高考二轮复习 逐题特训 小题满分练7

小题满分练7一、选择题1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋eq\r(3)i，则eq\f(z,z\x\to(z)－1)等于()A．－1＋eq\r(3)i B．－1－eq\r(3)iC．－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i D．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i答案C解析eq\f(z,z\x\to(z)－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,－1＋\r(3)i－1－\r(3)i－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i.2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A*B的所有元素之和为()A．16B．18C．14D．8答案A解析由题设知A*B＝{1,2,3,4,6}，∴所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.3．(2022·卓越高中联盟联考)若“∃x0∈R，sinx0－eq\r(3)cosx0＝a”为假命题，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析因为“∃x0∈R，sinx0－eq\r(3)cosx0＝a”为假命题，则“∀x∈R，sinx－eq\r(3)cosx≠a”为真命题，因为f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))∈[－2,2]，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．4．(2022·湖北七市(州)联考)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600,1100,800，现用比例分配的分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm,165cm,170cm.则下列说法正确的是()A．高三年级抽取的学生人数为32B．高二年级每个学生被抽取到的概率为eq\f(1,100)C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D．所有学生的平均身高估计要小于165cm答案D解析根据比例分配的分层抽样的定义，高三抽取的学生人数为eq\f(800,1600)×32＝16，A错误；分层抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为eq\f(32,1600)＝eq\f(1,50)，B错误，C错误；平均身高为eq\f(1600,3500)×160＋eq\f(1100,3500)×165＋eq\f(800,3500)×170≈163.9(cm)，D正确．5．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋eq\f(1,α1)，b2＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，b3＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则()A．b1<b5 B．b3<b8C．b6<b2 D．b4<b7答案D解析方法一当n取奇数时，由已知b1＝1＋eq\f(1,α1)，b3＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，因为eq\f(1,α1)>eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，b4＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3＋\f(1,α4))))，因为eq\f(1,α2)>eq\f(1,α2＋\f(1,α3＋\f(1,α4)))，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；因为eq\f(1,α1)>eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；方法二(特殊值法)不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋eq\f(1,1)＝2，b2＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,1))＝1＋eq\f(1,b1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，b3＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋\f(1,1)))＝1＋eq\f(1,b2)＝1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5,3)，所以b4＝1＋eq\f(1,b3)＝1＋eq\f(3,5)＝eq\f(8,5)，b5＝1＋eq\f(1,b4)＝1＋eq\f(5,8)＝eq\f(13,8)，b6＝1＋eq\f(1,b5)＝1＋eq\f(8,13)＝eq\f(21,13)，b7＝1＋eq\f(1,b6)＝1＋eq\f(13,21)＝eq\f(34,21)，b8＝1＋eq\f(1,b7)＝1＋eq\f(21,34)＝eq\f(55,34).逐一判断选项可知选D.6．(2022·六盘水市第五中学模拟)在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，在该矩形内任取一点M，则事件“∠AMB<90°”发生的概率为()A.eq\f(2π,7)B.eq\f(π,7)C．1－eq\f(2π,7)D．1－eq\f(π,7)答案D解析如图，以AB为直径作半圆，当点M在半圆外时，∠AMB<90°.所以事件“∠AMB<90°”发生的概率为P＝eq\f(7×8－\f(1,2)π×42,7×8)＝1－eq\f(π,7).7．(2022·咸阳模拟)设a>0，b>0,2是4a与4b的等比中项，则eq\f(ab,a＋4b)的最大值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,9)C.eq\f(2,27)D.eq\f(1,5)答案B解析∵2是4a与4b的等比中项，∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1.∵eq\f(ab,a＋4b)＝eq\f(1,\f(4,a)＋\f(1,b))，eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥5＋2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝9，当且仅当a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)时取等号，∴eq\f(ab,a＋4b)≤eq\f(1,9)，∴eq\f(ab,a＋4b)的最大值为eq\f(1,9).8．(2022·湖北八市联考)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．通常我们用函数f(x)＝eq\f(M,xlogxM)表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是()A．二进制 B．三进制C．八进制 D．