二次函数的图像与性质

26-2二次函数的图象与性质

26.2.1函数y=a%2的图象与性质

课标要求

【知识与技能】

1•能够利用描点法作出），=产的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质.

2•能作出二次函数的图象，并能够比较与的图象的异同，初步建立二次函

数表达式与图象之间的联系.

【过程与方法】

经历画二次函数），=/的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

【情感态度】

培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.

【教学重点】

会画），=加的图象，理解其性质.

【教学难点】

结合图象理解抛物线开口方向、对•称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.

教学过程

一、情景导入，初步认识

一次函数产依+〃和反比例函数产依W0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次

函数），=62+云+«。工（））的图象会是什么样？通常怎样面一个函数的图象呢？—引入课题

【教学说明】

通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨

论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.

二、思考探究，获取新知

（1）试着画出y=x2的图象

【教学说明】

让学生自己经历画），=f的图象的过程进一步了解月描点法的方法画图象的基本步骤，

为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过

程.

（2）探究的性质

【教学说明】

让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受•结论让学生自己去总结，实现学生

主动参与、探究新知的目的.

【归纳结论】

它有一条对•称轴，且对称轴和图象有一个交点.

抛物线顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

在同一直角坐标系中，画出函数与y=-f的图象，观察并比较两个图象，你发现

有什么共同点？又有什么区别？

【归纳结论】

।•抛物线尸加（。7。）的对称轴是），轴，顶点是原点；

«>o时•，抛物线），=加的开口向上，顶点是抛物线的最低点，。越大，抛物线的开口越

小；

。<0时，抛物线），=公2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，〃越大，抛物线的开口越

大.

三、运用新知，深化理解

1•已知函数y=Q"-2）Mp—7是二次函数且开口向下»则加=.

解析：它是二次函数，所以“户—7=2，得”?=+3，E.开口向下，所以m—2Vo，得m<2.

即：〃?=-3.

答案：一3

2•已知抛物线,），=加经过点八（一2，-8）.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）判断点B（一1，-4）是否在此抛物线上.

分析：（1）把〃的值求出即可；

（2）把4的坐标代入，等式成立则在此抛物线上，否则不在.

解：（1）把（一2,一8）代入y=加中得：。=一2.

・•・解析式为：y=~2^

把（一1，-4）代入y=—2片中等式不成立

点8（—1，-4）不在此抛物线上.

【教学说明】

学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.

四、师生互动，课堂小结

1•抛物线丁=加（。工。）的对称轴是），轴，顶点是原点；

2•〃>（）时，抛物线产小的开口向上，顶点是抛物线的最低点。越大，抛物线的开口越

小；

3­"0M，抛物线y=aF的开口向下，顶点是抛物线的最高点。越人，抛物线的尸口越

大.

课后作业

成练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化

课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形

象、直观并具有亲和力，彼大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴

趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口'在分析、练习基础上掌握知识.整

个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功

的乐趣.

26・2.2二次函数y=ax2+/x+c的图象与性质

第1课时二次函数丁="2+。的图象与性质

课标要求

【知识与技能】

1•使学生能利用描点法正确作出函数＞，=』+2与），=/一2的图象.

2•理解二次函数y=,/+c的性质及它与函数），=02的关系.

【过程与方法】

让学生经历二次函数y=aP+c性质探究及性质应用的过程.

【情感态度】

培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.

【教学重点】

理解二次函数的性质及它与函数y=ad的关系

【教学难点】

理解二次函数产加+c的性质及它与函数尸加的关系

教学过程

一、情景导入，初步认识

I•二次函数），=/的图象是，它的开口向，顶点坐标是:对

称轴是，在对称轴的左侧随X的增大而，在对称轴的右侧y随工的增大

而，函数），=/在1=时，取最值，其最值是.

2•二次函数），=『十2的图象与二次函数），=/的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是

否相同？

【教学说明】

巩固旧知，引出新知识.

二、思考探究，获取新知

问题1对于前面提出的笫2个问题，你将采取什么方法加以研究？

问题2你能在同一直角坐标系中，画出函数），=/与y=f+2的图象吗？

【教学说明】

先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数图象.观察所画图象，

有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？

【归纳结论】

函数）,=/+2的图象上的点都是由函数），=/的图象上的相应点向上移动了两个单位.

