总体百分位数的估计+高一下学期数学人教A版必修第二册

第

九

章

统

计9.2.2总体百分位数的估计

延时符授课人：

日期：2025年9月29日学习目标

掌握并理解百分位数的定义和统计含义

了能应用百分位数解决相关问题

培养数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.新知导入3首先要明确一下问题:根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.下面我们通过样本数据对a的值进行估计.a80%20%

引例

如果某市政府为减少水资源的浪费，制定月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？新课知识4问题1：在100个样本数据中，如何找到满足上述条件的数a？追问：在以往的学习中遇到过类似的问题吗？问题2：在100个样本数据中，中位数怎么找？a80%20%新课知识51.32.33.85.15.56.98.110.513.818.31.32.445.15.678.610.813.819.41.82.64.15.15.77.18.811.11420.522.64.35.25.77.1911.214.921.6234.45.35.97.19.51215.722.223.24.65.467.59.9121622.423.24.75.467.71012.416.724.32.13.64.95.56.47.810.113.316.824.52.23.64.95.56.47.810.213.51725.62.33.74.95.56.77.910.213.617.928将100个数据按照从小到大的顺序排列如下：这组数据的中位数6.8，称为这组数据的第五十百分位数或50%分位数。新课知识6问题3：一组数据的中位数（50%分位数）是a,那么是否说明这组数据中恰有50%的数据小于a,恰有50%的数据大于a?1,2,3,4,5,650%50%中位数3.51,2,2,3,4,60%中位数260%1,2,2,3,4,20%40%一组数据的中位数（50%分位数）是a,这组数据中至少有50%的数据小于或等于a,且至少有50%的数据大于或等于a.新课知识7

问题4：根据上述过程，思考何为第80百分位数？如何去定义一组数据的第p百分位数？a80%20%第80百分位数（80%分位数）第p百分位数（p%分位数）ap%（100-

p）%新课知识8一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.百分位数的定义ap%（100-

p）%新课知识91.32.33.85.15.56.98.110.513.818.31.32.445.15.678.610.813.819.41.82.64.15.15.77.18.811.11420.522.64.35.25.77.1911.214.921.6234.45.35.97.19.51215.722.223.24.65.467.59.9121622.423.24.75.467.71012.416.724.32.13.64.95.56.47.810.113.316.824.52.23.64.95.56.47.810.213.51725.62.33.74.95.56.87.910.213.617.928问题5：这100个数据的第80百分位数怎么求？因为100×80%=80，第80个数和第81个数分别为13.6,13.8取这两个数的平均值13.7，我们称13.7为这组数据的第80百分位数。新课知识10

可以建议市政府把月均用水量的标准定为14t，或者把年均用水量标准定为168t.月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？

样本数据的第80百分位数13.7总体数据的第80百分位数13.7左右总体样本抽样估计新课知识111.32.33.85.15.56.98.110.513.818.31.32.445.15.678.610.813.819.41.82.64.15.15.77.18.811.11420.522.64.35.25.77.1911.214.921.6234.45.35.97.19.51215.722.223.24.65.467.59.9121622.423.24.75.467.71012.416.724.32.13.64.95.56.47.810.113.316.824.52.23.64.95.56.47.810.213.51725.62.33.74.95.56.87.910.213.617.9追问：若这组数据有99个，则这组数据的第80百分位数怎么求？因为99×80%=79.2，第80个数为13.6，则称13.6为这组数据的第80百分位数。新课知识12百分位数的计算步骤第一步第二步第三步计算一组n个数据的第p百分位数步骤:按从小到大排列原始数据计算i=n×p%.若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.新课知识13第三四分位数或四分位数25%50%75%常用百分位数把一组有小到大的数据分成四等份，因此称为四分位数。第一四分位数或下四分位数上四分位数中位数第1百分位数,第5百分位数,第95百分位数,第99百分位数在统计中也经常被使用.新课知识14百分位数的特点（1）一组数据的第p百分位数一定是这组数据中的数吗？（2）一组数据的各个百分位数一定不相同吗？（1）一组数据的第p百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；（2）一组数据的某些百分位数可能是同一个数。1,2,3,4,5,6,6,6,6,10例题精讲15例2根据下图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[13.2,16.2)内有9个数据，但不知道这9个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.23%+32%+13%+9%=77%77%+9%=86%练习16解

由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为：23%+32%+13%+9%=77%

在16.2t以下的居民用户所占比例为77%+9%=86%

因此80%分位数一定位于[13.2,16.2）内.由可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.0.800.770.86例题精讲17先算各组的频率，解题步骤如下月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距0.3210.1290.0900.0900.050.030.0390.231设80%分位数为m，则0.771+(m-13.2)×0.030=0.80，解得m≈14.2.设95%分位数为n，则0.941+(n-22.2)×0.013=0.95，解得n≈22.89.0.021例2根据下图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.例题精讲18163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

练习

根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.解

把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0由25%×27=6.75,50%×27=13.5,75%×27=20.25,可知样本数据的第25,50,75百分位数为第7,14,21项数据，分别为155.5,161,164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约为155.5,161和164.课堂小结二、用原始数据求百分位数的计算方法三、用频率分布表或频率分布直方图估算百分位数中位数百分位数类比从特殊到一般一、百分位数的定义本课作业1.在居民用户月均用水量标准制定