十进制答案B解析因为f(x)＝eq\f(M,xlogxM)＝eq\f(M,x·\f(lnM,lnx))＝eq\f(M,lnM)·eq\f(lnx,x)，f′(x)＝eq\f(M,lnM)·eq\f(1－lnx,x2)，令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．则效率最高的是三进制．9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1答案A解析如图，连接AD1，则M为AD1的中点，又N为BD1的中点，则MN∥AB，∵MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，∵∠ABD＝45°，则MN与BD所成的角为45°，故MN与平面BDD1B1不垂直，由图可知，A1D与D1B异面，∵四边形AA1D1D为正方形，则A1D⊥AD1，又AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，则A1D⊥AB，∵AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1，∵BD1⊂平面ABD1，则A1D⊥BD1.10．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是()A．k可以为0B．等差数列一定是等差比数列C．等比数列一定是等差比数列D．通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列答案DB选项，当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B错误；C选项，当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C错误；D选项，因为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)，所以eq\f(a·bn＋2＋c－a·bn＋1＋c,a·bn＋1＋c－a·bn＋c)＝eq\f(a·bn＋2－a·bn＋1,a·bn＋1－a·bn)＝eq\f(a·bn＋1b－1,a·bnb－1)＝b，为常数，是等差比数列，故D正确．11．(2022·湖南六校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一点P，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△F1PF2的面积为S，则下列说法不正确的是()A．△F1PF2的周长为4＋2eq\r(2)B．角θ的最大值为90°C．若S＝eq\r(2)，则相应的点P共有2个D．若△F1PF2是钝角三角形，则S的取值范围是(0，eq\r(2))答案C解析由已知可得a＝2，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(2)，△F1PF2的周长为2a＋2c＝4＋2eq\r(2)，故A正确；因为b＝c，所以以F1F2为直径的圆与椭圆C相切于上、下顶点，所以θ≤90°，故B正确；设△F1PF2的边F1F2上的高为h，则S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×h＝eq\r(2)h＝eq\r(2)，所以h＝1<eq\r(2)＝b，由椭圆的对称性可知，点P共有4个，故C错误；因为△PF1F2为钝角三角形，所以△PF1F2中有一个角大于90°，由选项B知∠F1PF2不可能为钝角，所以∠PF2F1或∠PF1F2为钝角，当∠PF2F1＝90°时，将x＝eq\r(2)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1得y＝±1，此时△F1PF2的面积为S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，所以若△F1PF2是钝角三角形，则其面积S∈(0，eq\r(2))，故D正确．12．(2022·苏州模拟)已知直线y＝a与曲线y＝eq\f(x,ex)相交于A，B两点，与曲线y＝eq\f(lnx,x)相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则下列结论正确的个数是()①x2＝aex2；②x2＝lnx1；③x3＝ex2；④x1x3＝xeq\o\al(2,2).A．1B．2C．3D．4答案C解析对于y＝eq\f(x,ex)，令y′＝eq\f(1－x,ex)＝0，则x＝1.则y＝eq\f(x,ex)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴ymax＝eq\f(1,e).对于y＝eq\f(lnx,x)，令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，则x＝e，则y＝eq\f(lnx,x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴ymax＝eq\f(1,e).作出函数的图象如图所示．＝a，则x2＝a，①正确；y＝eq\f(x,ex)在(0,1)上单调递增，0<x1<1,1<x2<e,0<lnx2<1，∴x1＝lnx2，②错误；y＝eq\f(lnx,x)在(e，＋∞)上单调递减，∈(e，ee)，x3>e，∴＝x3，③正确；x1x3＝lnx2＝eq\f(x2,a)·ax2＝xeq\o\al(2,2)，④正确．二、填空题13．(2022·日照模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2\r(x))))6展开式中的常数项为________．答案eq\f(15,16)解析Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(x))))k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))kCeq\o\al(k,6)令6－eq\f(3,2)k＝0，得k＝4，∴常数项为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))4Ceq\o\al(4,6)＝eq\f(15,16).14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋log21－x，x<1，,3x－1，x≥1，))则f(－1)＋f(log312)＝__________.答案7解析因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋log21－x，x<1，,3x－1，x≥1，))所以f(－1)＝2＋log22＝3，f(log312)＝＝4，所以f(－1)＋f(log312)＝7.15.(2022·盐城模拟)某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为__________，体积为________cm3.答案818eq\r(2)解析公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8个面．底面是以3eq\r(2)cm为边长的正方形，其面积为S＝18cm2，其中一个正四棱锥的高为eq\f(3\r(2),2)cm.∴V＝eq\f(1,3)×18×eq\f(3\r(2),2)×2＝18eq\r(2)(cm3)．16．若函数y＝f(x)的定义域内存在x1，x2(x1≠x2)，使eq\f(fx1＋fx2,2)＝1成立，则称该函数为“互补函数”．若函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(2π,3)))(ω>0)在[π，2π]上为“互补函数”，则ω的取值范围为______________．答案eq\b\