完成下表：

函数尸加+«4>0)

c>0c<0

图象

开口方向

对称轴

最值

顶点坐标

函数性质

三、运用新知，深化理解

1•（1）函数）=4f+5的图象可由y=4f的图象向平移单位得到；

（2»=4/—11的图象向平移个单位得到.

2•将函数），=-31+4的图象向平移个单位可得），=一3/的图象;

将），=*一7的图象向平移个单位得到可），="的图象；

将丁=『一7的图象向平移个单位可得到）=f+2的图象.

3•抛物线），=-3小+5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，

在对称轴的左侧，），随x的增大而，在对称轴的右侧y随x的增大而，当x

=时，取得最值，这个值等于.

4•抛物线y=7»—3的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在

对称轴的左侧y随x的增大而，在对称轴的右侧，），随工的增大而*当x=

时，取得最值，这个值等于.

5抛物线与）,=3f的形状相同，且其顶点坐标是（0，1）则其表达式为

解：1.（1）上5（2）下11

2•下4』7>9

3♦下y轴（0,5）增大减小0大5

4•上y轴（0»—3）减小增大0小一3

5-y=3』+I

【教学说明】

以上5题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调.

四、师生互动，课堂小结

本节课你有何收获？本节课你有何疑问

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除

了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重

要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去.要利月一切可以利用的材料来帮助学生理

解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留

下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律.

第2课时二次函数）=〃（“一"）2的图象与性质

课标要求

【知识与技能】

会画出.y=a（.i—力2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.

【过程与方法】

学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.

【情感态度】

锻炼学生的观察、分析、归纳能力.

【教学重点】

掌握），=。（工一/?）2的性质.

【教学难点】

掌握y=a（x-/i）2的性质.

教学过程

一、情景导入，初步认识

我们己经了解到，函数的图象，可以由函数y=aF的图象上下平移所得，那

么函数y=3（x—2尸的图象，是否也可以由函数丫=*2.

平移而得呢？），=。（工一/炉的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律

吗？

【教学说明】

小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在

学生发言的基础.上补充并展示.

二、思考探究，获取新知

探究1:在同一宜角坐标系中，画出下列函数的图象.

），=*，产/+1）2，尸/一1）2并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

观察并归纳，它们的图象有什么规律？

【归纳结论】

由抛物线），=%向左、向右平移一个单位得到的抛物线分别是产笈+1＞，产/一1）2

【教学说明】

通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、

思维能力、归纳能力等.

三、运用新知，深化理解

解析：根据。的正负性确定它们的性质.

答案：D

2•二次函数），=2（-1）2的图象可由y=2?的图象得到（）

A•向左平移1个单位长度

B•向左平移1个单位长度

C-向右平移1个单位长度

D•向右平移2个单位长度

解析：左右平移是4的值发生改变.

答案：C

【教学说明】

应用所学，加深理解，巩固新知.

四、师生互动，课堂小结

1•二次函数,y=a。一/?＞的图象与性质.

2­平移的方法.

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师

主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.

第3课时二次函数丁=以“―/1)2+1的图象与性质

课标要求

【知识与技能】

会画出)，=〃(4一加2+2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.

【过程与方法】

学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.

【情感态度】

锻炼学生的观察、分析、归纳能力.

【教学重点】

掌握y=a(x-h)2+k的性质.

【教学难点】

掌握y=a(x—h)2+k的性质.

教学过程

一、情景导入，初步认识

上一节课，我们已经了解到，函数)，="。一〃)2的图象，可以由函数)，=加的图象左右平

移所得，那么)，=，(、-2)2+2的图象，是否也可以由函数平移得到呢？)，=心一力户+〃

的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律？

【教学说明】

小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在

学生发言的基础上补充并展示.

二、思考探究，获取新知

探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=yyy=2(x-\)2i)2—2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

观察三个图象之间的关系.

【归纳结论】

由抛物线y=*向右平移一个单位可得到抛物线产枭一I)?，再向下平移2个单位可得

至Uy=T(x-l)2-2.

探究2：请依据探究1中的发现，说说抛物线y=a(x-h)2-^k是由抛物线y=aF通过怎

样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.

【归纳结论】

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数)，=。(工一”尸十而中k的值；左右平移，只

影响力的值.

在y=a(x-h)2-}-k中：

(1)当。＞0时，开口向上；当aVO时，开口向下；

(2)对称轴是直线％=岳

(3)顶点坐标为(/?，k).

【教学说明】

通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、

思维能力、归纳能力等.

