xi-xr=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑解:(1)由已知得x=15×(2+3+4+5+6)=4,y=15×(42+53+66+m+109)=则270+m5=16.1×4+5.6,解得m=(2)由x=4,得∑i=15(xi-x)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22由sy2=15∑i=15(yi-y)2=542,得∑i=1所以r=∑i=1=16.1×102710=16.1271≈0.98所以手机销量y与月份x的线性相关程度较强.(3)e3=y3-y3=66-(16.1×4+5.6)所以∑i=15(yi-yi)2=101.9+(-4)2=117.9,则R2=1-∑3[配合探究点三使用][2024·浙江温州模拟]为了了解高中学生每天课后自主学习数学平均时间x(单位:分钟)和他们的数学成绩y(单位:分)之间的关系,某实验小组做了调查,得到一些数据如下表.编号12345每天课后自主学习数学平均时间x3040506070数学成绩y65788599108(1)请利用散点图说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求出y关于x的经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学平均时间为100分钟时的数学成绩.(2)基于上述调查,某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计,得到2×2列联表如下.单位:人是否参与周末在校自主学习成绩是否有进步合计没有进步有进步参与周末在校自主学习35130165未参与周末在校自主学习253055合计60160220依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验,分析“参与周末在校自主学习与成绩进步”是否有关联?附:参考数据:∑i=15xiyi=22经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1n(xi-x)(yi-yα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)画出散点图(如图所示),由图可知这些样本点在某一条直线附近波动,说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合.由题得x=30+40+50+60+705=50,y=4355=87,又1所以b=∑i=15(xi-xa=y-bx=87-1.07×50=33.5,故y=1.07x+33.5当x=100时,y=140.5,故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.(2)零假设为H0:参与周末在校自主学习与成绩进