专题12圆周角和圆心角的关系（重点突围）

专题12圆周角和圆心角的关系考点一圆周角概念辨析考点二圆周角定理考点三同弧或等弧所对的圆周角相等考点四直径所对的圆周角是直角考点五90°的圆周角所对的弦是直径考点六圆内接四边形对角互补考点一圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．故选：．【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A.

同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【解析】【详解】解：(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．考点二圆周角定理例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝50°，则∠A的度数为__________．【答案】##40度【分析】根据圆周角定理即可解决问题．故答案为∶【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】【答案】##64度故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．【答案】##度【详解】解：如图，连接，∵是的直径，故答案为：．考点三同弧或等弧所对的圆周角相等A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】【详解】解：∵AB是⊙O的直径，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵BC＝CD，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．考点四直径所对的圆周角是直角【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，∴CB⊥BD，故A选项正确，如图，连接，故B，C选项正确，BDDE，故D选项不正确，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠ADB=90°，AD=DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABD=45°，∴∠C=∠A=45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC=4，∴EC=EB=2，∵CD=，∴DE=，∴⊙O的半径长为，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．【答案】3【解析】【分析】【详解】是直径．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．考点五90°的圆周角所对的弦是直径A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】解：连接，故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．【变式训练】【答案】A【解析】【分析】首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．【详解】点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD当点E、P、D在一条直线上时，PD最小理由如下：此时PD最小故PD的最小值为8故选：A【点睛】本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.【解析】【分析】利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，∴∠BPA=90°，∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值∵AB=6，∴OB=OP=3，∵BC=5，【点睛】本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．考点六圆内接四边形对角互补A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【详解】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【变式训练】A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】【详解】∵四边形OABC为菱形，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，故选：C【点睛】2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一个外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度数可能是：125°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．一、选择题A．110° B．100° C．120° D．130°【答案】A故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角的定理是解题的关键．A．35° B．45° C．60° D．70°【答案】A故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【答案】C故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．【答案】C【详解】解：连接，故选：C．【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及角平分线平分角，直径所对的圆周角是，和平行线分线段对应成比例，逐一进行判断即可．B、∵是的直径，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线分线段成比例．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是，是解题的关键．二、填空题【答案】【分析】根据圆内接四边形对角互补及圆周角定可直接得到答案．故答案为．【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补及同弧或等弧所对圆心角等于圆周角两倍．【答案】##度故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角与圆心角的关系利用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，熟练掌握此关系是解题的关键．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理．【分析】以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此能求出结果．当点B，O，E共线时，最小，【点睛】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键．【点睛】本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质，熟练掌握圆周角的相关定理是关键，注意确定满足条件的点，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，从而解决问题．三、解答题【答案】(1)见解析【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，以及锐角三角函数的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．(2)求的长度．【答案】(1)【详解】（1）解：∵与相切于点A，【点睛】本题考查圆和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识．13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．【答案】(1)直角【分析】（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是，即可得出结论；【详解】（1）解:∵是的直径，故答案为：直角；由折叠得：∵直径的长是，∴菱形的边长为．【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，菱形的判定．熟练掌握圆周角定理和折叠的性质，是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：延长交于，连接．（3）连接并延长交于，连，【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；【答案】(1)＜，证明见解析(3)36【详解】