三、运用新知，深化理解

1•抛物线），=一3。-2）2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为（）

A•开口向下，对称轴为x=-2＞顶点坐标为（一2，4）

B­开口向上，对称粕为x=2，顶点坐标为（2，4）

C•开口向上，对称如为x=2，顶点坐标为（2，-4）

D•开口向下，对称轴为4=2，顶点坐标为（2»+4）

解析：根据F="（X—*）2+A的性质可得出结果.

答案：D

2•把抛物线），=%向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为（）

A•y=B（f+2x+2）

B•y=；（l+2x—l）

C•2x-1）

D•产於2—2x+1）

解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数），=〃伏一万）2+女中k的值；左右平

移，只影响力的值.

答案：B

【教学说明】

应用所学，加深理解，巩固新知.

四、师生互动，课堂小结

1•二次函数丁=。（工一"产+女的图象与性质.

2•平移的方法.

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课主要是通过让学牛.自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师

主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.

第4课时二次函数y=Q/+公+。的图象与性质

课标要求

【知识与技能】

1•使学生掌握用描点法画出函数），=以2+加+。的图象.

2•使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

让学生通过绘画、观察二次函数），=加+云+。的图象，理解二次函数y二口1十加十。的

开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质.

【情感态度】

通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提

高学生运用数学的意识.

【教学重点】

通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

【教学难点】

理解二次函数y=aP+法+c（aHO）的性质.

教学过程

一、情景导入，初步认识

由前面的知识，我们知道函数），=源的图象，向上平移2个单位，可以得到函数尸2?

+2的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数），=2（》一3）2的图象，那

么函数），=2『的图象，如何平移，才能得到函数y=2（%—3>+2的图象呢？

函数）=2（%—3）2+2具有哪些性质？

【教学说明】

通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩同，以便这节课的应用.这几个问题

可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价.

二、思考探究，获取新知

探究：你能确定y=—*+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？

学生讨论得到：通过配方把二次函数），=ad+^+c转化成

y=a（x-h）2-i-c的形式，确定抛物线y=一源+41+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，

再描点画图.

解：），=一2?+4叶6

=一2（金一21）+6

=-2（f-2x+1-1）+6

=-[2（X-1）2-2]+6

=-2（X-I）2+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l，顶点坐标为（1，8）.

你能从上图中总结出二次函数），=加+尿+《。£0）的性质吗？

【归纳结论】

二次函数产加+加+以“工。）的对称轴是工=一方,顶点坐标是（一金、"）

【教学说明】

让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论.

三、运用新知，深化理解

I•函数），=/-2x+3的图象的顶点坐标是（）

A•（1，-4）B.（一1，2）

C•（1，2）D.（0，3）

解析：方法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.

方法二：将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=«（x—〃）2+%的形式，顶点

坐标即为（〃，k）5y=x2—2x+3=（x—l）2+2，所以顶点坐标为（I，2）.

答案：C

2•抛物线），=一；/+工一4的对称轴是（）

A-x=—2B.x=2

C♦x=-4D.x=4

解析：直接利用公式.

答案：B

3•已知二次函数法+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A.ab>0*c>0B.ab<0，c<0

C•ab<0，c?>0D.ab<（），c<0

解析：由图象，抛物线开口方向向下，

/.6?<0，抛物线对称轴在y轴右侧»/.—^>0.

又：。<0，.*.Z?>0»：,ab<0，抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知，该点在x轴

上方，・・・c>0.

答案C

4•把抛物线），=一源+以+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的

抛物线的函数关系式是（）

A->*=-2（x—1）2+6B.y=—2（x-I）2—6

C-y=-2（x+l）2+6D.y=-2（x+l）2-6

解析：二次函数图象的变化.抛物线），=-212+43+1=—2。-1）2+3的图象向左平移2

个单位得到），=-2（工+1）2+3，再向上平移3个单位得到），=-2（%+1）2+6.

答案：C

【教学说明】

应用所学，加深理解，巩固新知

四、师生互动，课堂小结

二次函数产加+云+心^。）的对称轴是尸一治，顶点坐标是（一昱，4"；/）.

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利

应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个

重点和难点也就得到了自然地突破.

第5课时二次函数最值与面积问题

课标要求

【知识与技能】

经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.

【过程与方法】

经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应

用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经

验.

【情感态度】

通过动手实践及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.

【教学重点】

会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题

【教学难点】

从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.

