2025年中考数学总复习《锐角三角函数》强化训练及参考答案详解

中考数学总复习《锐角三角函数》强化训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若，，则的值是（）A．20 B．20 C．－5 D．52、的相反数是（）A． B． C． D．3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝4、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（）A． B． C． D．5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．2、如图，大坝的横截面是一个梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡度，斜坡的坡度，则坡底宽__________．3、如图，ABC中，∠BAC＞90°，BC＝4，将ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B的对应点落在BA的延长线上，若sin∠AC＝0.8，则AC＝___．4、如图，中，，，点D、点E分别在AB、AC上，连接CD、ED，，，，则______．5、如图所示为4×4的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF的面积为________；tan∠FAE=_______三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tanF＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为2，y＝，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．2、抛物线与轴相交于两点(点在点左侧),与轴交于点,其顶点的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求的正切值；（3）点在线段的延长线上,且,求的长．3、如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆相连.已知直线与直线的夹角是.在地面点处测得点的仰角是,点仰角是,点与点之间的距离为米．求：（1）点到地面的距离；（2）的长度．（精确到米）（参考数据:）4、如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出等腰，点在小正方形的顶点上，的面积为；（2）在方格纸中画出以为斜边的，点在小正方形顶点上，，连接，并直接写出的长．5、如图，在平行四边形ABCD中，，过点B作于E，连结AE，，F为AE上一点，且．（1）求证：．（2）BF的长为______．6、计算：•tan60°．-参考答案-一、单选题1、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S△OBC=2，∴，∴BD=1，∵tan∠BOC=，∴，∴OD=5，∴点B的坐标为（1，5），∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，∴k2=1×5=5．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．2、C【分析】先计算=，再求的相反数即可．【详解】∵=，∴的相反数是，故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．4、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出∠AOB=60°△AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OG⊥AB，可得OG平分∠AOB，得出∠AOC=，根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：如图连结OA，OB，OG，∵六边形ABCDEF为圆外切正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，△AOB为等边三角形，∵点G为切点，∴OG⊥AB，∴OG平分∠AOB，∴∠AOC=，∴cos30°=，∴．故选择B．【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键．5、D【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【详解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，由①得AD＝OD，DF＝DE，∠ODA＝60°，∠EDF60°，∴∠ADF＝∠ODE，在△DAF和△DOE中，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③由②得∠ODE＝∠ADF，∠OCE＝∠ODE，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识．二、填空题1、【解析】【分析】连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．根据旋转作图和“心”形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°，设OM=m，得到点B坐标为，把点B代入，求出m，即可得到点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB．【详解】解：如图，连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．∵点C绕原点O旋转60°得到点D，∴∠COD=60°，由“心”形轴对称性得AB为对称轴，∴OB平分∠COD，∴∠COB=30°，∴∠BOG=60°，设OM=m，在Rt△OBM中，BM=,∴点B坐标为，∵点B在抛物线上，∴，解得，∴点B坐标为，点A坐标为，∴AP=，BP=9，在Rt△ABP中，．故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质，旋转、轴对称、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，理解题意，表示出点B坐标是解题关键．2、60【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，再根据坡度的定义求出的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形，，斜坡的坡度，斜坡的坡度，，即，解得，则坡底宽，故答案为：60．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（坡度）、矩形的判定与性质等知识点，掌握理解坡度的定义（坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度）是解题关键．3、5【解析】【分析】作CD⊥BB′于D，先利用旋转的性质得CB＝CB′＝4，∠BCB′＝90°，则可判定△BCB′为等腰直角三角形，可由CD＝BC·sin∠B求出CD＝4，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义求AC即可．【详解】解：作CD⊥BB′于D，如图，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，∴BC＝B′C＝4，∠BCB′＝90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠B=22在Rt△ACD中，∵sin∠DAC＝＝0.8，∴AC＝CD0.8故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质，会利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．4、【解析】【分析】如图，过作于过作于作于证明四边形为矩形，再求解证明设则再表示利用列方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，过作于过作于作于四边形为矩形，设则由同理：解得：故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用“锐角三角函数建立方程”是解本题的关键.5、4，【解析】【分析】（1）利用分割的思想得，即可求出；（2）连接，过点作，垂足为点，利用勾股定理求出即可求出．【详解】解：（1）．（2）连接，过点作，垂足为点．．，，∴GF=2⋅∴AG=A∴tan故答案为：4，．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是利用分割的思想进行求解．三、解答题1、（1）见解析；（2）①y=．②或．③1或2【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=∠DGC=90°，证明AD∥CG；根据∠1=∠2=∠ACD，证明AG∥CD；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，根据AD∥CF，得AF=DC，四边形APGD是矩形，△APF≌△DGC，从而得到CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，GD=2b，BG==，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=，在Rt△APF中，tanF＝x=，消去a，b即可；②运用勾股定理，确定a，b的值，显然DE与AF是不平行的，故分DH∥AF和EH∥AF两种情形计算即可．③过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，根据OG平分∠DGF，OM=ON，于是BD=CF，从而确定a，b之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CF⊥BD于点G，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵，∴BG==，在Rt△BGC中，tan∠3＝y===，在Rt△APF中，tanF＝x==，消去a，b即可；∴x=2y，∴y关于x的函数表达式为y=；②∵tan∠3＝y===，y＝，∴＝，∴b＝a，∴GD=2b=a，∴BG==a，∴BD=DG+BG=a+a=a，∵AB=2，，∴，解得a=；显然DE与AF是不平行的，如图2，当DH∥AF时，∵AD∥FH，∴四边形ADHF是平行四边形，∴AD=FH=a，∴CH=2a=；如图3，当EH∥AF时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE=EC，∴H是CF的中点，∵CF=3a=，∴CH=；故CH的长为或；③如图4，过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，∵OG平分∠DGF，∴OM=ON，∴BD=CF，∴3a=2b+，整理，得=0，解得a=b或a=2b，∵tanF＝x==，当a=b时，x==2，当a=2b时，x==1，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆心角，弦，弦心距之间的关系，圆周角的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形函数，因式分解，熟练掌握圆的基本性质，灵活掌握三角函数的计算，分类思想是解题的关键．2、（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标；（2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出的正切值；（3）过点D作轴，过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度．【详解】解：（1）把点代入得：当时，顶点的纵坐标为4．故抛物线的表达式为（2）过点B作交于E点，令则故，（3）过点D作轴，过点A作，当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题．3、（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米【解析】【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米．【详解】解：（1）过点A作交于点F，则，在中，（米），即点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作交于点H，在四边形AFCH中，，∴四边形AFCH是矩形，∴，，设BC=x，则米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米）