教学过程

一、情景导入，初步认识

问题I：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材

料总长（图中所有粗线的长度和）是21米，怎样设计窗户才能使窗户通过的光线最多？

问题2：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米.开发商要沿

着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？

要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问

题.这节课我们看能否用己学过的数学知识来解决以上问题.

【教学说明】

通过几个实际情景设置悬念­引入新课.

二、思考探究，获取新知

求下列函数的最大值或最小值.

（2）y=T-3x+4.

分析：由于函数y=2.r—3x—5和），=-x2—3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，

所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.

解：(1)二次函数y=2d—3x-5中的二次项系数2>0，

因此抛物线1y=*一版一5有最低点，即函数有最小值.

349

2

所以当4时，函数yuZr-3x—5有最C小值是一二~.

(2)二次函数)，=一/-33+4中的二次项系数一1V。，

因此抛物线)，=一『一3x+4有最高点，即函数有最大值.

因为y=—A2—3A+4=—

3?5

所以当x=一；Z时，函数zy=-f—3x+44有最大值是亍.

【归纳结论】

最大值或最小值的求法，第一步确定〃的符号，a>0有最小值，aVO有最大值；第二步

配方求顶点，顶点的坐标即为对应的最大值或最小值.

【教学说明】

由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此首先和同学们一起复习二

次函数最值的求法；对于一般式，要求掌握配方法的同时，也能利用基本结论；对于顶点式，

要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值.

三、运用新知，深化理解

1•要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成

的花圃的面积最大？

分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值

解：设矩形的宽A8为xm，

则矩形的长BC为(20-2X)m，

由于x>()，且20-2A>0，所以OVxVIO.

围成的花圃面积y与工的函数关系式是)，=x(20—2x)

即>-=-2x+20x配方得)，=-2(A—5)2+50

所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50.

因为x=5时，满足0V%V10，这时20-2r=10.

所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大.

E

2•如图在一个直角三角形的内部作一个矩形4BCD其中AB和4Q分别在两直角边上.如

果设矩形的一边A3=xm，那么当x为多少时，矩形面枳最大？最大面积是多少？

解：由AB=xm，则CD=AB=xm.

由图可得，AEDCsXEAF、

.也—”,即以2—工，解殍尸力_3「

-AE-AF即30—40解何即一下

3

.,.4D=30—

30A-

30-3O2

=20时，y有最大值5最大值为y*大值=z-6=300

4x(q)

2X

即：那么当x为20时，矩膨面积最大，最大面积是300m2.

【教学说明】

展示教材上的例题，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时对

例题进行变式，训练学生的发散思维能力.

四、师生互动、课堂小结

引导学生总结，确定问题的解次方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题

中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决步骤：

第一步：设自变量；

第二步：建立函数的表达式：

第三步：确定自变量的取值范围；

第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

在教学中一定要注意学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范

围；求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围.

第6课时二次函数与最大利润问题

课标要求

【知识与技能】

能为一•些较简单的生活实际问题建立二次函数模型、并在此基础上，根据二次函数关系

式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.

【过程与方法】

经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.

【情感态度】

积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信

心，体验成功的乐趣.

【教学重点】

探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.

【教学难点】

从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）

值问题

教学过程

一、情景导入，初步认识

问题：某商店经营丁恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调杳，销售量与销

售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1

元，就可以多销售200件.若设销售单价为x（20V%V35的整数）元该商店所获利润为），元.请

你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？

你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？

【教学说明】

用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.

二、思考探究，获取新知

1,教师提问：

（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）销售量可以表示为:俏售额（销售总收入）可以表示为：所获利润与

销售单价之间的关系式可以表示为.

（3）当销售单价是元时，可以获得最大利涧，最大利涧是元.

2•在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考”何

时获得最大利润”的数学意义.

【教学说明】

在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大（小）值的方法.鼓励学生大

胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.

【归纳结论】

求二次函数最大（小）值的方法：

（1）配方化为顶点式求最大（小）值；

（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；

（3）利用图象找顶点求最大（小）值.

三、运用新知，深化理解

1•某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住

满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个

房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房

间的房价每天增加x元（为10的正整数倍）.

（1）设一天订住的房间数为），，直接写出），与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与.1的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大刈润是多少元？

分析：当每天的房价增加X元时，就会有奇个房间空闲.

・•・一天订住的房间数为（50—木），每间房可获利（180+X—20），从而可列出函数关系式.

解：（1）），=50—芯（0WxW160，且x是10的正整数倍）.

（2）W=（50—七，（180+工一20）=—•+34x+80（X）.

（3）W=+34x4-8000=一•一170）2+10890.

当x<170时，W随x增大而增大，但OWxW160，

・••当x=160时，Wm=10880.

当x=160时，y=50—=1=34.

答：一天订住34个房间时，宾馆的利泗最大，最大利泗是10880元.

2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想

通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1

元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值

解：设每件商品降价1元（0VxV2），该商品每天的利泗为），元.

商品每天的利泗），与工的函数关系式是：

y=（IO-x-8）（IOO+lOOx）

即），=一100『+100.丫+200

配方得），=一100（工一4）+225

因为x=1/2时，满足0VxV2.

所以当x=1/2时»函数取得最大值，最大值y=225.

所以将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利泗最大.

3•某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了

获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是M十万

元）时，产品的年销售量将是原销售量的），倍，且），是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元）012•••

y11.51.8♦♦♦

（1）求），与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费

M十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10〜30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随

广告费的增大而增大？

解：（1）设二次函数关系式为

c=I

由表中数据，得＜a+〃+c=1.5»

4a+2)+，=1.8.

解得5

所以所求二次函数关系式为>'=-j^A-2+|x+1.

(2)根据题意，得

S=IQy—(3—2)x=—f+5x+10.

(3)5=—f+5x+10=—(x—I)+与，

由于，所以当IWxW2.5时，5随x的增大而增大.

【教学说明】

通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重

要数学模型.

四、师生互动，课堂小结

求二次函数最大(小)值的方法：

(1)配方化为顶点式求最大(小)值；

(2)直接带入顶点坐标公式求最大(小)值：

(3)利用图象找顶点求最大(小)值.

课后作业

完成练习册中本课时的练习.

教学反思

在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识

解决实际问题并对结果进行合埋解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极

讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.

26-2.3求二次函数的表达式

课标要求

【知识与技能】

经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意

识.

【过程与方法】

会用待定系数法求二次函数的表达式.

【情感态度】

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学

生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

【教学重点】

求二次函数的表达式.

【教学难点】

求二次函数的表达式.

教学过程

一、情景导入,初步认识

问题1如何求一次函数的表达式？至少需要几个点的坐标？

问题2你能求二次函数的表达式吗？如果要求二次函数的表达式需要几个点的坐标？

【教学说明】

通过类比的思想，猜想求二次函数的表达式需要坐标点的个数.

二、思考探究，获取新知

问题

1•己知抛物线的顶点为(1，-3)，且与)，轴交于点(0，I)

分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为

y=t/（x+h『+八再根据抛物线与y轴的交点可求出。的值.

【归纳结论】

这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.

2•已知二次函数的图象经过点40，-1）、B（1，0）、C（­l*2）

分析：可设函数关系式为），=af+云+c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出

一个关于a，b，c的三元一次方程组，从而可以求出a，〃，c的值

【归纳结论】

求二次函数的表达式»关键是确定“、从c的值.由已知条件可列出三

个方程，解此方程组，求出三个待定系数4，b，C•.这种方法称为待定系数法.

三、运用新知，深化理解

1•已知一个二次函数的图象过点（0*1），它的顶点坐标是（8，9）»求这个二次函数的关

系式.

分析：二次函数juaF+bx+c通过配方可得y=a（x+h）2-^-k的形式称为顶点式，（一/?，

外为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是（8，9），因此，可以设函薮关系

式为：），=a（x-8）2+9

由于二次函数的图象过点（0，1），将（0，1）代入所设药数关系式，即可求出。的值.

解：），=一上『+2丫+1

2•已知：二次函数），=加+笈+。的图象与x轴交于A、8两点，其中A点坐标为（一1，

0），点4（0，5），另外抛物线经过点（I，8），求抛物线的表达式.

分析：应用待定系数法求出a，〃，c的值.

解：依题意：

a-/?+c=0(a=-1

<c、=5解得jb=4

抛物线的表达式为y=—『+4'+5.

3•已知抛物线对称轴是直线％=2，且经过（3，1）和（0，-5）两点，求二次函数的关系式.

分析：可设二次函数旷=加+云+。»已知两点的坐标，可列两个方程>再根据对称轴x

=2列出一个方程，则可求出。C的值.因已知对